概率論統(tǒng)計總復(fù)習(xí)

總復(fù)習(xí)互不相容AB相互獨立PABPA)P(B) 組若n ,An互不相容A1A2 An :P(AB)P(A)P(B)P(乘 :P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|條件概

P(A|B)P(P(B)差集:PAB)PAB)PAP全 ,Am為一個完 mP(B)P(Ai)P(B|Aim貝葉 ,Am為一個完 P(A|B)

P(Aj)P(B|Aj P(Ai)P(B|AiA與B滿足PA0.5,P(B)0.6,P(B|A則P( B) P( B)P(AB) P(A)P(B)P(P(A)P(B)P(A)P(B|0.50.60.50.8 A表示兩件中有一件是不合格品,BP(B|A)

P(P(

1 1C2C1C1 C ，且P(AB)0,則(A.AB

D.PA0P(B)0AP(A) P(A)0A A.P(C)P(A)P(B) B.P(C)P(A)P(B)C.P(C)P(AB) D.P(C)P(A ABC P(AB)P(C)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)1P(C) ,1<P(A)1,且P(B|A)1,則(A.P(AB) B.AB C.B D.P(B)P(B|A)P(AB)P(AAB)P(A)P(AB)P( P( P(PAPABP 即PAB)甲乙丙三人獨立地破譯一 ，他們每人譯 的概率都是0.25, 能被譯出的概率為( B. C. P(B)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A33 某廠由甲乙丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,它們的產(chǎn)量之比為321各車間產(chǎn)品的不依次為89%,12%.現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件,求：1.取到不合格產(chǎn)品的解：設(shè)Ai表示任取一件,該件產(chǎn)品由甲、乙、丙三個車間由全 3P(B)P(Ai)P(B|Aii18%19%112% P(A|B)

P(A1)P(B|

P(A1)P(B|A1 P(Ai)P(B|Aii

P(B)1

9解：設(shè)A解：設(shè)Ai得3.P(A|B)1P(A|B) 概率分 P{Xxi}pi,i1, P{aXb} i:axi

piEXxipii

DXEX2(EX)2隨量一、離散型隨E(aXb)aEX D(隨量一、離散型隨1001P{X1}p,P{X0}1pEXpDXpq0二項分布nP{Xm}Cmpmqnmn

X:,,,,EXnpDX0泊松分布Xp(),X:0,1,2,.P{Xm} EXDXm

x x1xP{Xx}

,i1, x1x2

p1xnF(x)xn

x2x

xkxxk累 區(qū)間為左閉右 kP{Xxk}pjj j

j 量函數(shù)g(X10.ygx)P{Yyj}P{g(x)yj}20.ygx)的期望

k:g(xkyjEYEg(x)g(xi)i二、連續(xù)型f(f(1f(x)

f( 1F(x) limF(xb

limF(xP{aXb}

f(x)dxF(b)F(a)EX xf(U[a,U[a,

ax

a

f(x)b

EX

DX

e

x f(x)

EX DX30 N(,2f(x)

EXDX1fx)的定義域為( f(x)關(guān)于x對稱,最大值

e24若 N(,N(,2),則YXN若fx)在()xF(x)P{Xx} f(t若fx)在()f(x)u(

ax xx則F(x)P{Xx} f(t)dtxx

xf(t ax xFx)的分段區(qū)間與fx)保持一致由分布函數(shù)求密度函 f(x)F(若F(x)在()f(x)F(若F(x)在(,) xF(x)u(

ax1 x1則fx)Fx)

u( ax 量函數(shù)g(X1.由X的密度函數(shù)fx),求YgX)的密度函數(shù)vf(x)u(

ax 類一：gx)在(ab)求出gx)在(ab)上的值域(cd求ygx)在(ab)上的反函數(shù)xh求x)yhu(h(y))|h(y) cy 得:v(y) 類二：gx)在(a,b)求出gx)在(ab)上的值域(cd當xc時F(y當xd時F(y)當cxd時FyP{YyP{gX對F(y)求導(dǎo)2.由X的密度函數(shù)fx),求YgX)的期望EYEYg(x)f(設(shè) 量X服從參數(shù)為的泊松分布,P{X1}P{X2},則 由P{Xm} 得， m 2

