量子物理基礎

第42次課日期周次星期學時：2內容提要：第十一章量子物理基礎§11.1實物粒子的波粒二象性一.德布羅意假設.德布羅意假設的實驗驗證.德布羅意假設的意義.電子顯微鏡目的與要求：1.理解德布羅意的物質波假設及其正確性的實驗證實。理解實物粒子波粒二象性。2.理解物質波動性的物理量（波長、頻率）和粒子性的物理量（動量、能量）間的關系。重點與難點：德布羅意假設；物質波動性的物理量（波長、頻率）和粒子性的物理量（動量、能量）間的關系。教學思路及實施方案：本次課應強調：類比法是科學研究中的一種重要方法?？茖W理論的發(fā)展總是在前人已有的理論基礎上發(fā)展和創(chuàng)新的，學生既要善于繼承前人已有的知識，又要有所創(chuàng)新。電子通過不均勻電場和磁場時要發(fā)生偏轉是電子顯微鏡成像原理的主要部分。教學內容：物粒子的波粒二象性一.德布羅意假設1.德布羅意假設1924年德布羅意大膽地提出假設：實物粒子也具有波動性。他并且把光子的能量一頻率和動量一波長的關系式借來，認為一個實物粒子的能量E和動量P跟和它相聯(lián)系的波的頻率v和波長人的定量關系與光子一樣，為E=me2=h\Jhp=mv=—A這些公式稱為德布羅意公式或德布羅意假設。和實物粒子相聯(lián)系的波稱為物質波或德布羅意波。德布羅意波長mvmv011—mvmv011—V2.■C2hce22+2EEkk0k其中Ek=m2-m0c2是粒子的相對論動能。如果v<<c，因而粒子的動能Ek也就遠小于粒子的靜能E0。在這種情況下，可用非相對論公式計算德布羅意波長mv、；2mE以電子為例式?jīng)Q定0 \ 0k以電子為例式?jīng)Q定1 12.2— —.—-...■12em'vU力1 12.2— —.—-...■12em'vU力0 0一一=—mv2=eU0應強調指出的是：.實物粒子的德布羅意波長一般是很短的，在通常實驗條件下顯露不出來。.德布羅意是采用類比法提出他的假設的，當時并沒有任何直接的證據(jù)，但是很快就在實驗上得到了證實。此處應重點說明：類比法是科學研究中的一種重要方法。二.德布羅意假設的實驗驗證1927年，戴維遜和革末做了平行電子射線在銀單晶體上的衍射實驗。實驗結果有力地證明了德布羅意的物質波假說是正確的。例1.比較動能均為1MeV的電子、中子、光子的德布羅意波長。解：（1）對于電子，其靜能￡o=V2=0,51MeV由于1MeV的電子動能已經(jīng)大于電子的靜能，因此需要用相對論公式計算德布羅k==-= _=8.75x10-3A★、杜上 P+2EE息波長 、kk0（2）對于中子，其靜能E0=m0c2=939MeV由于1MeV的中子動能遠小于中子的靜能，因此可以用非相對論公式計算德布羅意九=.h =2.87x10-4A波長 \：'2m0Ek（3）對于光子，其動量P=mc，能量E=mc2，由此可以計算德布羅意波長入=h_=hc_=idx10_2APE通過此例具體說明：計算德布羅意波長時，在v?c時用非相對論公式；否則要用相對論公式。在同一個題中既要用非相對論公式，又要用相對論公式，又要用相對論公式?？梢酝黄频虏剂_意波長計算的難點。例2.計算質量m=0.01kg,速率v=300m/s的子彈的德布羅意波長。九二—=2.21x10_34A解：由德布羅意公式： m0v通過此例具體說明：宏觀物體的德布羅意波長非常短，因此宏觀物體的波動性非常不顯著。三.德布羅意假設的意義.一切微觀粒子都有波粒二象性德布羅意假設說明一切微觀粒子都有波粒二象性，不管這個粒子的靜質量m0為零（如光子，原來以為是純粹的波）或者不為零（如電子，原以為是純粹的粒子）。