分式及分式的基本性質(zhì)

分式及分式的基本性質(zhì)【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：分式綜合提高1.分式及分式的基本性質(zhì)．2.分式的四則運(yùn)算．3.分式方程及應(yīng)用．二.知識(shí)要點(diǎn)：1.分式的概念，考查分式有無意義的條件和分式值為0的條件．（1）分式的基本性質(zhì)：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)＝eq\f(A÷M,B÷M)（M≠0）；（2）分式的通分：確定最簡(jiǎn)公分母；（3）分式的約分：確定分子、分母的公因式．2.分式的運(yùn)算（1）分式的乘法：eq\f(b,a)·eq\f(d,c)＝eq\f(（）,（）)；（2）分式的除法：eq\f(b,a)÷eq\f(d,c)＝eq\f(（）,（）)×eq\f(（）,（）)＝eq\f(（）,（）)；（3）分式的乘方：（eq\f(b,a)）n＝eq\f(（）,（）)；（4）同分母分式的加減；eq\f(a,b)±eq\f(c,b)＝eq\f(（）,（）)；（5）異分母分式的加減：eq\f(b,a)±eq\f(d,c)＝eq\f(（）,（）)±eq\f(（）,（）)＝eq\f(（）,（）)；（6）分式混合運(yùn)算順序與分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算類似，先算__________，再算__________，最后算__________，有括號(hào)的__________．3.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和科學(xué)記數(shù)法（1）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：一般地，am÷an＝am－n（m、n均為正整數(shù)，且m＞n），當(dāng)m＜n時(shí)，m－n＜0．設(shè)am÷an＝a－p（p是正整數(shù)），則a－p＝__________．（2）科學(xué)記數(shù)法：如果一個(gè)數(shù)不小于10，那么這個(gè)數(shù)可以寫成a×10n（1≤a<10且n為正整數(shù)）；如果一個(gè)數(shù)大于0而小于1，也可以用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n（1≤a<10且n為負(fù)整數(shù)）．如36000＝×__________，＝×__________．4.列分式方程解應(yīng)用題列分式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的分析思路完全相同，一般包括：審題、設(shè)未知數(shù)、找數(shù)量關(guān)系列方程、解方程并檢驗(yàn)、寫答案．在分式方程檢驗(yàn)解時(shí)，應(yīng)注意從是否符合所列方程和是否符合題意兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn)，并必須寫出檢驗(yàn)步驟．三.重點(diǎn)難點(diǎn)：本講重點(diǎn)是熟練掌握分式的基本性質(zhì)；會(huì)進(jìn)行分式的約分、通分和加減乘除四則運(yùn)算，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程和檢驗(yàn)分式方程的根．難點(diǎn)是如何解決一些與分式、分式方程有關(guān)的實(shí)際問題．四.考點(diǎn)分析：分式的化簡(jiǎn)與計(jì)算是中考的熱點(diǎn)問題，每年各地區(qū)中考都要考查．主要考查分式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算能力，列分式方程解應(yīng)用題的能力，以填空題、選擇題為主，解答題中常和其他知識(shí)結(jié)合在一起進(jìn)行考查．題目的難度以簡(jiǎn)單題和中等難度題為主．【典型例題】例1.完成下列各題：（1）當(dāng)代數(shù)式eq\f(x－5,（x－2）（x－3）)是分式時(shí)，x的取值情況是__________．（2）當(dāng)x＝__________時(shí)，分式eq\f(x2－x－6,（1－x）（x－3）)的值為零．（3）若（y－3）0＋（y＋2）－1有意義，則y__________；（x2－1）－2＝eq\f(1,（x2－1）2)成立的條件是__________．（4）若a＝2－2，b＝（eq\r(,3)－1）0，c＝（－1）3，則a、b、c的大小關(guān)系是__________．（5）（－10）2＋（eq\f(1,20)）－3×（π－÷3）0－（－2）－2×（－eq\f(1,4)）－2＝__________．分析：（1）eq\f(x－5,（x－2）（x－3）)中分母是（x－2）與（x－3）的積，這兩個(gè)因式都不能為0，所以x既不能是2又不能是3．（2）要使分式的值為0，必須使分子為0而分母不為0．（3）題考查零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪中對(duì)底數(shù)的限制條件，都要求底數(shù)不為零．（4）對(duì)于零指數(shù)冪的運(yùn)算，先考慮底數(shù)是否為零，只要底數(shù)不為零，就可直接寫成1．