曲率與其計(jì)算公式

一、弧微分s的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0，相反時(shí)s<0．有向弧段的值s(簡(jiǎn)稱為弧s)

：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0顯然，弧s是x的函數(shù)：ss(x)，而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù)．第一頁(yè)，共12頁(yè)。設(shè)x，x+

Dx為(a，b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)，它們?cè)谇€yf(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，M，并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx，弧s的增量為Ds，于是下面來(lái)求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分．M0MMx0xx+DxDxDyxyODs第二頁(yè)，共12頁(yè)。1，因?yàn)橐虼擞捎趕s(x)是單調(diào)增加函數(shù)，從而于是ds這就是弧微分公式．第三頁(yè)，共12頁(yè)。)jM1M2N1N2觀察曲線的彎曲線程度與切線的關(guān)系：二、曲率及其計(jì)算公式可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度的大小來(lái)表達(dá)弧段的平均彎曲程度，第四頁(yè)，共12頁(yè)。M0MMDsDaxyOa+Da)a)sC設(shè)曲線C是光滑的，曲線線C上從點(diǎn)M到點(diǎn)M

的弧為Ds，切線的轉(zhuǎn)角為Da．平均曲率：曲率：第五頁(yè)，共12頁(yè)。曲率的計(jì)算公式：設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是yf(x)，且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)．于是從而，有因?yàn)閠anay

，所以第六頁(yè)，共12頁(yè)。例1計(jì)算等雙曲線x

y

1在點(diǎn)(1，1)處的曲率．解因此，y|x11，y|x12．曲線x

y

1在點(diǎn)(1，1)處的曲率為第七頁(yè)，共12頁(yè)。例2拋物線yax2bxc上哪一點(diǎn)處的曲率最大？解由yax2bxc，得y2axb，y2a，代入曲率公式，得要使K最大，只須2axb0，拋物線的頂點(diǎn)．因此，拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大，最大曲率為K|2a|．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為第八頁(yè)，共12頁(yè)。2．若曲線由參數(shù)方程給出，那么曲率如何計(jì)算？1．直線上任一點(diǎn)的曲率等于什么？討論：提示：設(shè)直線方程為y=ax+b，則y

=a，y

=0．于是提示：．第九頁(yè)，共12頁(yè)。曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K

0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑r

有如下關(guān)系：曲線在M點(diǎn)的曲率中心三、曲率圓與曲率半徑My=f(x)xyODr曲線在M點(diǎn)的曲率半徑曲線在M點(diǎn)的曲率圓第十頁(yè)，共12頁(yè)。例3設(shè)工件表面的截線為拋物線y0．4x2．現(xiàn)在要用砂輪

磨削其內(nèi)表面．問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？42O2xy

y=0．4x2第十一頁(yè)，共12頁(yè)。解砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑．例3設(shè)工件表面的截線為拋物線y0．4x2．現(xiàn)在要用砂輪

磨削其內(nèi)表面．問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？y0．8x，y0．8，y|x00，y|x