如果我們把一個粒子的能量E和動量P看作是它的粒子性的表征，而把與該粒子相聯(lián)系的德布羅意波的頻率V和波長人作為波性的表征，則波粒二象性這句話可用愛因斯坦公式E=mc2=h0和德布hp=mv=—羅意公式 九表達。.波粒二象性絕不能用經(jīng)典觀念來把握波和粒子的這種二象性絕不能用經(jīng)典觀念來把握。例如，波是由粒子在空間的位移所形成和電子是一個有一定形狀的波包兩種想法都遇到很大困難。.德布羅意波的統(tǒng)計解釋微觀粒子的空間分布表現(xiàn)為具有連續(xù)特征的波動性。正因為如此，德布羅意波與機械波、電磁波不同，它是一種沒有能量轉移的概率波。此處應再次重點說明：類比法是科學研究中的一種重要方法。hp=mv=—4。德布羅意關系式 九是德布羅意對科學的貢獻對于光子，由于入丫=口所以從光子的能量、動量求光子的頻率v和波長人只需愛因斯坦關系E=hv。對于靜止質量不為零的實物粒子，由于入vWv,所以由實物粒子的能量、hp-mv--動量求德布羅意波長人和頻率V時需德布羅意關系式 九和￡=加。2=hu這兩個獨立的關系式。此處應重點說明：科學理論的發(fā)展總是在前人已有的理論基礎上發(fā)展的，學生既要善于繼承前人已有的知識，又要有所創(chuàng)新。四.電子顯微鏡.由于微觀粒子的波動性，人們利用電子的波動性和短波長，可使顯微鏡的分辨率大大提高。用電子波代替光波制成的顯微鏡稱為電子顯微鏡。.電子顯微鏡比光學顯微鏡的分辨率要高得多。.光學顯微鏡與電子顯微鏡的成像原理對照。光學顯微鏡是利用光經(jīng)過不均勻媒質時的折射現(xiàn)象，使從一點向各方向發(fā)出的光束，通過由玻璃制成的透鏡組重新會聚在一點上,達到成像和放大的目的。由電磁學的知識可知，電子通過不均勻電場和磁場時也要發(fā)生偏轉,如同光線的折射一樣。電子顯微鏡就是利用電子波通過軸對稱的非均勻電場和磁場組成的靜電透鏡、磁透鏡使電子波折射后重新聚焦成像并達到放大的目的。第43次課日期周次星期學時：2一內容提要：確定關系一.不確定關系二.用不確定關系討論幾個具體例子定諤方程.波函數(shù).薛定諤方程目的與要求：理解一維坐標動量不確定關系。了解波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋；了解一維定態(tài)薛定諤方程。重點與難點：一維坐標動量的不確定關系波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋；薛定諤方程的建立。教學思路及實施方案：本次課應強調：由光學單縫衍射公式可推出電子的單縫衍射公式，進而得到不確定關系。這也說明電子等實物粒子和光一樣具有波動性。因此不確定關系也是因為實物粒子具有波動性的必然結果。通過不確定關系在具體問題中的應用強調：數(shù)量級的估計也是科學研究中的重要方法。數(shù)量級的估計能對該體系作定性的分析，其結果在量級上是可靠的。普朗克常量是量子力學的特征參量。經(jīng)典物理的的適用范圍是：普朗克常量在所討論的問題中可看作為零。既然微觀粒子具有波粒二象性，其運動不能用經(jīng)典的坐標、動量、軌道等概念來精確描B述。在量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)甲(Jt)描述，反映微觀粒子運動的基本方程稱為薛定諤方程，它是有關波函數(shù)的偏微分方程。薛定諤方程和關于波函數(shù)的解釋，其實是量子力學的基本假設。我們接受這些假設，是因為由此推出的結論能反映微觀粒子的運動規(guī)律，能解釋實驗結果。通過與光的類比可以得到波函數(shù)的統(tǒng)計解釋?？梢宰寣W生較容易理解波函數(shù)的物理意義。通過對比說明：物質波的波函數(shù)中與電磁波的電場強度矢量有不同之處。教學內容：確定關系一.不確定關系設一束德布羅意波長為人的電子束(或光子束)，經(jīng)縫s衍射后到達屏幕。

