人教版通用2015年高考數(shù)學文科大題部分專練11份

目錄

中檔大題規(guī)范練——導數(shù)的應用................................................1

中檔大題規(guī)范練——概率與統(tǒng)計................................................7

中檔大題規(guī)范練——立體幾何.................................................11

中檔大題規(guī)范練一三角函數(shù).................................................15

中檔大題規(guī)范練一數(shù)列.....................................................19

中檔大題規(guī)范練——圓錐曲線.................................................24

中檔大題規(guī)范練——直線與圓.................................................31

壓軸大題突破練——函數(shù)與導數(shù)(一)...........................................36

壓軸大題突破練——函數(shù)與導數(shù)(二)...........................................40

壓軸大題突破練——直線與圓錐曲線(一).......................................44

壓軸大題突破練——直線與圓錐曲線(二).......................................48

中檔大題規(guī)范練——導數(shù)的應用

1.已知函數(shù)2x+1,g(x)=lnx.

(1)求尸(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)是否存在實常數(shù)人和加，使得x>0時，?危)》丘+，〃且g(x)Wfcc+，〃？若存在，求出后和加的值

;若不存在，說明理由.

解⑴由F(x)=x3-2x+1-lnx(x>0),

,3x3-2x-1

得9(x)=--一(x>0),

令廠'(x)=0得x=l,易知他制在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，從而尸(x)的極

小值為尸(1)=0.

⑵易知.*x)與或v)有一個公共點(1,0),而函數(shù)g(x)在點(1,0)處的切線方程為y=x-1,下面只

f{x)^x-1

需驗證g07都成立即可.

設h(x)=x3-2x+1-(x-l)(x>0),

則h'(x)=3x2-3=3a+l)(x-l)(x>0).

易知〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以〃(x)的最小值為力(1)=0,

所以/(x)2x-1恒成立.

]-X

設％(x)=Inx-(x-1),則上,(x)=x(x>0).

易知”(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以A(x)的最大值為網(wǎng)1)=0,

所以g(x)Wx-1恒成立.

故存在這樣的實常數(shù)左=1和加=-1,使得x>0時，+”?且g(x)WAx+m.

2.設函數(shù)/仁)=亦3+取2+5在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一8,0),(I,+8)上單調(diào)

13

遞減，又f(2)—2-

⑴求/(x)的解析式.

(2)若在區(qū)間［0,m］(加>0)上恒向/(x)Wx成立，求加的取值范圍.

解(ly7(x)=3ax2+2bx+c,

由已知/(0)=/(1)=0,

3

即|：=°；解得b~2a,

[3a+26+c=0,

0.

所以/(x)=3<7X2-3ax^

所以‘(%受￥《

所以a=-2,b=3,

所以加)=-2?+3/

(2)令即-2:?+3d-xWO,

所以x(2x-l)(x-1)^0,

所以0或1.

又在區(qū)間［0,上恒成立，

所以

3.已知函數(shù)/(x)=a￥3+x2+&r(其中常數(shù)mb《R),g(x)=>(x)+/(x)是奇函數(shù).

(1)求/(%)的表達式；

(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值.

解(1)由題意得/(x)=3ox2+2x+b,

因此g(x)=J{x)+/(x)=Qj?+(3a+1)x2+(b+2)x+b.

因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x),

即對任意實數(shù)X,有。(-x，+(3〃+l)(-x)2+

(b+2)(-x)+力=-［〃/+(3〃+l)x2+(。+2)x+b］,

從而3a+l=0,6=0,解得4=-；，6=0,

因此加)的表達式為火X)=-1x3+X2.

⑵由(1)知g(x)=-y+公，所以g'(x)=-W+2.

令g'(x)=0,解得X1=-也，丫2=也，

貝！I當x<-6或時，g'(x)<0,

從而g(x)在區(qū)間(-8,-也)，(啦，+8)上是減函數(shù)；

當-也時，g'(x)>0,

從而g(x)在區(qū)間(-小，也)上是增函數(shù).

由上述討論知，g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值只能在x=1,啦，2時取得，

而g⑴=|,g(巾)=羋'g(2)=g'

因此g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值為g(巾)="￥，

4

最小值g(2)=§.

