概率論與統(tǒng)計(jì)中心極限定理

概率論與統(tǒng)計(jì)中心極限定理第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五一、問題的提出二、中心極限定理第二節(jié)中心極限定理第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五一、問題的提出由上一節(jié)大數(shù)定理,我們得知滿足一定條件的隨機(jī)變量序列的算數(shù)平均值依概率收斂,但我們無法得知其收斂的速度,本節(jié)的中心極限定理可以解決這個(gè)問題.在實(shí)際中,人們發(fā)現(xiàn)n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布,并且

n越大,近似程度越好.第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五定理4.8

林德貝格-列維中心極限定理二、中心極限定理且具有數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,服從同一分布,則隨機(jī)變量EXi

,DXi

20i=1,2,…,n的分布函數(shù)Fnx對(duì)于任意x滿足第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五2

注1

近似程度越好.n越大,3的和近似服從正態(tài)分布.定理4.8表明n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk解由于VkU0,10

,易知k=1,2,…,20.設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,例1由林德貝格-列維中心極限定理知第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1,

于是第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,它們具有數(shù)學(xué)期望與方差若存在正數(shù),使得當(dāng)n時(shí)定理4.9

李雅普諾夫(Liapunov)定理第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fnx對(duì)于任意x滿足第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五注1

定理4.9是獨(dú)立不同分布情形的中心極限定理,該定理表明:當(dāng)n充分大時(shí),有而2

由定理4.8及定理4.9可以看出,正態(tài)隨機(jī)變量的普遍性及其在概率論中所占有的重要地位.第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五一份考卷由99個(gè)題目組成,并按由易到難順序排列.某學(xué)生答對(duì)1題的概率是0.99;答對(duì)第2題的概率是0.98;一般地,他答對(duì)第i題的概率是i=1,2,…,99,假如該學(xué)生回答各問題是相互獨(dú)立的,并且要正確回答其中60個(gè)問題以上(包括60)才算通過考試.試計(jì)算該學(xué)生通過考試的概率是多少?解設(shè)例2第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五于是Xi是兩點(diǎn)分布:為了使其成為隨機(jī)變量序列,我們規(guī)定從X100開始都與X99同分布,且相互獨(dú)立,于是另一方面,因?yàn)榈?2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五即獨(dú)立隨機(jī)變量序列滿足李雅普諾夫定理的條件.因此隨機(jī)變量于是近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1.第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五計(jì)算得第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五此學(xué)生通過考試的可能性很小,大約只有而該學(xué)生通過考試的概率應(yīng)為千分之五可能性.第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)隨機(jī)變量Yn服從二項(xiàng)分布Bn,p,則其標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限為定理4.10棣莫佛-拉普拉斯定理第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五證令X1,X2,…,Xn獨(dú)立,同時(shí)服從B1,p分布,且由于EXi

p,DXip1pi=1,2,…,n,第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五證畢.由定理4.8得第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五注1

定理4.10表明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限3實(shí)際應(yīng)用中當(dāng)n很大時(shí),分布也稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”.2

與“二項(xiàng)分布的泊松近似”相比較,兩種近似都要求n很大.1如果p很小而np不太大時(shí),采用泊松近似;2如果np5和n1p5同時(shí)成立時(shí),采用正態(tài)近似.第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五某車間有200臺(tái)機(jī)床,它們獨(dú)立地工作著,開工解設(shè)開工率均為0.6,開工時(shí)耗電均為1000W,問供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力才能以99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).i=1,2,…,200,例3第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五問題是求r,使由棣莫佛拉普拉斯中心極限定理,有第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五所以r=141.該結(jié)果表明,若供電141KW,那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性小于0.001.第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五中心極限定理獨(dú)立同分布情形獨(dú)立不同分布情形二項(xiàng)分布的正態(tài)近似內(nèi)容小結(jié)第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五再見第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五例1-1設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且Xi

