2022年重慶市中考數學試卷（A卷）及答案

2022年重慶市中考數學試卷（A卷）一、選擇題：（本大題12個小題，每小題4分，共48分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1．（4分）5的相反數是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．2．（4分）下列圖形是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）如圖，直線AB，CD被直線CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，則∠1的度數為（）A．40° B．50° C．130° D．150°4．（4分）如圖，曲線表示一只蝴蝶在飛行過程中離地面的高度h（m）隨飛行時間t（s）的變化情況，則這只蝴蝶飛行的最高高度約為（）A．5m B．7m C．10m D．13m5．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（）A．4 B．6 C．9 D．166．（4分）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數為（）A．32 B．34 C．37 D．417．（4分）估計×（2+）的值應在（）A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間8．（4分）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的是（）A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝2429．（4分）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF，若BE＝AF，則∠CDF的度數為（）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°10．（4分）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．411．（4分）若關于x的一元一次不等式組的解集為x≤﹣2，且關于y的分式方程＝﹣2的解是負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣1312．（4分）在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其運算結果與原多項式相等；②不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；③所有可能的“加算操作”共有8種不同運算結果．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（本大題四個小題，每小題4分，共16分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．13．（4分）計算：|﹣4|+（3﹣π）0＝．14．（4分）有三張完全一樣正面分別寫有字母A，B，C的卡片．將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片上的字母后放回洗勻，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的字母相同的概率是．15．（4分）如圖，菱形ABCD中，分別以點A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為．（結果不取近似值）16．（4分）為進一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預算，這三座山各需兩種樹木數量和之比為5：6：7，需香樟數量之比為4：3：9，并且甲、乙兩山需紅楓數量之比為2：3．在實際購買時，香樟的價格比預算低20%，紅楓的價格比預算高25%，香樟購買數量減少了6.25%，結果發(fā)現所花費用恰好與預算費用相等，則實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用之比為．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．17．（8分）計算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）（﹣1）÷．18．（8分）在學習矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系．他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉化為證明三角形全等，然后根據全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖痕跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴①∵AD∥BC，∴②又③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在對應的位置上．19．（10分）公司生產A、B兩種型號的掃地機器人，為了解它們的掃地質量，工作人員從某月生產的A、B型掃地機器人中各隨機抽取10臺，在完全相同條件下試驗，記錄下它們的除塵量的數據（單位：g），并進行整理、描述和分析（除塵量用x表示，共分為三個等級：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，優(yōu)秀x≥95），下面給出了部分信息：10臺A型掃地機器人的除塵量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10臺B型掃地機器人中“良好”等級包含的所有數據為：85，90，90，90，94抽取的A、B型掃地機器人除塵量統(tǒng)計表型號平均數中位數眾數方差“優(yōu)秀”等級所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）這個月公司可生產B型掃地機器人共3000臺，估計該月B型掃地機器人“優(yōu)秀”等級的臺數；（3）根據以上數據，你認為該公司生產的哪種型號的掃地機器人掃地質量更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．20．（10分）已知一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于點A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；（2）根據函數圖象，直接寫出不等式kx+b＞的解集；（3）若點C是點B關于y軸的對稱點，連接AC，BC，求△ABC的面積．21．（10分）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．22．（10分）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點C在點A的正東方向，AC＝200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．（1）求步道DE的長度（精確到個位）；（2）點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經過點B到達點D，也可以經過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：≈1.414，≈1.732）23．（10分）若一個四位數M的個位數字與十位數字的平方和恰好是M去掉個位與十位數字后得到的兩位數，則這個四位數M為“勾股和數”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和數”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和數”．（1）判斷2022，5055是否是“勾股和數”，并說明理由；（2）一個“勾股和數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記G（M）＝，P（M）＝．當G（M），P（M）均是整數時，求出所有滿足條件的M．24．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與直線AB交于點A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交AB于點C，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求PC+PD的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點E為點P的對應點，平移后的拋物線與y軸交于點F，M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點N，使得以點E，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．