4.甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠.由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方

索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤M元)

與年產(chǎn)量，(噸)滿足函數(shù)關系x=2

00附.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格).

(1)將乙方的年利潤”(元)表示為年產(chǎn)量/(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；

(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額^=0.002產(chǎn)(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)

量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少

?

解(1)因為賠付價格為S元/噸，

所以乙方的實際年利潤為口=2000V/-St.

人，八，曰1000、2

令①=0,付，=%=(-~)?

當/v/o時，①，>0;當r>?)時，①'<0,

所以￡=而時，口取得最大值.

因此乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量，0=(噌)2(噸).

(2)設甲方凈收入為。元，則。=SL0.002上

將/=(噌產(chǎn)代入上式，得到甲方凈收入

v與賠付價格S之間的函數(shù)關系式.

100022X10003

V=S4-

r,100028X10003

又。=一-^+C

100()2x(8ooo-s3)

=s

令0，=0,得S=20.

當S<20時，v'>0;當S>20時，v'<0,

所以S=20時，o取得最大值.

因此甲方向乙方要求的賠付價格S=20(元/噸)時，獲得最大凈收入.

5.已知函數(shù)/(x)=lnx+§,aSR.

(1)若函數(shù)/)在［2,+8)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)在［1,e］上的最小值為3,求實數(shù)a的值.

解(i)vy(x)=inx+Y，:.f(x)=：-學.

:/a)在12,+8)上是增函數(shù)，

:/(X)=(-學20在［2，+8)上恒成立，

X

即aW］在［2,+8)上恒成立.

令g(x)=/，則<?Wg(X)min，xS［2,+8),

??,g(x)=5在［2，+8)上是增函數(shù)，

，g(X)min=g(2)=1.

.?.aWL所以實數(shù)。的取值范圍為(-8,1］.

,a7x-2a

(2)由(D得/(X)----^2-,XG［1,e］.

①若2a〈l,則x-2a>0,即/'(x)>0在［1,e］上恒成立,

此時負x)在［1,e］上是增函數(shù).

3

所以/(x)min=/(l)=2a=3,解得。=］(舍去).

②若lW2aWe,令/(x)=0,得x=2a

當\<x<2a時，f(x)<0,

所以負x)在(1,20上是減函數(shù)，當2Kx〈e時，/(x)>0,所以於)在(2o,e)上是增函數(shù).

所以7(x)min=/(2a)=ln(2a)+l=3,

2

解得Q=5e(舍去).

③若2心e,則x-2ov0,即/(x)v0在［1,e］上恒成立，此時段)在［1,e］上是減函數(shù).

所以/(x)min=7(e)=1+%=3,得4=e.適合題意?

綜上a=e.

6.已知函數(shù)/(x)=a\nx+^ax2+hx(aW0).

(1)若函數(shù)本)的圖象在X=1處的切線方程為尸3x一全，求a、b的值；

(2)若a=2時，函數(shù)段)是增函數(shù)，求實數(shù)6的取值范圍；

(3)設函數(shù)g(x)=ln

x的圖象G與函數(shù)〃(x)=/(x)—〃g(x)的圖象C2交于點P、0，過線段P。的中點及作x軸的垂線分

別交G、C2于點V、N,問是否存在點A,使Ci在V處的切線與。2在N處的切線平行？若存

在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

解(1)函數(shù)y(x)=olnx+/儲+的定義域為(0,+°°),

當x=l時，f⑴=2。+b=3,火1)=%+b,

所以函數(shù)4》)的圖象在x=1處的切線方程為、-(；〃+〃)=3a-1),

即y=3x+(5+6-3),

13

所以2〃+b-3=以

'2a+b=3,

解方程組＜13得。=6=1.

于+6_3=一m),

2

(2)由(1)知，/(X)=-+2Y+*,則/(x)20在(0,+8)上恒成立,

2

即---2x在(0,+8)上恒成立，

因為［+2^22\^：右=4(當且僅當》=1時等號成立),

2

所以-1-2xW-4,所以62-4,

故實數(shù)6的取值范圍為［-4,+8).