在區(qū)間1,1上服從均勻分布i=1,2,…,n,試證當(dāng)n充分大時(shí),隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布并指出其分布參數(shù).證記備用題第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五因?yàn)閄1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,所以Y1,Y2,…,Yn相互獨(dú)立,根據(jù)定理4.8故Zn近似服從正態(tài)分布第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

某汽車銷售點(diǎn)每天出售汽車數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布.若一年365天都經(jīng)營(yíng)汽車銷售,且每天出售的汽車是相互獨(dú)立的,求一年中售出700輛以上汽車的概率.解

記Xi為第i天出售的汽車數(shù)量,利用林德貝格-列維中心極限定理,可得則一年售出700輛以上汽車的概率近似為0.8665.例1-2第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五某餐廳每天接待400名顧客,設(shè)每位顧的消費(fèi)額(元)服從(20,100)上的均勻分布,且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的.試求:(1)該餐廳每天的平均營(yíng)業(yè)額;(2)該餐8廳每天的營(yíng)業(yè)額在平均營(yíng)業(yè)額760元的概率.而該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額為解設(shè)Xi為第i位顧客的消費(fèi)額,Xi

~U20,100.所以EXi

60,DXi

16003.例1-3第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五(1)該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額為(2)利用林德貝格-列維中心極限定理,可得這表明:該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額在23240到24760之間的概率近似為0.90.第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五某人釣魚平均每次釣到2kg,方差2.25kg2.問:至少釣多少次魚,才能使總重量不少200kg的概率為0.95?解

設(shè)此人共釣n次,各次釣到的魚的重量為隨機(jī)變量Xi,則

EXi

2,DXi

2.25.令,則EZ2n,DZ2.25n.根據(jù)林德貝格-列維中心極限定理,

Z近似服從N2n,2.25n.例1-4第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五查表得.即n滿足方程解方程,得n=113.12.因此,取n=114即可.則有第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元.設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解設(shè)X為一年中投保老人其中n10000,p0.017.且的死亡數(shù),則XBn,p例3-1某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五保險(xiǎn)公司虧本的概率為由棣莫佛拉普拉斯定理知第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五遭受了90000次波浪沖擊,問其中有29500～30500一船舶在某海區(qū)航行,已知每遭受一次海浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為1/3,若船舶解將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3o的次數(shù)為X,則X是一個(gè)隨機(jī)變量,且XB90000,1/3.分布律為次縱搖角大于3o的概率是多少？例3-2第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五所求概率為直接計(jì)算很麻煩，利用棣莫佛-拉普拉斯定理第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五解

令X表示同時(shí)要外線的電話機(jī)數(shù),則X~B1000,0.05,且np50,np(1－p)47.5.根據(jù)棣莫佛-拉普拉斯定理,X近似服N50,47.5.

假定安裝k條外線,可使某單位有1000部?jī)?nèi)線電話,每部電話打外線的概率為0.05,問需要裝多少外線,才能保證每部電話打外線時(shí),即時(shí)接通的概率不小于0.95?例3-3第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五查表得1.6450.95.由單調(diào)性,應(yīng)有解得k61.3.因此,安裝62條外線即可.則有第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五假設(shè)對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言,來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)和2名家長(zhǎng)來參加的概率分別為0.05、0.8和0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立,且服從同一分布.(1)求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過450的概率;(2)求有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解(1)以Xkk=1,2,…,400記第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù).例3-4第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五則Xk的分布律為由林德貝格-列維中心極限定理知近似服從正態(tài)分布N0,1.第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五于是第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五(2)以Y記有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù),則YB400,0.8.由棣莫佛-拉普拉斯定理知第43頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五棣莫佛(AbrahamdeMoivre)主要的貢獻(xiàn)是在一般分布與概率論上,包括斯特林公式以及棣莫佛-拉普拉斯定理.法國(guó)數(shù)學(xué)家.發(fā)現(xiàn)了棣莫佛公式,將復(fù)數(shù)與三角學(xué)聯(lián)系起來.1667-1754第44頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五李雅普諾夫(AleksandrMikhailovichLyapunov)俄國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家,是切比