Ⅷ25．（10分）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，點D，E分別是邊AB，AC上一動點，連接BE交直線CD于點F．（1）如圖1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度數；（2）如圖2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面內將線段AC繞點C順時針方向旋轉60°得到線段CM，連接MF，點N是MF的中點，連接CN．在點D，E運動過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數量關系，并證明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內得到△ABP，點H是AP的中點，點K是線段PF上一點，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面內得到△QHK，連接PQ．在點D，E運動過程中，當線段PF取得最小值，且QK⊥PF時，請直接寫出的值．2022年重慶市中考數學試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題12個小題，每小題4分，共48分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1．（4分）5的相反數是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．【分析】根據一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號，求解即可．【解答】解：5的相反數是﹣5，故選：A．2．（4分）下列圖形是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D．是軸對稱圖形，故此選項符合題意．故選：D．3．（4分）如圖，直線AB，CD被直線CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，則∠1的度數為（）A．40° B．50° C．130° D．150°【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠C＝180°，∴∠1＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．故選：C．4．（4分）如圖，曲線表示一只蝴蝶在飛行過程中離地面的高度h（m）隨飛行時間t（s）的變化情況，則這只蝴蝶飛行的最高高度約為（）A．5m B．7m C．10m D．13m【分析】根據函數的圖象的最高點對應的函數值即可得出答案．【解答】解：觀察圖象，當t＝3時，h＝13，∴這只蝴蝶飛行的最高高度約為13m，故選：D．5．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根據位似圖形是相似圖形，相似三角形的周長比等于相似比，可以求得△DEF的周長．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，相似比為2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周長為4，∴△DEF的周長是6，故選：B．6．（4分）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數為（）A．32 B．34 C．37 D．41【分析】根據圖形的變化規(guī)律得出第n個圖形中有4n+1個正方形即可．【解答】解：由題知，第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，…，第n個圖案中有4n+1個正方形，∴第⑨個圖案中正方形的個數為4×9+1＝37，故選：C．7．（4分）估計×（2+）的值應在（）A．10和11之間 B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間【分析】先計算出原式得6+，再根據無理數的估算可得答案．【解答】解：原式＝+＝6+，∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴9＜6+＜10．故選：B．8．（4分）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為x，根據題意，下面所列方程正確的是（）A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242【分析】設該快遞店攬件日平均增長率為x，關系式為：第三天攬件數＝第一天攬件數×（1+攬件日平均增長率）2，把相關數值代入即可．【解答】解：設該快遞店攬件日平均增長率為x，根據題意，可列方程：200（1+x）2＝242，故選：A．9．（4分）如圖，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于點E，點F是邊AB上一點，連接DF，若BE＝AF，則∠CDF的度數為（）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°【分析】根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質，可以得到∠ADF的度數，從而可以求得∠CDF的度數．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故選：C．10．（4分）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．4【分析】連接OB，則OB⊥AB，由勾股定理可知，AB2＝OA2﹣OB2①，由OB和OD是半徑，所以∠A＝∠D＝∠OBD，所以△OBD∽△BAD，AB＝BD，可得BD2＝OD?AD，所以OA2﹣OB2＝OD?AD，設OD＝x，則AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，所以（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），求出x的值，即可求出OA和OB的長，進而求得AB的長．【解答】解：如圖，連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半徑，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD?AD，即OA2﹣OB2＝OD?AD，設OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（負值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3，故選：C．11．（4分）若關于x的一元一次不等式組的解集為x≤﹣2，且關于y的分式方程＝﹣2的解是負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13【分析】解不等式組得出，結合題意得出a＞﹣11，解分式方程得出y＝，結合題意得出a＝﹣8或﹣5，進而得出所有滿足條件的整數a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式組得：，∵不等式組的解集為x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是負整數且y≠﹣1，∴是負整數且≠﹣1，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有滿足條件的整數a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故選：D．12．（4分）在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其運算結果與原多項式相等；②不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；③所有可能的“加算操作”共有8種不同運算結果．其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據“加算操作”的定義可知，當只給x﹣y加括號時，和原式相等；因為不改變x，y的運算符號，故不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通過加括號改變z，m，n的符號，因為z，m，n中只有加減兩種運算，求出即可．