(3)設點P。的坐標分別為8,凹)、(X2,及)，

且0<x,<x2,則點A/、N的橫坐標均為X=歸&.

G在點"處的切線斜率為鬲=*=*2*=v1V.

C2在點N處的切線斜率為后=(依+6)卜=&■/=如y+b.

假設G在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，

則由=曲則V—=幽產(chǎn)+6,

+

X1x22

2(X2-XI)a(X2-xf).

即X|+X2=2

=(p：2+bx2)-&+如)

,.1X2

=y2-yt=lnx2-lnxl=ln-,

所以心邃=空二3

XlX\+x2

令”=獨>1,

Xi

i2Q-1)c

則Inu=-r-—，u>\,①

1+u

人?2(〃-1)

令r(z/)=In〃--77---，w>L

1+u

2

則，(?)=~-“：f=(::If.

M(1+U)U(ll+1)

因為">1,所以y(")>0,所以『3)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故r(u)>r(l)=0,則In力筆?，這與①矛盾，故假設不成立.

即不存在滿足題意的點發(fā)

中檔大題規(guī)范練一概率與統(tǒng)計

1.第12屆全運會已于2013年8月31日在遼寧沈陽舉行，組委會在沈男女

陽某大學招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者91577899

9816124589

的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位：cm),身高在17586501723456

74211801

cm以上(包括175cm)定義為“高個子”,身高在175119

cm以下(不包括175cm)定義為“非高個子”.

(1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中共抽取5人，再從這5人中選2人

,求至少有一人是“高個子”的概率；

(2)若從身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中選出男、女各一人，求這2人身高相差5

cm以上的概率.

解(1)根據(jù)莖葉圖知，“高個子”有12人，“非高個子”有18人，

用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是芯=?

所以抽取的5人中，“高個子”有12Xt=2人，“非高個子”有18X9=3人.

“高個子”用力,8表示，“非高個子”用a,b,c表示，則從這5人中選2人的情況有

(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10

種，

至少有一名“高個子”被選中的情況有(4B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,

b),(B,c),共7種.

因此，至少有一人是“高個子”的概率是

(2)由莖葉圖知，有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm),身高分別為181cm,182

cm,184cm,187cm,191cm;有2名女志愿者身高為180cm以上(包括180cm),身高分別為

180cm,181cm.抽出的2人用身高表示，則有(181,180),(181,181),(182,180),(182,181),

(184,180),(184,181),(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共10種情況，

身高相差5cm以上的有(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共4種情況，故這2

42

人身高相差5cm以上的概率為m=亍

2.(2013?北京)如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖，空氣質量指數(shù)小于100表

示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13

日中的某一天到達該市，并停留2天.

(1)求此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率；

(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；

(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大？(結論不要求證明)

解(1)在3月1日至3月13日到達這13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6

天的空氣質量優(yōu)良.

所以，此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率尸=強.

(2)事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”發(fā)生，則該人到達日期應在4日，5

日，7日或8日.

4

所以，只有一天空氣重度污染的概率。=萬.

(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大.

3.先后隨機投擲2枚正方體骰子，其中x表示第1枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)

的點數(shù).

(1)求點尸(x,用在直線y=x—2上的概率；

⑴求點尸(x,y)滿足/的概率.

解每枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有6種情況，

所以，基本事件總數(shù)為6X6=36(個).

(1)記“點尸(x,刃在直線y=x-2上”為事件4

則事件才有4個基本事件：(3,1),(4,2),(5,3)>(6,4),

41

所以，^)=36=9-

(2)記”點P(x,y)滿足/<級”為事件8,

則事件8有12個基本事件：(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(5,3),

(6,1),(6,2),(6,3),

121

所以，尸(8)=石=§.

4.(2013?福建)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名.為研究

工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先

統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25

周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,8

0）,[80,90）,[90,100]分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以

下組”工人的概率；

（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2X2列聯(lián)表

,并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”？

附.一M2"21）2

％―rt1+M2+?+l?+2

0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

（注：此公式也可以寫成

2

r2_______"（ad—be）、

（a+b）（c+d）（a+c）（b+ci）

解（1）由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名.

