換元積分法與分部積分法

換元積分法與分部積分法（4）【教學(xué)目的】熟練掌握換元積分法和分步積分法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】換元積分法和分步積分法?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】靈活運(yùn)用換元積分法和分步積分法?！窘虒W(xué)過程】一換元積分法由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，可以導(dǎo)出換元積分法．定理8．4(換元積分法) 設(shè)g(u)在上有定義，u(x)在上可導(dǎo)，且(x),xa,b，并記若g(u)在上存在原函數(shù)G(u)，則f(x) 在上也存在原函數(shù)F(xF(x)G((xC，即又若(xx則上述命題(if(x在F(x)時(shí)，g(u)在[G(uG(uF1(uC，即g(u)dug((x))(x)dxf(x)dx．證 （i）用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行驗(yàn)證所以f(x)以(x))為其原函數(shù)，(1)式成立．(ii)在(x)0的條件下，u(x)存在反函數(shù)x1(u)，且于是又能驗(yàn)證（2）式成立：

g((x))g(u． 口上述換元積分法中的公式(1)與(2)法和第二換元積分法(1)與(2)分別稱為第一換元公式與第二換元公式)．下面的例1至例5采用第一換元積分法求解在使用公式(1)時(shí)也可把它寫成如下簡便形式例1 求tan解 由 tanxdx

sinxdx(cosx)dx,cosx cosx可令ucosxg(u

則得u例2 求

dxa2x

(a0).解 dx 1

d d a (令ux)a2x2

1x2 a a 對換元積分法比較熟練后，可以不寫出換元變量u，而直接使用公式(1).a2x2a2x2

(a0)a2x2a2x2

1 a

dx1 1 x2a1 x2a

dx (a0).x2a2解 dx 1 1 1 x2a2 2a

xa xa例5求sec解4[解法二]secxdx=secx(secxtanx)dxsecxtanxlnsecxtanxC．這兩種解法所得結(jié)果只是形式上的不同，請讀者將它們統(tǒng)一起來．f(x)dx的形式，以便選取變換u(x，化為易于積分的．最終不要忘記把新引入的變量還原為起始變量第二換元公式(2)從形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是為了化為容易求得原函數(shù)的形式(最終同樣不要忘記變量還原)，以下例6至例9采用第二換元積分法求解．duu3u例6duu3uu6u解23ux6分化為簡單有理式的積分：u6u2 u66u6ln 1C.例7求 a2x2dx (a0) x解令xasint, tdxx2a2x2a2

(這是存在反函數(shù)tarcsin 的一個(gè)單調(diào)區(qū)間)．于是aa0.解令xasect0t

(同理可考慮t0的情況)，于是有2x借助輔助直角三角形，便于求出secta，tant x2a2，故得a9求

dx(x2a2)2

(a0)xatantt

，于是有2有些不定積分還可采用兩種換元方法來計(jì)算．dx10求

.x2 x21解[解法一]采用第一換元積分法：［解法二]采用第二換元積分法(令xsect)：二分部積分法由乘積求導(dǎo)法，可以導(dǎo)出分部積分法．定理（分部積分法）若ux與vx存在，則也存在，并有=uxvx（3）證由

uxvxuxvx或 uxvx

uxvx，對上式兩邊求不定積分，就得到(3)式．公式(3)稱為分部積分公式，常簡寫作udvuvvdu 例11求xcosxdx.解令uxvcosx，則有uvsin由公式（3）求得12求arctanxdx..解令uarctanxv1，則u13求x3ln

1 vx，由公式（3）求得1x2解令ulnxvx3，由公式（4）則有并后方能完成求解．現(xiàn)分別示例如下14求x2ex 解 x2exdxx2dex x2ex2xex 15

excosbxdxI1

eaxsin 1 1解 I cosbxdeax eaxcosbxbeaxsinbxdx1 a aa1 a eaxc