由于衍射，光子或電子的速度方向發(fā)生改變，其動量在X方向的分量1不確定量為P氏Psin8=P九AxX ,用德布羅意公式入=h/P,可得AP一式中Ax是電子的x坐標的不確定量，AP是電子的動量的x分量的不確定量。考慮到衍射條紋的次極大，可得AxAP>hx這就是不確定關系。不確定關系說明：位置不確定量越小，則同方向上的動量不確定量越大。這就是說，粒子的位置限制的越準確，則動量值越不能準確地確定。這個結論和實際衍射實驗結果完全相符。能量和時間這一組量之間的不確定關系：AEAt>h二.用不確定關系討論幾個具體例子我們經(jīng)常用不確定關系來估算微觀體系的基態(tài)能量，以求得數(shù)量級的知識，對該體系作定性的分析。其結果在量級上是可靠的。1.05義10一34=1.15*106m/s1.原子線度的數(shù)量級為10T°米，所以氫原子核外的電子位置的不準確量Ax也為10T1.05義10一34=1.15*106m/smAx 9.1義10-31x10-10若按經(jīng)典理論，氫原子中電子在軌道上的速度為106m/s,即AVx與Vx同數(shù)量級。因此電子在原子中的運動用軌道來描述是不恰當?shù)摹?.若在威爾遜云室中做徑跡實驗，實驗中可測得電子位置的不準確量。由不確定關系可得速度的不準確量AVx為Ah 1.05x10-34Av= = 氏12x mAx 9.11x10-31x10-5 m/s實際上，在上述徑跡實驗中，電子速度Vx可接近光速。因此AVx和Vx相比，可認為AVxT0。這就意味著我們能非常準確地確定電子的速度，所以在威爾遜云室中做徑跡實驗，可按經(jīng)典物理的概念處理問題。通過這兩例題應重點說明經(jīng)典物理的適用范圍。定諤方程一.波函數(shù)我們從自由粒子入手，介紹波函數(shù)的物理意義。甲2=￥乎*、就表示粒子在t時刻在(x,y,z)處單位體積內出現(xiàn)的概率，稱為概率密度。玻恩的統(tǒng)計解釋與實驗一致并為物理學界所公認。波函數(shù)的標準條件是：單值、有限、連續(xù)函數(shù)。波函數(shù)中的歸一化條件：J乎2dV=1凡滿足這條件的函數(shù)都稱為歸一化函數(shù)。應該注意，物質波的波函數(shù)中與電磁波的電場強度矢量有一基本不同之處。即，電磁波的自身是有物理意義的物理量，它說明電磁場的強弱；而物質波的中本身卻沒有什么直觀的才反映著粒子出現(xiàn)的概率密度。物理內容，只有乎2

才反映著粒子出現(xiàn)的概率密度。物理內容，只有二.薛定譚方程薛定譚方程是量子力學中的基本方程，象經(jīng)典力學中的牛頓方程一樣，它是不能由其它基本原理推導出來的。量子力學中的一個基本假定是將力學可觀察量變成相應的算符并作用在波函數(shù)上。一戶X一戶y,hd一戶X一戶y=I 2kdx,hd——l 2kdy,hd--i 2kdz.hdi 2兀dt由非相對論的動量一能量關系E /P、 P2E-T+U(r)=——+UXxyy,z)= (P2+P2+P2)+U(x,y^Z)2m 2mxyz式中T和U分別是粒子的動能和勢能。由此可得h。甲 (h2兀)2d2 d2d2」—-[-(——-(―+—+—)+U(x,y,z心2兀dt 2m dx2dy2dz2這就是非相對論量子力學的基本方程一薛定諤方程。若令甲(x,y,z,t)=2(x,y,z)T(t),即所謂分離變量法。由上式可得定態(tài)薛定諤方程+ dy2d2 2m+ dy2+—)V+—(E—U)v-0dz2 h2這個方程的每一個解巾(x,y,z)表示粒子運動的某一個穩(wěn)定狀態(tài)，與這個解相應的常數(shù)E,就是粒子在穩(wěn)定狀態(tài)的能量求解時，要求巾(x,y,z)是連續(xù)、單值、有限且歸一化的函數(shù)。