【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，與原式相等，故①正確；②∵在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通過加括號改變z，m，n的符號，無法改變x，y的符號，故不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；故②正確；③在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通過加括號改變z，m，n的符號，加括號后只有加減兩種運算，∴2×2×2＝8種，所有可能的加括號的方法最多能得到8種不同的結果．故選：D．二、填空題（本大題四個小題，每小題4分，共16分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．13．（4分）計算：|﹣4|+（3﹣π）0＝5．【分析】根據絕對值的性質和零指數冪的性質計算即可．【解答】解：原式＝4+1＝5．故答案為：5．14．（4分）有三張完全一樣正面分別寫有字母A，B，C的卡片．將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片上的字母后放回洗勻，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的字母相同的概率是．【分析】根據題意列出圖表得出所有等情況數和兩次抽出的卡片上的字母相同的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【解答】解：根據題意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有9種等可能的結果數，其中兩次抽出的卡片上的字母相同的有3種情況，所以抽取的兩張卡片上的字母相同的概率為＝，故答案為：．15．（4分）如圖，菱形ABCD中，分別以點A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為．（結果不取近似值）【分析】根據菱形的性質求出對角線的長，進而求出菱形的面積，再根據扇形面積的計算方法求出扇形ADE的面積，由S陰影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE可得答案．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點O，則AC⊥BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝1，AO＝AB＝，∴AC＝2OA＝2，BD＝2BO＝2，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝2，∴S陰影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE＝2﹣＝，故答案為：．16．（4分）為進一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預算，這三座山各需兩種樹木數量和之比為5：6：7，需香樟數量之比為4：3：9，并且甲、乙兩山需紅楓數量之比為2：3．在實際購買時，香樟的價格比預算低20%，紅楓的價格比預算高25%，香樟購買數量減少了6.25%，結果發(fā)現所花費用恰好與預算費用相等，則實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用之比為．【分析】分別設出甲乙丙三山的香樟數量、紅楓數量及總量，根據甲乙兩山紅楓數量關系，得出甲乙丙三山香樟和紅楓的數量（只含一個字母），進而根據“所花費用和預算費用相等”列出等式，從而求得香樟和紅楓的單價之間關系，進一步求得結果．【解答】解：根據題意，如表格所設：香樟數量紅楓數量總量甲4x5y﹣4x5y乙3x6y﹣3x6y丙9x7y﹣9x7y∵甲、乙兩山需紅楓數量之比為2：3，∴，∴y＝2x，故數量可如下表：香樟數量紅楓數量總量甲4x6x10x乙3x9x12x丙9x5x14x所以香樟的總量是16x，紅楓的總量是20x，設香樟的單價為a，紅楓的單價為b，由題意得，[16x?（1﹣6.25%）]?[a?（1﹣20%）]+20x?[b?（1+25%）]＝16x?a+20x?b，∴12a+25b＝16a+20b，∴4a＝5b，設a＝5k，b＝4k，∴＝＝，故答案為：．三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．17．（8分）計算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）（﹣1）÷．【分析】（1）先利用完全平方公式和單項式乘多項式法則計算，再合并同類項即可；（2）先計算括號內分式的減法，再將除法轉化為乘法，繼而約分即可．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x＝2x2+4；（2）原式＝（﹣）÷＝?＝．18．（8分）在學習矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系．他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉化為證明三角形全等，然后根據全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖痕跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．【分析】根據已知條件依次寫出相應的解答過程即可．【解答】解：由題知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，故答案為：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在對應的位置上．19．（10分）公司生產A、B兩種型號的掃地機器人，為了解它們的掃地質量，工作人員從某月生產的A、B型掃地機器人中各隨機抽取10臺，在完全相同條件下試驗，記錄下它們的除塵量的數據（單位：g），并進行整理、描述和分析（除塵量用x表示，共分為三個等級：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，優(yōu)秀x≥95），下面給出了部分信息：10臺A型掃地機器人的除塵量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10臺B型掃地機器人中“良好”等級包含的所有數據為：85，90，90，90，94抽取的A、B型掃地機器人除塵量統(tǒng)計表型號平均數中位數眾數方差“優(yōu)秀”等級所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝95，b＝90，m＝20；（2）這個月公司可生產B型掃地機器人共3000臺，估計該月B型掃地機器人“優(yōu)秀”等級的臺數；（3）根據以上數據，你認為該公司生產的哪種型號的掃地機器人掃地質量更好？請說明理由（寫出一條理由即可）．【分析】（1）根據眾數、中位數概念可求出a、b的值，由B型掃地機器人中“良好”等級占50%，“優(yōu)秀”等級所占百分比為30%，可求出m的值；（2）用3000乘30%即可得答案；（3）比較A型、B型掃地機器人的除塵量平均數、眾數可得答案．【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出現次數最多的是95，∴眾數a＝95，10臺B型掃地機器人中“良好”等級有5臺，占50%，“優(yōu)秀”等級所占百分比為30%，∴“合格”等級占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20，把B型掃地機器人的除塵量從小到大排列后，第5個和第6個數都是90，∴b＝90，故答案為：95，90，20；（2）該月B型掃地機器人“優(yōu)秀”等級的臺數3000×30%＝900（臺）；（3）A型號的掃地機器人掃地質量更好，理由是在平均除塵量都是90的情況下，A型號的掃地機器人除塵量的眾數＞B型號的掃地機器人除塵量的眾數（理由不唯一）．20．（10分）已知一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于點A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；（2）根據函數圖象，直接寫出不等式kx+b＞的解集；（3）若點C是點B關于y軸的對稱點，連接AC，BC，求△ABC的面積．【分析】（1）根據反比例函數解析式求出A點和B點的坐標，然后用待定系數法求出一次函數的表達式即可；（2）根據圖象直接得出不等式的解集即可；（3）根據對稱求出C點坐標，根據A點、B點和C點坐標確定三角形的底和高，進而求出三角形的面積即可．【解答】解：（1）∵反比例函數y＝的圖象過點A（1，m），B（n，﹣2），∴，n＝，解得m＝4，n＝﹣2，∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象過A點和B點，∴，解得，∴一次函數的表達式為y＝2x+2，描點作圖如下：（2）由（1）中的圖象可得，不等式kx+b＞的解集為：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）由題意作圖如下：由圖知△ABC中BC邊上的高為6，BC＝4，∴S△ABC＝＝12．21．