高中數(shù)學(xué)基本不等式知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用a＋b1．基本不等式：ab≤2a＋b設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為2，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)．技巧和公式等號(hào)成立的條件等．(2)2≥2≥ab≥1(2)2≥2≥ab≥11(a＞0，b＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．＋aab視．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可．(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(1)y＝3x2＋ xx技巧四：換元時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)=x+a的單調(diào)性。例：求函數(shù)y=x2+5的值域。xx2+4(1)y=x2+3x+1,(x>0)(2)y=2x+1,x>3xx33144xy變式：若logx+logy=2，求+44xy求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)xyxyxyy2y2技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋＝1，求x1＋y2的最大值.21技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.本不等式證明不等式 (a)(b)(c) (a)(b)(c)等式與恒成立問(wèn)題xy22是.是13x2·＝6∴值域?yàn)閇6xxx解：因4x-5<0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x-2)1不是常數(shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊1當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，y=1。5-4xmax評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。解析：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x＋1)的項(xiàng)，再將其分離。解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。tttt評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求解：令x2+4=t(t>2)，則y=x2+5=x2+4+1=t+1(t>2)x2+4x2+4txy故tt因?yàn)閥=t+1在區(qū)間[1,+w)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間[2,+w)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y>5。t2ab理求 錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在x+y>2xy等號(hào)成立條件是x=y，在1+9>29xyxyxxy解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方xy (xy)xy (xy)xyxyxymin2。22x1＋y2＝x22y2222222y2＋22ty2＋22ty≤22222≤222223＝＝4221y23224224因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝t＝－2(t＋11法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab則u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴∴ab≤32，ab≤18，∴y≥點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式>ab(a,bR+)的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何22aba＋b2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，2≤2，本題很簡(jiǎn)單3x＋2y≤2(3x)2＋(2y)2＝23x＋2y＝25接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形∴W≤20＝25222max評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。aaaaaaaa