所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60X0.05=3（人）,

記為A?,Ait4；

25周歲以下組工人有40X005=2（人）記為B2.

從中隨機抽取2名工人，所有的可能結果共有10種，它們是（小，4），（小，，3），缶2,

,3），（小，Bl）,（Ai，82）,（左，Bl）,（“2，82），（彳3，B[）,（43，82），（Bi，B2）.

其中，至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結果共有7種，它們是（小，當），（小,

7

&），（“2,&），（彳2,82）,（丸，S）,（小，4），回B2）.故所求的概率尸=訕.

（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手

60X0.25=15（A）,“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40X0.375=15（人），據(jù)此可得2義2列

聯(lián)表如下:

生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計

25周歲以上組154560

25周歲以下組152540

合計3070100

n(ad—6c丁

所以得太

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

100X(15X25-15X45)2

60X40X30X70

25

因為1.79<2.706.

所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”.

5.有編號為1,2,3的三個白球，編號為4,5,6的三個黑球，這六個球除編號和顏色外完全相同

,現(xiàn)從中任意取出兩個球.

(1)求取得的兩個球顏色相同的概率；

(2)求取得的兩個球顏色不相同的概率.

解從六個球中取出兩個球的基本事件有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),

(4,6),(5,6)共計15個基本事件.

⑴記事件/為“取出的兩個球是白球”，則這個事件包含的基本事件的是(1,2),(1,3),

31

(2,3),共計3個基本事件，故尸⑷=m=亍

記事件5為“取出的兩個球是黑球”，同理可得P(8)=1;

記事件C為“取出的兩個球的顏色相同"，則C=4+8,且48互斥，根據(jù)互斥事件的概

2

率加法公式，得P?=P(A+B)=P⑷+P(B)=1

(2)記事件。為“取出的兩個球的顏色不相同”，則事件C,。互斥，根據(jù)互斥事件概率之

23

間的關系，得p(r>)=i-p(c)=i-g=§.

6.(2014?福建)根據(jù)世行2013年新標準，人均GDP低于1

035美元為低收入國家；人均GDP為1035?4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4

085?12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12

616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下

表：

區(qū)人口占城區(qū)人均GDP(單位

行政區(qū)

市人口比例：美元)

A25%8000

B30%4000

C15%6000

D10%3000

E20%10000

(1)判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標準；

(2)現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收

入國家標準的概率.

為%8000X0.25。+4000X0.30。+6

解(1)設該城市人口總數(shù)為a,則該城市人均GDP

000X0.15。+3000X0.10。+10000X0.200=6400.

因為6400G[4085,12616),

所以該城市人均GDP達到了中等偏上收入國家標準.

⑵“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的所有的基本事件是{A,B},{A,C},{A,D},

{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10個.

設事件”抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準”為M,

則事件M包含的基本事件是：{A,C},{A,E},{C,E},共3個，所以所求概率為P(M)

__3_

=而

中檔大題規(guī)范練一立體幾何

1.如圖所示，已知三棱錐Z—5PC中，APLPC,AC±BC,的

中點，。為尸8的中點，且△尸例8為正三角形.

(1)求證：〃平面ZPC：

(2)求證：平面平面/PC；

(3)若BC=4,/8=20,求三棱錐。一8CA/的體積.

⑴證明由已知，得是尸的中位線,

所以MD//AP.

又朋ZK平面NPC,ZPU平面/尸C,

故〃平面ZPC.

(2)證明因為△尸M8為正三角形，。為P8的中點,

所以MDLPB.所以APLPB.

XAPLPC,PBCPC=P,所以平面尸8c

因為BCU平面PBC,所以APLBC.

又ACCtAP-A,所以8C_L平面/PC.

因為2CU平面NBC,所以平面N8C_L平面/PC.

(3)解由(2)知，可知平面尸8C,

所以初。是三棱錐。-BCW的一條高，

又48=20,5C=4,△尸MS為正三角形，

M,。分別為P8的中點，

經(jīng)計算可得用。=5小，DC=5,

S^BCD=gxBCXBD義sinZCBD

=5X4=2^/51.