因為這些條件的限制，只有當薛定諤方程中總能量E具有某些特定值時才有解。這些特定的能量值稱為本征值，而相應的波函數(shù)則稱為本征解或本征函數(shù)。因此，量子力學能自然地得出量子化法則。第44次課 日期 周次 星期 學時：2內容提要：和勢壘中的粒子.一維無限深勢阱.隧道效應原子.氫原子光譜的實驗規(guī)律.經(jīng)典理論處理氫原子問題遇到的困難目的與要求：了解一維無限勢阱中粒子的波函數(shù)及其能級公式；了解隧道效應。理解氫原子光譜的實驗規(guī)律。重點與難點：一維無限勢阱中粒子的波函數(shù)及其能級公式氫原子光譜的實驗規(guī)律及玻爾的氫原子理論；描述原子中電子運動狀態(tài)的四個量子數(shù)。教學思路及實施方案：自由電子在一塊金屬內的運動就相當于粒子在勢阱中的運動。通過一維無限深勢阱問題的求解，讓學生明白在量子力學中求解薛定諤方程的步驟。重點說明：無限深勢阱問題中的微分方程和簡諧振動的振動方程形式相同。因此，盡管這兩個問題在物理上是很不同的，但數(shù)學上是用同樣的方法求解。經(jīng)典理論和量子力學給出粒子出現(xiàn)在勢阱內各點的概率密度不同。

量子力學中，粒子能量只能取離散的值，即無限深勢阱中粒子的能量E是量子化。按現(xiàn)代宇宙學的結論，以地球的壽命為例說明：按經(jīng)典理論，盧瑟福的核型結構就不可能是穩(wěn)定的系統(tǒng)?？蓭椭鷮W生理解盧瑟福模型的困難。教學內容：§11.4勢阱和勢壘中的粒子一.一維無限深勢阱設有一勢場，粒子m在其間勢能為U=Q Q<x<aU=oo,x<0或x>a——+^21|;——+^21|;二odxz在勢阱內，u=o,可得一維定態(tài)薛定你方程的形式為苴中k2=2mE；h2這一方程和簡諧振動的振動方程形式相同，它的通解為V(x)=Asin(3t+5)要確定A,k,3,只能借助于波函數(shù)的標準條件。無限深方勢阱中粒子運動的波函數(shù)為V(x)=22aasin量子力學給出粒子出現(xiàn)在勢阱內各點的概率密度為2.一小冗x、二—sin2( )aa這一概率密度是隨x改變的，粒子在有的地方出現(xiàn)的概率大，在有的地方出現(xiàn)的概率小，而且概率分布還和整數(shù)n有關系。無限深勢阱中粒子的能量E：L h2n2E=~n8ma2 n—1,2,3A，由于n是整數(shù)，所以無限深勢阱中粒子的能量E是量子化的。相鄰兩能級之差為h2AE=E—E= (2n+1)n+1 n8ma2對于微觀粒子，由于m和a2均很小，因此能級間距AE很大，量子效應很顯著。對于宏觀物體，由于m和a2均很大，因此能級間距AE很小，完全可以將其能量分布當作連續(xù)的。.隧道效應若勢能分布為勢壘時，對于總能量E低于勢壘U0的粒子，按照經(jīng)典的觀念，不可能穿透到區(qū)域n和m。但是在量子力學中，薛定諤方程給出的解力在x>0的區(qū)域仍有一定的值，雖然是逐漸衰減的。這說明在量子力學中，一個粒子能穿越按經(jīng)典觀點看來是絕對不透明的勢壘，這是量子力學的顯著特點之一。這現(xiàn)象被形象地稱為隧道效應。這一現(xiàn)象已為許多實驗證實。例如a粒子從放射性核中釋放出來就是隧道效應的結果。.掃描隧道顯微鏡盡管電子顯微鏡已成為近代用于研究材料結構的有力工具，但由于高速電子會穿進樣品深處，樣品表面信息與深層次信息混在一起，不能精確反映樣品表面的性質，所以并不十分適用于研究材料的表面結構。掃描隧道顯微鏡可以很精確地觀察材料的表面結構，因而成了研究表面物理和其它實驗研究的重要顯微工具。