（10分）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度．【分析】（1）設乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，利用路程＝速度×時間，結合甲追上乙時二者的行駛路程相等，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2x中即可求出甲騎行的速度；（2）設乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，利用時間＝路程÷速度，結合乙比甲多用20分鐘，即可得出關于y的分式方程，解之經檢驗后即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2y中即可求出甲騎行的速度．【解答】解：（1）設乙騎行的速度為x千米/時，則甲騎行的速度為1.2x千米/時，依題意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲騎行的速度為24千米/時．（2）設乙騎行的速度為y千米/時，則甲騎行的速度為1.2y千米/時，依題意得：﹣＝，解得：y＝15，經檢驗，y＝15是原方程的解，且符合題意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲騎行的速度為18千米/時．22．（10分）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點C在點A的正東方向，AC＝200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD＝100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．（1）求步道DE的長度（精確到個位）；（2）點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經過點B到達點D，也可以經過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）過D作DF⊥AE于F，由已知可得四邊形ACDF是矩形，則DF＝AC＝200米，根據點D在點E的北偏東45°，即得DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，又BD＝100米，即可得經過點B到達點D路程為AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，從而可得經過點E到達點D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，即可得答案．【解答】解：（1）過D作DF⊥AE于F，如圖：由已知可得四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵點D在點E的北偏東45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵點B在點A的北偏東30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴經過點B到達點D路程為AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴經過點E到達點D路程為AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴經過點B到達點D較近．23．（10分）若一個四位數M的個位數字與十位數字的平方和恰好是M去掉個位與十位數字后得到的兩位數，則這個四位數M為“勾股和數”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和數”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和數”．（1）判斷2022，5055是否是“勾股和數”，并說明理由；（2）一個“勾股和數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記G（M）＝，P（M）＝．當G（M），P（M）均是整數時，求出所有滿足條件的M．【分析】（1）由“勾股和數”的定義可直接判斷；（2）由題意可知，10a+b＝c2+d2，且0＜c2+d2＜100，由G（M）為整數，可知c+d＝9，再由P（M）為整數，可得c22+d2＝81﹣2cd為3的倍數，由此可得出M的值．【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，∴1022不是“勾股和數”，∵52+52＝50，∴5055是“勾股和數”；（2）∵M為“勾股和數”，∴10a+b＝c2+d2，∴0＜c2+d2＜100，∵G（M）為整數，為整數，∴c+d＝9，∴P（M）＝＝為整數，∴c2+d2＝81﹣2cd為3的倍數，∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此時M＝8109或8190；②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此時M＝4536或4563．24．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與直線AB交于點A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交AB于點C，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求PC+PD的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點E為點P的對應點，平移后的拋物線與y軸交于點F，M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點N，使得以點E，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．Ⅷ【分析】（1）用待定系數法可得拋物線的函數表達式為y＝x2﹣x﹣4；（2）設直線AB解析式為y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入可得直線AB解析式為y＝x﹣4，設P（m，m2﹣m﹣4），則PD＝﹣m2+m+4，可得C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），PC＝﹣m2+2m，則PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m﹣4＝﹣（m﹣）2+，利用二次函數性質可得PC+PD的最大值為，此時點P的坐標是（，﹣）；（3）將拋物線y＝x2﹣x﹣4向左平移5個單位得拋物線y＝x2+4x+，對稱軸是直線x＝﹣4，即可得F（0，），E（﹣，﹣），設M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），分三種情況：①當EF、MN為對角線時，EF、MN的中點重合，可得N（，）；②當FM、EN為對角線時，FM、EN的中點重合，可得N（﹣，）；③當FN、EM為對角線時，FN、EM的中點重合，可得N（﹣，）．【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的函數表達式為y＝x2﹣x﹣4；（2）設直線AB解析式為y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：，解得，∴直線AB解析式為y＝x﹣4，設P（m，m2﹣m﹣4），則PD＝﹣m2+m+4，在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m﹣4＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴當m＝時，PC+PD取最大值，此時m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，∴P（，﹣）；答：PC+PD的最大值為，此時點P的坐標是（，﹣）；（3）∵將拋物線y＝x2﹣x﹣4向左平移5個單位得拋物線y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，∴新拋物線對稱軸是直線x＝﹣＝﹣4，在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，∴F（0，），將P（，﹣）向左平移5個單位得E（﹣，﹣），設M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），①當EF、MN為對角線時，EF、MN的中點重合，∴，解得r＝，∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，∴N（，）；②當FM、EN為對角線時，FM、EN的中點重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（