勾股定理的常見解題誤區(qū)

慧眼識錯剖析勾股定理及其逆定理的認識誤區(qū)湖北省恩施市龍鳳初中（衙門臺）鄒興平（郵編：445003）勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理，其應(yīng)用非常廣泛，但在應(yīng)用時，常會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，現(xiàn)歸納剖析如下：一、審題不仔細，受定勢思維影響錯點1、在Rt△ABC中，兩邊長分別為a=3cm,b=4cm，則的長為5cm。錯因分析：因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時，斜邊長為5.但這一理解的前提是3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊。正解：（1）當(dāng)a,b為兩直角邊時，為斜邊，的長為；（2）當(dāng)b為斜邊，a為直角邊時，為直角邊，的長為。則的長為5cm或cm。二、考慮不全面造成漏解錯點2、在△ABC中，兩邊長分別為第三邊上的高為，則此三角形的面積為．錯因分析：初看上去，上述答案沒有錯誤，其實答案不完整，因為∠C除了為銳角外，還可能是鈍角．DCBA圖2正解：當(dāng)∠C為DCBA圖2DCBA圖1DCBA圖1∴，從而得；當(dāng)∠C為鈍角時，如圖2，，從而得。則此三角形的面積為或．三、忽視最大角對的邊是最長邊錯點3、已知△ABC的三邊的長分別是BC=41，AC=40，AB=9．則∠C=90°。錯因分析：直角三角形中哪個角是直角，應(yīng)以最大邊所對的角來確定，這里的最大邊為BC，其所對的角為A，所以這里的∠A=90°．而不是∠C=90°．正解：因為BC=41，AC=40，AB=9，所以BC2=AC2+AB2，所以∠A=90°，∠C≠90°。點評：應(yīng)用勾股逆定理時,應(yīng)注意把握三角形邊角之間的對應(yīng)關(guān)系，一定要注意最長邊對的角為直角．四、“勾股定理”與其“逆定理”混淆不清錯點4、在△ABC中，a＝12，b＝5，c＝13，由勾股定理可知△ABC為直角三角形．錯因分析：本題錯在混淆了勾股定理和它的逆定理，其實本題應(yīng)依據(jù)勾股定理的逆定理來判斷△ABC為直角三角形．正解：因為a2+b2=122+52=169，c2=132=169，所以a2+b2=c2．根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形．五、把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型時錯解。錯點5、如圖，圓柱體的底面周長為80,高為9，BC為直徑．一只螞蟻從點A沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程大約是41cm。錯因分析：假設(shè)把這個圓柱體沿著直線AB剪開，攤平得到一個長方形，如圖，則A、C兩點間的最短線路長就是線段AC的長，即為螞蟻爬行的路程．由題意可知：AB＝9，BC等于圓周長的一半，即BC＝40．在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，則AC＝41．得螞蟻爬行的最短路程大約是41．而沒有考慮其他方法將圓柱表面展開，來求展開圖中兩點之間的最短距離。正解：當(dāng)螞蟻從點A沿線段AB爬行，再沿線段BC爬行到點C時，AB+BC=9+80÷兀＜35，螞蟻爬行的最短路程大約是（9+80÷兀）．【知識點撥】（1）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．即直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長為a、b、c且滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．（3）運用勾股定理計算三角形的邊長時，注意勾股定理的使用條件：三角形必須是直角三角形；注意找準(zhǔn)斜邊和直角邊，避免出現(xiàn)斜邊與直角邊的思維定勢上的錯誤，防止因思考片面而造成的漏解或錯解；注意勾股定理的變形使用．如，由a2+b2=c2可變形為a2=c2－b2，c2－a2=b2等；注意從實際問題中構(gòu)建直角三角形模型．（4）運用勾股定理的逆定理時，應(yīng)用三角形較小兩邊的平方和（a2+b2）與最大邊的平方（c2）作比較，看它們是否滿足a2+b2=c2，若滿足，該三角形是直角三角形;否則，不是直角三角形．練習(xí)：1、在△ABC中，的對邊分別為，且，則（）（A）為直角；（B）為直角；（C）為直角；（D）不是直角三角形。2、下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）（A）1、2、3（B）（C）（D）3、下列長度的各組線段構(gòu)成勾股數(shù)的是（）A、,,B、6,8,10C、n2－1，2n，n2＋1（n＞1）D、,,14、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BC＝a，AC＝b，若AB＝16，CD＝6，那么a－b=（）A、8B、－8C、±85、如右圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為（）A． B． C． D．6、有一個長方體硬紙盒，其棱長AB=3，BC=1，AA1=2，一只蜘