（5）關(guān)于負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)即可變成正指數(shù)．如（eq\f(1,20)）－3＝203．解：（1）x≠2且x≠3（2）x＝－2（3）y≠3且y≠－2；x≠±1（4）b＞a＞c（5）8096．例2.已知a2＋2a－1＝0，求（eq\f(a－2,a2＋2a)－eq\f(a－1,a2＋4a＋4)）÷eq\f(a－4,a＋2)的值．分析：此題將分式的加減和乘除結(jié)合起來，先算括號(hào)里的減法，再將除法轉(zhuǎn)化成乘法．化簡(jiǎn)后再代值求出結(jié)果．解：原式＝[eq\f(a－2,a（a＋2）)－eq\f(a－1,（a＋2）2)]÷eq\f(a－4,a＋2)＝[eq\f(（a－2）（a＋2）,a（a＋2）2)－eq\f(a（a－1）,a（a＋2）2)]·eq\f(a＋2,a－4)＝[eq\f(a2－4－a2＋a,a（a＋2）2)]·eq\f(a＋2,a－4)＝eq\f(a－4,a（a＋2）2)·eq\f(a＋2,a－4)＝eq\f(1,a（a＋2）)＝eq\f(1,a2＋2a)因?yàn)閍2＋2a－1＝0，所以a2＋2a＝1，所以eq\f(1,a2＋2a)＝eq\f(1,1)＝1．評(píng)析：化簡(jiǎn)條件和所需求值的代數(shù)式或只化簡(jiǎn)其中一個(gè)，然后再代入求值，是化簡(jiǎn)求值中經(jīng)常用到的一種方法．例3.解方程eq\f(1,x)＋eq\f(x－2,x2)＝eq\f(3,x)．分析：利用等式性質(zhì)，兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，化分式方程為整式方程．解：方程兩邊都乘x2，得x＋x－2＝3x解得x＝－2檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－2時(shí)，最簡(jiǎn)公分母x2＝（－2）2＝4≠0，所以x＝－2是原方程的根．評(píng)析：解分式方程的關(guān)鍵是化分式方程為整式方程，解分式方程一定要檢驗(yàn)．例4.已知某輪船從甲碼頭到乙碼頭的路程為skm，航速為vkm/h，返回時(shí)的速度是去時(shí)的2倍，問輪船來回的總時(shí)間是多少．分析：此題考查運(yùn)動(dòng)中路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系，來回的總時(shí)間等于去時(shí)時(shí)間＋返回的時(shí)間．解：eq\f(s,v)＋eq\f(s,2v)＝eq\f(3s,2v)（h）．答：輪船往返一次的時(shí)間為eq\f(3s,2v)h．評(píng)析：求路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系時(shí)可以結(jié)合物理知識(shí)來解決．例5.某文化用品商店用2000元購進(jìn)一批學(xué)生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購進(jìn)第二批同樣的書包，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的3倍，但單價(jià)貴了4元，結(jié)果第二批用了6300元．（1）求第一批購進(jìn)書包的單價(jià)是多少元？（2）若商店銷售這兩批書包時(shí)，每個(gè)售價(jià)都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？分析：（1）相等關(guān)系是“第二批數(shù)量是第一批數(shù)量的3倍”，數(shù)量關(guān)系如下表：總價(jià)單價(jià)數(shù)量第一批2000xeq\f(2000,x)第二批6300（2）求出這兩批書包的數(shù)量，乘以售價(jià)120元，再減去購進(jìn)書包所用的（2000＋6300）元，所得結(jié)果就是全部售出后的盈利．解：（1）設(shè)第一批購進(jìn)書包的單價(jià)是x元，根據(jù)題意得：eq\f(2000,x)·3＝eq\f(6300,x＋4)，解得x＝80（元）（2）eq\f(2000,80)×（1＋3）×120－（2000＋6300）＝3700（元）答：（1）第一批購進(jìn)書包的單價(jià)是80元．（2）全部售出后，商店共盈利3700元．【方法總結(jié)】1.在解有關(guān)分式求值的問題時(shí)，要注意分式的取值必須是在分式有意義的前提下進(jìn)行的，因此首先應(yīng)確定使分母不為0的字母的取值范圍．2.分式的計(jì)算要注意的幾點(diǎn)：①在分式的乘除法混合運(yùn)算中，要先將乘除法運(yùn)算統(tǒng)一成乘法．②分式乘法，一般先約分再乘除．③當(dāng)除式或被除式是整式時(shí)，把整式看作分母為1的式子．④要注意運(yùn)算順序．3.轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想能把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題解決，把生疏的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題解決．