掃描隧道顯微鏡的特點是不用光源也不用透鏡。它的顯微部件是一枚細而尖的金屬(如鎢)探針。探針可以尖到針尖處僅有一個原子，因此這種顯微鏡有很高的精度。它的工作原理是量子隧道效應。四.氫原子光譜的實驗規(guī)律由于光譜儀器的精確性，原子光譜的實驗數(shù)據(jù)就成為檢驗原子理論的有力武器。1885年巴爾末將組成氫原子可見光譜的各條譜線湊成一個經(jīng)驗公式來表示：111▽=_=R(--—)X ,2n n=1,2,3A其中人是波長，▽是單位長度內所含有的波數(shù)，R稱為里德堡常數(shù)。根據(jù)實驗結果得到的里德堡常數(shù)R的值為 R=1996776x1。7/m五.經(jīng)典理論處理氫原子問題遇到的困難1911年盧瑟福在a粒子散射實驗的基礎上提出了原子的核型結構。按盧瑟福原子模型,因質子質量約為電子質量的1837倍，可近似看作核不動而電子繞核在庫侖場中作勻速圓周運動。其向心力由氫原子核與核外電子的庫侖吸引力所提供V262m—二 r4犯r20氫原子系統(tǒng)的總能量TOC\o"1-5"\h\z1ce2 e2E=E+E=—mv2— 二— kp2 4的r2 8的r0 0其中已取了「一8處為零勢面。根據(jù)經(jīng)典電磁理論，繞核運動的電子既是在作變速運動，必將不斷地以電磁波的形式輻射能量，輻射出的電磁波頻率應等于繞核轉動的頻率\o"CurrentDocument"1 e2[ ]122兀r4兀smr0按經(jīng)典理論，盧瑟福的核型結構不可能是穩(wěn)定的系統(tǒng):按照能量轉換與守恒定律，氫原子向外輻射能量必將導致整個原子系統(tǒng)總能量E的不斷減少，電子繞核作圓周運動的軌道半徑也將減小。由于經(jīng)典理論對電子繞核作圓周運動的軌道半徑?jīng)]有任何限制，因此電子繞核轉動頻率將逐漸改變，即所發(fā)射的光譜應是連續(xù)的。這與原子線狀光譜的實驗事實不符。同時由于輻射的緣故，電子的能量會逐漸減少，它將沿螺線逐漸接近原子核，最后落在核上。因此按經(jīng)典理論，盧瑟福的核型結構就不可能是穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如地球的壽命按現(xiàn)代宇宙學的結論大約為100億年，在這期間可繞太陽轉1010圈。如果讓電子也繞原子核轉1010圈，按經(jīng)典理論可計算其壽命只有10—6秒。這就和原子一直是穩(wěn)定的實驗事實水火不相容。第45次課日期 周次 星期 學時：2內容提要：原子.玻爾的氫原子理論.氫原子的量子力學處理.電子自旋子殼層結構一.原子殼層結構目的與要求：理解玻爾的氫原子理論;了解氫原子電子的能量量子化、角動量量子化和角動量的空間量子化的意義;了解施特恩―蓋拉赫實驗及電子的自旋;了解描述原子中電子運動狀態(tài)的四個量子數(shù)。了解了解泡利不相容原埋和原子的電子殼層結構。重點與難點：玻爾的氫原子理論；描述原子中電子運動狀態(tài)的四個量子數(shù)。教學思路及實施方案：本節(jié)先從實驗上研究氫原子線狀光譜的分布規(guī)律，然后再研究玻爾的氫原子理論和氫原子的量子力學處理方法。有利于學生理解人類認識物質世界是如何由淺入深的。讓學生明白：如果舊理論中的常數(shù)能在新理論中用更基本的常數(shù)表示，則理論就向前進了一大步。玻爾理論做到了這一點。它不僅解釋了氫原子光譜的實驗規(guī)律，而且能用更基本的常數(shù)來表示Ro玻爾的角動量量子化條件可以通過德布羅意駐波來理解。教學內容：§11.5氫原子三.玻爾的氫原子理論玻爾把氫原子核外的電子看作經(jīng)典粒子，因此電子繞核的運動仍服從經(jīng)典力學規(guī)律。