量 N(,4),則YX N(0,1)2 量 N(,2),且P{Xc}P{Xc},則c X的密度函數(shù)關(guān)于x對稱

若 B(n,p),且EX6,DX3.6,則n ;p 由EXnp6,DXnpq3.6p n

q設(shè) 量X的密度函數(shù)f(x)2

0x,以Y表示對X的三次獨立重復(fù)觀察中“X12的次數(shù),則P{Y2} 由已知得 B(n,p),其中,n11 11pP{X 2fpP{X 2f(x)dx22xdxx2P{Y2}C

13 若 e(0.1),則E(2X1) E(2X1)2EX1211211 X1若 U[1,2], 量Y X01則Y的方差DY

X0 2EYP{X0}P{X0}13dx0312 EY2P{X0}P{X0}DYEY2(EY)29若 f(x),滿足f(x)f(x),F(x)是x的分布函數(shù)則對任意實數(shù)aaA.F(a)1a

f(

B.F(a)2

af(0C.F(a)F(a) D.F(a)2F(a)F(a)P{Xa} f(x

f(taa 0a f(x)dx1 0a

f(1

f(x)dx

f(a12 f(a1 0x若 f(x) ， (1)常數(shù)k;(2)EX;(3)P{1X3};(4)X的分布函數(shù)F

f( kx2dx

1kx3|28 得k3

EX

2 3 xf( x3dx x4|2 0

| |3P{1X3}3

f(x)dx

3x2dx282

1x3 當x0時Fx當x2時Fx

xxx

f(t)dtf(t)dt

F(x)

818

x0xxx

x當0<x2時Fx)

f(t)dt

3t2dtx8x

1t8

1x3| |若X的分布函數(shù)Fx)

1Be x x(1)常數(shù)B;(2)P{2X1};(3)X的密度函數(shù)f由limF(x)limF(x)得:1B Bx0 x0F(x)

x xP{2X1}F(1)F(2)1f(x)(1ex x

e

x x0 x X X0Y關(guān)于XY0P{X0}

55

X3X5P{X1}C10.25

P{X2}C20.22P{3X5}P{X3}P{X4}P{XC30.230.82C40.81C EY100.855C10.20.840C20.22 (2)C30.230.82C40.81C5 12設(shè)離散型 x1 2xF(x)=

1 0x x 111163201PY

xP

(

111

0xx分別求YarctanX的密度函數(shù)fYx(tany)sec2

2sec2

0yfY(y)

(1tan2 2f(f(x)X2(1x2,x014設(shè) fX(x)求YX2的密度函數(shù)Y

(1x2)yx2在()上的值域為[0,當y0時FYyY當y0時Fy)P{YyP{X2Yy yX y)y

y(1x2當y0時

y0當y0時

(y)

yy(1x2yy

1當y0時,fYyFY1(1(1(1y

2y2y(1y) 2y2y yf(y)(1 0 y0若X和Y獨立，則E(XY)=(EX)(EY).若X和Y獨立,則D(XY)=DX+DY.D(XY)DXDY2cov(X,Y

ρ cov(X,Y i,j則(X,Y關(guān)于X

i1,2,

pj P{Xxi,Yyj}pij,i,j1, P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i,j1, 對于任意的i,j,都有pijpi pj.判斷不獨立時,只要對連續(xù)型隨機向量X,Y~fx則X,YXX~ (x)f(x)

f(x,

x Y~f(y)f(y)

f(x,

y(X,Y)是連續(xù)型隨機向量,其密度函f(x,y)fX(x)fY(y),x,求分布函數(shù)Fx,求X,Y)落在某個區(qū)域內(nèi)的概率PX,YD

f(x,求 量函數(shù)的概率分布或密度函.設(shè) 量X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若ZX cov(Y,Z cov(Y,X0.4)cov(Y,X X,Y相互獨立,且都服從[0,1]上的均勻分布,則服從均 A.(X,Y B.XY C.X D.XY設(shè)F1(x)與F2(x)分別為隨量X與Y的分布函數(shù)，為使aF1x)bF2x)是某一隨量的分布函數(shù)，則a的值應(yīng)取A.a3,b B.a2,b C.a1,b D.a1,b lim(aF1(x)bF2(x))=abx設(shè)X1與X2(x)是任意兩個相互獨立的連續(xù)型隨 他們的概率密度分別為f1(x)和f2(x),分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x),則( [f1(x)f2(

f1(x)dx f2(x)dxlim(F1(x)F2(x))xf(x)

0x

，f(x)