所以J7。-BCM=Kw-DBC=]XS&BCDXMD

=1x2^21X5^3=Kh/7.

2.如圖，在RtZX/8C中，Z8=8C=4,點E在線段/B上.過點E作E尸〃8C交/C于點尸，將

沿E/浙起到△「￡：『的位置(點4與P重合)，使得NPEB=30。.

(1)求證：EF1PB；

(2)試問：當點E在何處時，四棱錐P—EFCB的側面PE8的面積最大？并求此時四棱錐P—EF

C8的體積.

A

E

B

(1)證明'：EF//BC且BCVAB,

.'.EF1.AB,5PEF1.BE,EFLPE.又BECPE=E,

7tL平面P2E,又PBU平面PBE,J.EFLPB.

⑵解設8E=x,PE=y,則x+y=4.

:?S&PEB=^BEPE-sinZPEB

畫司受卜1.

當且僅當x=y=2時，SAPEB的面積最大.

此時，BE=PE=2.

由⑴知￡7」平面PBE,

平面P8￡_L平面EFCB,

在平面PBE中，作POLBE于0,則P0_L平面EFCB.

即PO為四棱錐P—EFCB的高.

又PO=PE-sin300=2x1=1.

S梯形EFCB=2(2+4)X2=6.

?**/—sc尸E=?X6X1=2.

3.如圖，在矩形4BCQ中，AB=2BC,尸、。分別是線段45、CO的中點，勺

EP，平面NBCD.

(1)求證：。尸J_平面EPC；

FP

問在上是否存在點使平面力所>，平面若存在，求出

(2)EPF,8FC?AP

的值；若不存在，說明理由.

(1)證明平面"C￡?,

：.EP±DP.

又4BCD為矩形,AB=2BC,P、。分別為/8、CD的中點，連接P0,

則尸Q_LDC且尸Q=gz)C.

：.DPLPC.

"：EPCPC=P,，DPJ_平面EPC.

⑵解假設存在尸使平面/RD_L平面8EC,

\'AD//BC,BCU平面BFC,/“平面BFC,

〃平面BFC.

：.AD平行于平面AFD與平面BFC的交線/.

平面力88,：.EP±AD,而/￡>_L/8,

ABQEP=P,二/。！.平面E/8,；./_L平面E48.

NAFB為平面NFD與平面BFC所成二面角的平面角.

?.?尸是的中點，且FP_L48,

.?.當//尸8=90°時，F(xiàn)P=AP.

:.當FP=AP,即爺=1時，平面4EDJ_平面8尸C.

4.(2013?課標全國H)如圖，直三棱柱48C一小BiG中,D,E分別是

AB,的中點.

(1)證明：8G〃平面小CD；

(2)設44|=NC=C8=2,AB=2小,求三棱錐C一小。E的體積.

⑴證明連接NG交小C于點R則尸為NG中點.

又。是Z8中點，連接。尸，則8G〃。反

因為。尸U平面小CD,8CM平面小CD,

所以8G〃平面小CD

(2)解因為N8C-m8cl是直三棱柱，所以A41_LCD

又因為ZC=C8,。為的中點，所以COL4A

^AAtQAB=A,于是CD_L平面/8囪小.

由A4i=/C=CB=2,AB=2巾,得N/C8=90。，

CD=yf2,4D二市,DEf,AiE=3,

故小。2+。爐=小爐，即。E_L小D

所以七_/QE=|xSA^|￡￡>XCD=|x|xV6xV5xV2=1.

5.(2013?遼寧)如圖，是圓。的直徑，處垂直圓。所在的平面，C是

圓。上的點.

(1)求證：BC_L平面HC；

(2)設0為刃的中點，G為△ZOC的重心，求證：2G〃平面P8C

證明(1)由N8是圓O的直徑，得/CL3C,

由以_L平面/8C,8CU平面/8C,得以_LBC.

又HC/C=Z,乃仁平面%C,/CU平面"C,

所以8CJ_平面PAC.

(2)連接0G并延長交ZC于M,連接。A/,QO,由G為△ZOC的重心,

得/為ZC中點.