由牛頓運動定律，電子繞核作圓周運動的運動方程為V262m—二 r4犯r2o玻爾假定電子繞核作圓周運動時只能在一些穩(wěn)定軌道上，這些穩(wěn)定軌道滿足角動量量子化條件，即L=mvr=nh n=1,2,3Ann，穩(wěn)定軌道的半徑為4兀8h2r=一「n2nme2 n—1,2,3A,此式表明，穩(wěn)定軌道的半徑只能取離散的值，它的半徑是不可能連續(xù)改變的。因此原子內部粒子運動的圖象和經(jīng)典物理描述的圖象完全不同。電子在以核為心，半徑為rn的軌道上運動時的能量為：1 e2 me4 1 1E=mv2- =- ■—=—13.6—n2n4犯r （4犯）22h2n2n2”0n 0 eV這就是說，氫原子能量也只能取離散的值，即能量也是量子化的，而且能級間隔隨量子數(shù)n的增大而迅速減小。當n很大時，能級間隔非常小，以致能量可看作是連續(xù)變化的。若令n=1,可得基態(tài)能級的能量。此外，玻爾還假定只有當電子從一個具有較高能量的穩(wěn)定狀態(tài)En躍遷到另一個較低能量Ek的穩(wěn)定狀態(tài)時，原子才發(fā)射單色光，頻率Vkn為E—ETOC\o"1-5"\h\zV=—n k-knh由上式，可得其波數(shù)為\o"CurrentDocument"Vme4/1 1、V=-kn-= (———)knc 882h3ck2n20\o"CurrentDocument"1 1 1▽=二R(———)與式入2n比較，可得里德堡恒量me4R= =1.097373x107882h3c0 /m這個理論值與經(jīng)驗公式中R的實驗值十分符合，而且是用電子電量e，電子質量m，普朗克常數(shù)h，光速c等更基本的常量表示出了R。玻爾理論對于氫原子和似氫離子光譜的說明得到很大的成功。玻爾關于穩(wěn)定運動狀態(tài)和光譜線頻率的假設，在原子結構和分子結構的現(xiàn)代理論中，也仍然是有用的概念。玻爾理論是經(jīng)典理論加上量子化條件的混合物，不是一個內洽的理論系統(tǒng)。例1.計算氫原子中的電子從量子數(shù)n的狀態(tài)躍遷到量子數(shù)k=n-l的狀態(tài)時所發(fā)射的譜線頻率。并證明當n很大時，這頻率即等于電子在量子數(shù)為n的軌道上繞轉的頻率。解:由玻爾理論：電子在半徑rme4解:由玻爾理論：電子在半徑rme4r1 1v- [ ——]—nn-1 8s2h3(n—1)2n0 2me4(2n-1)8s2h3n2(n-1)2o的圓形軌道上繞轉的頻率為vmvrnh；s2h2n22 me4V———n——n-n-- /(―0 )- 2兀r 2兀mr24兀2m.兀me2 4s2h3n2n n 0V二V所以當n很大時， n,n—1通過此例的講解還可介紹玻爾的對應原理：當量子數(shù)很大時，量子物理方程就會過渡到經(jīng)典物理方程，量子圖象就與經(jīng)典圖象相同。所以，可以把經(jīng)典物理看作是量子數(shù)很大時的極限情況。例2.氫原子由基態(tài)被激發(fā)到n-4的激發(fā)態(tài)，請問：（1）原子吸收的能量；（2）原子回到基態(tài)時，其可能發(fā)射的光子的波長，并標明所屬的譜系。―1 …E——13.6 ——0.85eV解：（1） 4 42所以原子吸收的能量：E4-E1-12.75eV（2）從n-4回到基態(tài)，可能發(fā)射的光子的波長為n-4fnn-4fn-1,n=4fn—2,n—2fn—1,n—4fn—3,n—3fn—1,n—3fn—2,所以共發(fā)射6條譜線，九———————97.4nmE—E4 1九———————487nm