3x

f1(x)f2(x)向上的次數(shù),則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于( C.1 由已知得XYYnX即Y與X若YaXb,則

a a由D(XY)DXDY,即可斷定 A.X,Y不相 B.X,Y獨 C.XY D.XY D(XY)DXDYcov(X,Y) 0X,Y不相關(guān) 量X服從區(qū)間[0,5]上均勻分布,Y服從5的指數(shù)分布,且X,Y相互獨立,則(X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)( 1 0x

5e5

yfX(x)

fY(y)

f(x,y)

fX(x)

(

e500

0x5,y已知隨機向量X,Y)的聯(lián)合概率分布為X (1)X,Y的邊緣分布X

; 1P{X0,Y0}0.1P{X0}P{Y 1X,YEXEYEX2EY2

EXYDXDY cov(X,Y)EXYEXEY kx2 0x1,0yf(x,f(x,

1(1)常數(shù)k;(2)X,Y的邊緣分布;(3)判斷X,Y是否獨立;(4)PXY1

f(x,

k

x2dx101

k

x3|1

y2

k1

k

0xf1(x)

f(x,y)dy

3 0x6x y) 0x1

其 其

kx2f(f(x,

0x1,0y 0yf2(y) f(x,y)dx

2 0y6 x) 0y

其 其3x2 0x

2 0yf1(x)

f2(y)其 其x,y,都有fx,y)f1x)f2y),X,Y獨立(X,Y

kx2f(f(x,

0x1,0y1 1P{XY

x6x21 1

x2(

1x1x

x2(

|x0101

x4dx5某箱裝有10080、10、10 若抽到i0 0

(i12),求X1X2)的概率分布P{X 0, 0}XX10XX10101110140P{X10,X

1}P{ 1} 4P{X11,X20}P{X11} 2 解：DXYDXDY2covX,Y144D(XY)DXDY2cov(X,Y)144cov(XY,XY)DXcov(X,Y)cov(Y,X)DXDY V

1 設(shè)總體X~N(,2),X X~N(,12 X~n nnn1S2n

(Xi

X

~2

X~t(nnn

Xi 2(Xi

)

(

)~設(shè)X~N(0,1),Y~2(n)且X,Y相互獨立,則 n~ Y n

設(shè) 量X和Y都服從標準正態(tài)分布,則(A.XY服從正態(tài)分布C.X2和Y2都服從2分布

B.X2Y2服從2DX2Y2服從F2設(shè)X1X2X3X4是來自總體N(0,2)Xa(X12X2)2b(3X34X4)2,則當a ;b 時 X12X2

N(0,22422)

3X34X4

N(0,9221622X12

3X34X4

2X22

(3X

4X4 ( a1,b

LL(x1

p(xi;nnlnLlnp(xi;n

LL(x1 ,xn;)f(xi;ninnlnLlnf(xi;n

n(Xun

,X2

nn(Xnn(Xt(n1)S,Xn (n1)S2,(n1)S 2(n (n1) 1 稱統(tǒng)計量為參數(shù)的無偏估計量如果E(? nn3.X1X2 Xn是來自總體X的樣本若統(tǒng)計量ainn是總體均值EX的無偏估計量,則ai i

iE?EaiXi ai aii i i

EXi

naini4.X1X2 ,Xn是來自總體X的樣本, n(Xi

X

Xi i11n (XX

(XX i i置信區(qū)間,即( ,以概率1包含C.以概率落在,)

B.以概率1落入,統(tǒng)計量的評價標準中不包括 A.一致性B.有效性C.最大似然性D.7.X1,X2, ,X10是來自總體X的樣本在EX的三個無偏估計量中,哪個最有效().

1

1

?1

?122 22i

Xi C3i3

Xi 5i5

i jjj Xiji1jjj

2DXii1

2i

2i1jDX1

1X最有效 i8.設(shè)總體X～8.設(shè)總體X～ nL(x1,x2,...,xn;)f(xi,)ninx1exp{x nn

xn xn

xixnxi nxi xL(x,x,...,x;)n x

n

in

xixdlnLn 令 解得

x inniiin nii1i (Xt(n1)S,Xt(n1)S x162.67,S2

這個原理為小概率原理在假設(shè)檢驗H0的過程中,若檢驗結(jié)果是接受H0,則可能犯第II類錯誤;若檢驗結(jié)果是否定H0,則可能犯第_類樣本X1,X2 ,Xn是來自正態(tài)總體N

2檢驗H02

10000,

n1S ,

nn

,

N ,12n2