由。為R1中點，得QMHP3

又。為中點，得OM〃BC.

因為QMHMO=M,0MU平面QMO,

A/OU平面0叫，8CnPC=C,

8CU平面P8C,PCU平面P8C.

所以平面QMO〃平面PBC.

因為。GU平面。朋0,所以0G〃平面PBC

6.(2014?四川)在如圖所示的多面體中，四邊形/88/1和/CG小都為矩形.

(1)若ZC_L8C,證明：直線8CJ_平面/CC/i；

(2)設。，￡分別是線段8C,CG的中點，在線段上是否存在一點M,使直線。E〃平面小

MC?請證明你的結論.

⑴證明因為四邊形/881小和/CG小都是矩形，

所以44山8,AA\VAC.

因為/8C/C=/,/BU平面/8C,/CU平面/8C,

所以44]_1_平面ABC.

因為直線8CU平面/8C,所以441_L8C.

又由已知，ACLBC,AA^QAC=A,44|U平面4CG4，4CU平面4CG小，

所以8cl.平面ACC\A\.

(2)解取線段的中點連接小MMC,AtC,ACX,設。為小C,4cl的交點、.

由題意知，。為/G的中點.

連接MD,OE,OM,則MD,OE分別為△ZBC,△/CG的中位線,

所以MD觸;/C,0E觸;/C,

因此MDOE.

從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE//MO.

因為直線。放平面小MC,MOU平面小MC,

所以直線。E〃平面小MC.

即線段AB上存在一點加(線段的中點)，使直線〃平面AXMC.

中檔大題規(guī)范練一三角函數(shù)

.「人〃、(sin%—cosx)sin2x

i.已知函數(shù)/)=!—高丁—.

⑴求*x)的定義域及最小正周期：

⑵求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解(1)由sinxWO得xWE/ez),

故/(x)的定義域為{x^RkWE,%ez}.

(sinx-cosx)sin2x

因為/)=

sinx

=2cosx(sinx-cosx)

=sin2x-2cos2r

=sin2x-(1+cos2x)

=色sin(2x-^一

1,

所以加)的最小正周期r=y=n.

(2)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為

2桁-全2kn+'(keZ).

71兀71

由+xWZ兀(左￡Z),

得反一^WxWE+爭，xR!ai(kGZ).

所以外）的單調(diào)遞增區(qū)間為

[而一鼻，％兀）和（%兀，也+知（攵￡Z）.

2.已知△ZBC的三個內(nèi)角Z,B,C成等差數(shù)列，角8所對的邊6=小，且函數(shù)/）=2小

sin2x+2sinxcosx一小在x=4處取得最大值.

（1）求危）的值域及周期；

⑵求△ABC的面積.

解（1）因為4B,C成等差數(shù)列，

所以28=4+。，又4+8+。=兀，

所以8甘，即/+C=牛.

因為兒0=2V3sin2x+2sinxcosx-y[i

=>\/3(2sin2x-1)+sin2x=sin2x-小cos2x

=2sin(2x

所以7=-y=x

又因為sin（2x-§￡[-1,1],

所以加）的值域為[-2,2].

（2）因為人工）在x=Z處取得最大值,

所以sin（24-護L

因為0<A<^TI,所以一$24-1<K,

故當243=5時,/）取到最大值,

571

所以/=萬兀，所以C=1

由正弦定理，知丹=已=0=卷

sinjsina

一一、，也十加

又因為sin%=sin(Kg+47T

4

所以S^ABC=茨sinA=3

3.已知函數(shù)/)=小$出2X+2COS2X+67.

⑴求函數(shù)/U)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當xG[O,爭時，函數(shù)危)有最大值4,求實數(shù)。的值.

解J[x}=小sin2x+2COS2X+a

=cos2x+小sin2x+\+a

兀

=2sin(2x+q+Q+1.

27r

(1)函數(shù)y(x)的最小正周期為E=兀，

由24兀-+T,ke

2O2Z,

7TTT

解得女兀-fWxWZ兀+工，kGZ.

5o

故函數(shù)7(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[祈-$Mt+Z).

