概率論與數(shù)理統(tǒng)計 區(qū)間估計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計區(qū)間估計第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

引言前面，我們討論了參數(shù)的點估計,它是用樣本算得的一個估計值去估計未知參數(shù).但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，這是點估計的一個缺陷。下面我們將介紹的區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五一、區(qū)間估計的基本概念1.

置信區(qū)間的定義(6.7)第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五關于定義的說明第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

一旦有了樣本，就把估計在區(qū)間內.由定義可見，對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限(X1,…Xn)(X1,…Xn)第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計1.I.單個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五推導過程如下:第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長度為第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五包糖機某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設重量服從正態(tài)分布,解附表2-1例1第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五附表2-2查表得第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五從以上解題過程還可以看出，求未知參數(shù)的區(qū)間估計最關鍵一步是，選擇合適的函數(shù)并求出它的分布；其次是對給定的實數(shù)，查分位數(shù)表求出分位點，通過不等式變形得到參數(shù)的區(qū)間估計。

我們將以上步驟總結成一個順口流幫助同學們記憶。這就是：區(qū)間估計并不難，選擇函數(shù)是關鍵，給定查數(shù)表，不等式變形得區(qū)間。第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五推導過程如下:第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取16袋,稱得重量(克)如下:設袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例2第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個估計的可信程度為95%.這個誤差的可信度為95%.第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五解附表3-2例3(續(xù)例1)如果只假設糖包的重量服從正態(tài)分布第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五解例4第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五推導過程如下:根據(jù)第五章第三節(jié)定理5.8知II.第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五進一步可得:注意:在密度函數(shù)不對稱時,習慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間(如圖).第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五

(續(xù)例2)求例2中總體標準差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標準差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例5第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五2、兩個正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計

討論兩個總體均值差和方差比的估計問題.第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五推導過程如下:I.第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五例6機床廠某日從兩臺機床加工的零件中,分別抽取若干個樣品,測得零件尺寸分別如下(單位:cm):

第一臺機器6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.85.7,6.0,6.0,5.8,6.0

第二臺機器5.6,5.9,5.6,5.7,5.86.0,5.5,5.7,5.5假設兩臺機器加工的零件尺寸均服從正態(tài)分布,且方差相等,試求兩機床加工的零件平均尺寸之差的區(qū)間估計第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五解用X表示第一臺機床加工的零件尺寸,用Y表示第二臺機床加工的零件尺寸,由題設第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)計算，得第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五置信下限置信上限故所求的置信度為95%的置信區(qū)間為[0.0912,0.5088].第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五推導過程如下:II.第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)F分布的定義,知第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五解例7研究由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內徑,隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只,測得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設兩樣本相互獨抽取機器B生產(chǎn)的管子13只,測得樣本方差為立,且設由機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管內徑分別服從正態(tài)分布信第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五解例8的置甲、乙兩臺機床加工同一種零件,在機床甲加工的零件中抽取9個樣品,在機床乙加工的零件信區(qū)間.假定測量值都服從正態(tài)分布,方差分別為在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺機床加工精度之比中抽取6個樣品,并分別測得它們的長度(單位:mm),第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五三、小結點估計不能反映估計的誤差和精度,因此，本節(jié)引入了區(qū)間估計.求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五當n1,n2充分大時近似置信區(qū)間第49頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五第50頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五附表2-1標準正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645第51頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標準正態(tài)分布表第52頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.1315第53頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.2010附表3-2分布表第54頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五附表4-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.