解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的應(yīng)用解三角形實際應(yīng)用問題，要善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關(guān)系，要根據(jù)題意，畫出正確的示意圖，利用已學(xué)過的圖形的性質(zhì)，作出必要的輔助線，把有關(guān)的實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來求解.一般題型有：傾斜角問題、坡度問題、方向角問題、斜三角形問題等.1、傾斜角問題[例4]在建筑樓梯時，設(shè)計者要考慮樓梯的安全程度．如圖1，虛線為樓梯的斜度線，斜度線與地板的夾角為傾角θ，一般情況下，傾角θ愈小，樓梯的安全程度愈高．如圖2，設(shè)計者為提高樓梯的安全程度，要把樓梯的傾角由θ1減至θ2，這樣樓梯占用地板的長度由d1增加到d2，已知d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求樓梯占用地板的長度增加了多少？（精確到m．參考數(shù)據(jù)：tan36°=，tan40°=．）圖1圖2點撥：此題是日常生活中的常見事例，考查對生活常識的了解．樓梯的傾斜角變小時，斜度線要變長，即由AC增加到AD，樓梯所占用地板的長度也增長，即由BC到BD，所求的增加部分就是DC的長，分別在Rt△ABC、Rt△ABD中求出BC和BD長即可求出CD長．解析：∵在Rt△ABC中，BC=d1，∠ACB=∠θ1，∴AB=BC·tanACB=BC·tanθ1=d1·tan40°=4tan40°．又∵在Rt△ABD中，BD=d2，∠ADB=∠θ2，∴AB=BD·tanADB=BD·tanθ2=d2·tan36°，∴DC=d2－d1≈－4=（m）．答：樓梯占用地板的長度增加了m．2、坡度問題［例5］為了加固一段河堤，需要運來砂石和土將堤面加寬1m，使坡度由原來的1∶2變成1∶3，如圖所示，已知原來背水坡長BC＝12m，堤長100m，那么需要運來砂石和土多少立方米?(參考數(shù)據(jù)≈，≈分析：坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度(或叫坡比)．本題需要計算的是加寬部分的體積，因而需要先計算加寬部分的橫截面面積，橫截面是個梯形，因此過梯形上底兩端點作下底的高，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形的組合圖形，從而把梯形問題化歸為解直角三角形問題．解析：過C、D兩點作CE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F．在Rt△CBE中，iBC＝．∴BE＝2CE，又BC＝12(m)，∴CE＝(m)，BE＝(m)∵四邊形CDFE為矩形，∴DF＝CE．在Rt△ADF中，iAD＝，∴AF＝3DF＝3CE＝(m)．∴AB＝AF＋EF－BE＝()(m)∴S梯形ABCD＝(m2)．∴V＝S梯形ABCD×100＝×100≈1968(m3)．答：需運來砂石和土1968m33、方向角問題[例6]如圖所示，某船以每小時36海里的速度向正東航行，在A點測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到B點，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．（1）試說明B點是否在暗礁區(qū)域外．（2）若繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？請說明理由．點撥：由東南西北四個方向確定的角叫做方向角．本題要說明船是否有觸礁的危險，只要求出BC的長與16相比，若大于16則沒有觸礁的危險，否則有觸礁的危險，若船繼續(xù)向東航行，比較船與島的最短距離CH與16的大小，大于16則沒有觸礁的危險，否則有觸礁的危險．求BC、CH的問題，顯然就是解直角三角形問題．解析：（1）∵AB=36×=18，∠ADB=60°，∠DBC=30°，∴∠ACB=30°．又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=18＞16，∴B點在暗礁區(qū)域外．（2）過C點作CH⊥AF，垂足為H，在Rt△CBH中，∠BCH=30°，令BH=x，則CH=x，在Rt△ACH中，∠CAH=30°，∴AH=CH，∴18＋x=·(x)，∴x=9，∴CH=9<16，∴船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險．答：B點在暗礁區(qū)域外，船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險．4、斜三角形問題［例7］如圖所示，不過河測兩岸A、B兩點間的寬，在岸邊選定基線BC，并測得如下數(shù)量∠ABC＝α，∠ACB＝β(α、β均為銳角)，BC＝a米，求AB的長．點撥：解有關(guān)斜三角形的問題，常作一邊的高，將斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形．解析：作AD⊥BC，垂足為D