(2)W[0,J,A2X+1G[1,y],

從而sin(2x+^)e[^?1].

??Ax)=2sin(2x+3+Q+1￡[〃+2,a+3],

；段)有最大值4,???。+3=4,故。=1.

4.設向量。=(/sinx,sinx),b=(cosx,sinx),[0,/.

(1)若|a|=|四,求x的值；

(2)設函數(shù)/(x)=〃6,求/(x)的最大值.

解(1)由=(-^3sinx)2+(sinx)2=4sin2x,

|6|2=(cosx)2+(sinx)2=1,

由|a|=例，得4sin2x=1.

又x￡[0,5],從而sinx=g,

7T

所以X=不

=ah=V^sinxcosx+sin2x

龍.c1c1

=2s,n-1cos2x+2

.小兀、1

=s\n(2x-^)+y

當工=界[0,與時，sin(2x-3取最大值1,

3

所以/（x）的最大值為］

TT

5.已知函數(shù)/(x)=4coscox,sin(cox—g)+1(①>0)的最小正周期是兀.

(1)求危)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求危)在空爺]上的最大值和最小值.

JI

解(1)/(x)=4coscox-sin(cox-不)+1

=2^3sincoxcoscox-2COS2CDX+1

=巾sin2cox-cos2cox=2sin(2a>x-》

最小正周期是39IT=兀，所以，3=1,

從而/(x)=2sin(2x-

令一介2人兀，k^Z.

TTTT

解得一2++E,%￡Z.

o3

jrjr

所以函數(shù)外）的單調(diào)遞增區(qū)間為［弋+E,；+m（FZ）.

⑵當引時,2x-色哈，笥,

/x)=2sin(2x-奇G*；6,2],

所以於）在京朗上的最大值和最小值分別為2,將啦

6.在斜度一定的山坡上的一點“測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜/C

度為15。，如圖所示，向山頂前進100

m后，又從8點測得斜度為45。，設建筑物的高為50

m.求此山對于地平面的斜度。的余弦值.--------L

解在△Z8C中，ZBAC=15°,ZCBA=180°-45°=135°,AB=100m,

所以N/C8=30。.

而即人嚅需

由正弦定理，得而行

在△8CQ中，因為CD=50,ZCBD=45°,ZCDB=900+0,

lOOsin15。

由正弦定理，得舟sin30°

sin(900+0)"

解得cos。=小-1.

因此，山對地面的斜度的余弦值為小-1.

中檔大題規(guī)范練——數(shù)列

1.已知公差大于零的等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和Sp且滿足：白2。4=64,4]+%=18.

⑴若1W21,m，0,劭是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，求i的值.

⑵設“c是否存在一個最小的常數(shù)楊使得仇+岳+…+6”＜加對于任意的正整數(shù)〃

均成立，若存在，求出常數(shù)如若不存在，請說明理由.

解(1)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，因為0+。5=生+。4=18,

又374=65,所以e。4是方程f-18x+65=0的兩個根，

又公差力＞0,所以白2＜。4，所以。2=5,々4=13.

[a\+d=5,

所以一口①

[a\+3d=13,

所以①=1,d=4.所以4〃=4〃-3.

由1W21,a1,即生1是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，

所以4口21=/，

即1X81=(4-3)2,解得i=3.

(2)由(1)知，S“=nXl+〃("：1)X4=2〃2―〃,

1

所以6”=7；---J+1、=.-0\,)，②

(2/?-1)(2〃+1)2'2〃-12/?+r

所以加+62+…+bn

1,.11111n

=5(1-行+/引…+焉亦7)=獷7，

E〃111

因為—=5-及③

所以存在m=；使仇+$+…+bn＜m對于任意的正整數(shù)〃均成立.

2.設S”為數(shù)列｛對｝的前"項和，已知0WO,2%-0=SrS"，”GN*.

(1)求見，。2，并求數(shù)列｛恁｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛〃%｝的前〃項和.

解(1)令〃=1,得20-°]=憂，即0=成

因為sWO,所以外=L

令〃=2,得2a2-1=S2=1+念，解得。2=2.

