標(biāo)準(zhǔn)分與正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)分與正態(tài)分布第1頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)分

(1)小趙同學(xué)

數(shù)學(xué)95分

語(yǔ)文80分

那門(mén)課好？問(wèn)該同學(xué)究竟是數(shù)學(xué)好還是語(yǔ)文好？原始分是有弊端的。如何衡量?jī)蓚€(gè)成績(jī)的高低？第2頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)分

(2)

▲引入Z分概念：Z=

如小趙同學(xué)的數(shù)學(xué)Z1=1，語(yǔ)文Z2=2?！饬x：數(shù)學(xué)成績(jī)比團(tuán)體平均分高出1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，語(yǔ)文成績(jī)比團(tuán)體平均分高出2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。第3頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)分

(3)

▲Z分克服了原始分含義不明確，不可比，不可加等局限性。它以考生的平均成績(jī)

為參考點(diǎn)，以考生之間差異s為分?jǐn)?shù)單位，排除了題目難度及題目難度分布的影響，確定了其在團(tuán)體中的具體位置?！詷?biāo)準(zhǔn)分統(tǒng)計(jì)成績(jī)?cè)谝恍└咝Ｊ褂帽容^普遍。第4頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)分

(4)▲為避免出現(xiàn)負(fù)值，出現(xiàn)小數(shù)，可經(jīng)過(guò)線性變換得到T分，如托福（TOFEL）考試

T=500+70Z（500分為平均分）。如某人托福原始分79分,團(tuán)體平均分63分,標(biāo)準(zhǔn)差8分。第5頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正偏態(tài)第6頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五負(fù)偏態(tài)第7頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)第8頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第9頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線第10頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布

一、正態(tài)分布曲線

二、正態(tài)分布表的使用

三、應(yīng)用舉例

第11頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、正態(tài)分布曲線(1)▲

正態(tài)分布圖的特點(diǎn)：兩頭低，中間高，呈鐘型；兩邊對(duì)稱，對(duì)稱軸為x=曲線與數(shù)軸所圍部分面積為1，即總概率為1；落在某區(qū)間上的概率等于相應(yīng)區(qū)間上的面積。

第12頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、正態(tài)分布曲線(2)▲

正態(tài)分布曲線的函數(shù)表達(dá)式：▲

當(dāng)x=時(shí)，取到最大值（高峰）峰的高低與標(biāo)準(zhǔn)差s有關(guān):s愈大，曲線愈“胖”；s愈小，曲線愈“瘦”。第13頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、正態(tài)分布曲線(3)欲求落在某區(qū)間（分?jǐn)?shù)段）上的概率，要用到高等數(shù)學(xué)中積分的知識(shí)。

x>a時(shí)面積

▲為避免積分運(yùn)算，我們作變換：這樣得到了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?！@種變換，實(shí)際上達(dá)到兩個(gè)目的：（1）移軸，使對(duì)稱軸變成縱軸；（2）標(biāo)準(zhǔn)差變成1，使“體形”標(biāo)準(zhǔn)化。于是，不用積分，只需查表便可求出某部分的面積（概率）。第14頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、正態(tài)分布表的使用

(1)▲前提：在教育研究中，許多現(xiàn)象如學(xué)習(xí)成績(jī)，身高，品德等一般都呈正態(tài)分布?！纠磕炒螠y(cè)驗(yàn)

=65s=10問(wèn)65分到85分的概率是多少？

第15頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、正態(tài)分布表的使用(2)▲

正態(tài)分布表介紹：表的縱目——z的整數(shù)和第一位小數(shù)部分，表的橫目——z的第二位小數(shù)部分；中間是相應(yīng)的概率（面積）Ф(z)值z(mì)的范圍由0到3.09；區(qū)間[z1,z2]上曲線與橫軸所夾的面積Ф(z2)-Ф(z1)

；對(duì)稱軸兩邊面積均為0.5。

第16頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、正態(tài)分布表的使用(3)兩個(gè)重要的數(shù)據(jù)：在[-1.96,1.96]之間的概率（面積）為95%。在[-2.58,2.58]之間的概率（面積）為99%。落到[-1.96,1.96]以外的可能性為5%，稱1.96是α=0.05的臨界值。落到[-2.58,2.58]以外的可能性更小，僅為1%，稱2.58是α=0.01的臨界值。第17頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、應(yīng)用舉例(1)

1．各分?jǐn)?shù)段的比例

【例】某班48人，語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，=80，s=10，問(wèn)分?jǐn)?shù)在70-88之間的學(xué)生比例為多少？人數(shù)為多少？

第18頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、應(yīng)用舉例(2)

2.求各比例的分?jǐn)?shù)區(qū)間

【例】某校欲招收500名新生，報(bào)考人數(shù)為3160人，考生平均成績(jī)?yōu)?76分，標(biāo)準(zhǔn)差為64分，考試滿分400分，若全體考生成績(jī)呈正態(tài)分布，問(wèn)：（1）成績(jī)?yōu)?00分的考生大約能列多少名？（2）最低錄取分?jǐn)?shù)線約為多少？

第19頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、應(yīng)用舉例(3)【例】某校欲招收500名新生，報(bào)考人數(shù)為3160人，考生平均成績(jī)?yōu)?76分，標(biāo)準(zhǔn)差為64分，考試滿分400分，若全體考生成績(jī)呈正態(tài)分布，問(wèn)：（1）成績(jī)?yōu)?00分的考生大約能列多少名？（2）最低錄取分?jǐn)?shù)線約為多少？第20頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、應(yīng)用舉例(4)要想把100人在某一能力上分成5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)應(yīng)該有多少人，才能使等級(jí)評(píng)定做到等距？計(jì)算如下：6S÷5=1.2S，要使各等級(jí)等距，每一等級(jí)應(yīng)占1.2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離。確定各等級(jí)的Z分?jǐn)?shù)界限，然后查表。

第21頁(yè)，共22頁(yè)，2023年，2月20日，星期五分組各組界限比率P人數(shù)分布（P×N）A1.8S以上0.03594B0.6S——1