本章的學(xué)習(xí)中多次應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，如：分式除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算；異分母分式相加減轉(zhuǎn)化為同分母分式相加減；分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一.選擇題1.下列各式中與eq\f(b,a)相等的是（）A.eq\f(b2,a2) B.eq\f(b＋2,a＋2) C. D.eq\f(a＋b,2a)2.分式eq\f(1,a＋b)、eq\f(2a,a2－b2)、eq\f(b,b－a)的最簡(jiǎn)公分母是（）A.（a2－b2）（a＋b）（b－a） B.（a2－b2）（a＋b）C.（a2－b2）（b－a） D.a2－b23.化簡(jiǎn)eq\f(12,m2－9)＋eq\f(2,m＋3)的結(jié)果是（）A.eq\f(6,m2－9) B.eq\f(2,m－3) C.eq\f(2,m＋3) D.eq\f(2m＋6,m2－9)4.化簡(jiǎn)eq\f(m2－n2,m2＋mn)的結(jié)果是（）A.eq\f(m－n,2m) B.eq\f(m－n,m) C.eq\f(m＋n,m) D.eq\f(m－n,m＋n)5.計(jì)算（eq\f(a2＋b2,a2－b2)－eq\f(a－b,a＋b)）×eq\f(a－b,2ab)的結(jié)果是（）A.eq\f(1,a－b) B.eq\f(1,a＋b) C.a－b D.a＋b6.若分式方程eq\f(x,x＋1)＝eq\f(m,x＋1)無解，則m的值為（）A.1 B.0 C.－1 D.－2*7.已知x2－5x－1997＝0，則代數(shù)式eq\f(（x－2）2－（x－1）2＋1,x－2)的值為（）A.1999 B.2000 C.2022 D.－28.“五一”期間，部分同學(xué)包租一輛面包車出去旅游，面包車的租金為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來少分?jǐn)偭?元車費(fèi)．若設(shè)原來的學(xué)生共有x人，則所列方程為（）A.eq\f(180,x)－eq\f(180,x＋2)＝3 B.eq\f(180,x＋2)－eq\f(180,x)＝3 C.eq\f(180,x)－eq\f(180,x－2)＝3 D.eq\f(180,x－2)－eq\f(180,x)＝3二.填空題1.分式eq\f(（x＋1）（x－2）,（x－2）（x－1）)有意義的條件是__________．2.若a2－6a＋9與︱b－1︱互為相反數(shù)，則式子（eq\f(a,b)－eq\f(b,a)）÷（a＋b）的值為__________．3.當(dāng)x＝__________時(shí)，分式eq\f(2x－3,x－1)的值等于1．4.2022年某地生產(chǎn)總值按可比價(jià)格計(jì)算，比上年增長(zhǎng)%，達(dá)到136515億元，136515億元用科學(xué)記數(shù)法表示（保留四個(gè)有效數(shù)字）為__________元．*5.若x＋eq\f(1,x)＝3，則x2＋eq\f(1,x2)＝__________．三.解答題1.化簡(jiǎn)：（eq\f(a2,a－2)－eq\f(4,a－2)）·eq\f(1,a2＋2a)．2.求代數(shù)式的值：eq\f(3x＋6,x2＋4x＋4)÷eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(1,x－2)，其中x＝－6．3.計(jì)算：－eq\f(1,2－2)＋eq\r(3,－27)＋（π－1）0－︱－eq\f(1,4)－1︱．*4.已知，3＋eq\f(3,8)＝32×eq\f(3,8)，4＋eq\f(4,15)＝42×eq\f(4,15)，…，若10＋eq\f(a,b)＝102×eq\f(a,b)（a、b為正整數(shù)），求分式eq\f(a2＋2ab＋b2,ab2＋a2b)的值．5.解方程（1）eq\f(3,x－2)＝2＋eq\f(x,2－x)；（2）eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(32,x2＋2x)．6.甲、乙兩地相距360千米，一運(yùn)輸車隊(duì)從甲地出發(fā)到乙地，當(dāng)行駛了150千米后，接到通知，要求提前到達(dá)，車隊(duì)決定把速度提高到原來的倍，到達(dá)乙地共用了6小時(shí)．問該車隊(duì)原來的行駛速度是多少？**7.某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工數(shù)量的eq\f(2,3)，公司需付甲工廠加工費(fèi)用每天80元，需付乙工廠加工費(fèi)用每天120元．（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成，在加工過程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天10元的午餐補(bǔ)助費(fèi)，請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說明理由．

【試題答案】一.選擇題1.C2.D3.B4.B5.B6.C7.D8.A二.填空題1.x≠2且x≠12.eq\f(2,3)3.24.×10135.7三.解答題1.原式＝eq\f(1,a)2.原式＝eq\f(2,x－2)