當心2時，由2a,j-1=St12af｝-\-1=Sn-\,

兩式相減得2an~2an-\=atV即afJ=2an].

于是數(shù)列｛%｝是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.

n

因此，an=2'.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為%=2"」

⑵由⑴知，na?=n-2"

記數(shù)列82"7｝的前〃項和為舔，于是

8“=1+2X2+3X22+???+〃X2"1①

28“=1X2+2X22+3X23+—+nX2".(2)

①-②，得

-ff?=1+2+22+—+2"H-n-2"=2"-1-n-2n.

從而8“=1+(〃-1)2"

即數(shù)列｛〃%｝的前〃項和為1+(〃-1)2".

3.設數(shù)列｛內(nèi)｝的前〃項和為%滿足以=斯+|—2"+"1,"GN*,且0=1,設數(shù)列｛兒｝滿

足b”=a”+2".

(1)求證數(shù)列｛兒｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)若數(shù)列c“='R,T“是數(shù)列｛&｝的前〃項和，證明：7?<3.

2S“=a“*「2””+l,

(1)解當“22時，由

2S“-LQ“-2”+1

n

^>2a?=an^-a?-2

今a.+i=3a?+2",

從而bn.\=<2?M+2"T=3(%+2")=3b?,

故付“｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列,

b“=a”+2"=3X3"7=3",

恁=3"-2"(〃22),

因為切=1也滿足，于是為=30-2".

、一rr6〃-32/7-1

(2)證明cn=——=3〃-i，

I1352〃-32〃-1

則刀7=3+乎+…+3〃-2+3"7'①

11352〃-32拉—1

/=三+才+F+…+3”一］+3〃②

G小，口2T12222M-1

①-②，彳行北=下+?+?+…+寸?-3“

n

--

23-M

(

+31-

11

一-

HC

=2-吉2rl-1

,,n+1

故=3--yTT<3.

4.已知單調(diào)遞增數(shù)列他“｝的前"項和為S“，滿足S“=g⑸+〃).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

1,〃為奇數(shù)，

(2)設C"=J[4,2+i_1,求數(shù)列｛g｝的前〃項和乙

13X20L1+1,〃為偶數(shù)，

解(1)〃=1時,°i=；(a；+l),得°1=1，

由S”=：(*+〃)，①

則當心2時，工.1=；(心+〃-1),②

①-②得%=Sn-StJ-1=3(￡-47+1)，

化簡得(%-I)?-%-1=0,

an-a,,\=1或%+a,,-\=1(〃22),

又｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，故=

所以｛為｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，故%=機

.1

-----[，〃為奇數(shù)，

(2)c?=^?*>-1

.3X2a“-i+l,〃為偶數(shù)，

當,為偶數(shù)時，

Tn=(C1+c3+…+C?-|)+(c2+C4+…+c?)

=(^2T7+^2T7++^2TY)+3X(2'+23+-+2,,"')+j

1112(1-紇)〃

=----+----+…+-------------+3X--------+~

1X33X5(〃-l)X(〃+l),1-42

=gx昌+；_"??+占-缶)+2X(4卜1)+夕

/-2〃-4

=2W+1+

2(/7+1)■

當〃為奇數(shù)時，

T,,=(C1+。3+???+c?)+(c2+c4+-+c?-i)

iiin-\

=[—+F+”?+(〃+l)2_l]+3X(2i+23+”?+2”-2)+T

1111111n-1/7-1

=SxuwL+rF)+2x(r-1)+亍

/-2/-9

=2"+

2(〃+2)?

2"+黨膏（"為奇數(shù)）,

所以7；

2”、嚎號（〃為偶數(shù)）?

5.已知函數(shù)危）='，數(shù)列｛%｝滿足。1=1，a?+i=/（~），“GN*.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）令兒=-1—（〃》2）,仇=3,1=仇+電+…+①，若S,,<力?一2014

2

對-,切〃￡N*恒成立，求最小正整數(shù)加

—+3+

解=/（2）=包廠=多

a?

2

???｛%｝是以1為首項，。為公差的等差數(shù)列.

221

On=]+（〃-l）X-="77+y

_]_