E—E4 2九———————121.7nmE—E2 1九———————1910.7nmE—E4 3九———————102.6nmE—E3 1九———————653.6nmE—E3 2（賴曼系）（巴爾末系）（賴曼系）（帕邢系）（賴曼系）（巴爾末系）三條屬于賴曼系，兩條屬于巴爾末系，一條屬于帕邢系。四.氫原子的量子力學處理由于氫原子的薛定諤方程的數(shù)學求解比較繁雜，這里只扼要說明其求解的步驟并介紹所得到的一些重要結果。e2U—— 氫原子的核外電子在核庫侖場中運動。其勢能態(tài)波函數(shù)滿足如下的球坐標系中的定態(tài)薛定諤方程:4垢0r,因而描述電子狀態(tài)的定氫原子的核外電子在核庫侖場中運動。其勢能態(tài)波函數(shù)滿足如下的球坐標系中的定態(tài)薛定諤方程:1S/加、1d加、1 d2^ 2m e2 (r2-L)+ -(sin9—L)+ — 十一(E+ 用r2dr dr r2sinSSS SS r2sin2S。巾2 h2 4后r0式中巾=2（r,。，@）?？捎梅蛛x變量法求解上式，設

如r,如r,。，4))=R(r)@(0)①(@)其中R只是r的函數(shù)，。只是。的函數(shù)，而①則只是少的函數(shù)。經(jīng)過一系列的換算、整理,可依次得出分別只含R（r）,@（。）和①（@）的三個常微分方程□①次 +租2①加2I1d/.Qd&. r7/7八m2——次(sm3--)+[1(1+1)-——/—]0=0sin3d9d9 sin231dz dR、 2m「口 62h2Z（/+1）1D nr?dr dr h2 4后 r2mr20對氫原子的定態(tài)薛定你方程的求解，就簡化為對上面三個常微分方程的求解。求解時,若要求波函數(shù)必須滿足標準條件和歸一化條件，就可自然地得到〃和/只能取不同的整數(shù)值。波函數(shù)勺就用這三個量子數(shù)〃」'勺來表征，也就是說，核外電子的狀態(tài)是用這三個量子數(shù)來表征的。下面，我們分別說明這幾個量子數(shù)的意義。n叫主量子數(shù)，它表示電子能量的主要部分；其取值為n=1,2,3，…表示能量的量子化特性。對于氫原子，上述能量是與玻爾能量一致的：TOC\o"1-5"\h\zm me4 1 1E= ?——=—13.6——n （4兀s）22h2n2 n20 eVl叫角動量量子數(shù)，簡稱角量子數(shù)，它描述電子相對于核運動的角動量（即玻爾所說的“軌道”角動量），L的大小為：l=0,1,2,3A因電子帶負電，其軌道運動必產生“軌道”磁矩：e- he- N=---L=\l（l+1）,--=、.l（l+1）N2m 2m BheN=——=0.927義10-27A.m2其中B2m 叫玻爾磁矩。mt稱為磁量子數(shù)。電子“軌道”磁矩N在外磁場作用下有一定取向，若取外磁場方向為Z軸正方向，薛定諤方程的解指出電子“軌道”角動量L在Z軸方向的投影只取以下分離的值L=mhm=0,±1,±2,±3ANl,l“軌道”磁矩在Z方向的投影只能取以下分離值目=m目m=0,±1,±2,±3ANlB,l顯然，對于確定的角量子數(shù)l，磁量子數(shù)mi可取2l+1個值，這表明“軌道”角動量（軌道磁矩）在空間的取向只有2l+1種可能。這個理論結果叫做角動量的空間（取向）量子化。由上所述，既然氫原子核外電子狀態(tài)用量子數(shù)n'l'mi來表示，氫原子核外電子定態(tài)波函數(shù)即V （r,9,。）=R（r）? （9）0（。）為 n,l,mi n,l l/m ,其絕對值平方V2給出電子處于由（n，l，ml,）決定的定態(tài)時在空間（r,。，e）各點出現(xiàn)的概率密度。r,。，很不同，MI2就不一樣。為