第七知識(shí)塊平面向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)及題型

第七知識(shí)塊平面向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)及題型考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1：向量的概念、向量的加法和減法、實(shí)數(shù)與向量的積.考點(diǎn)2：向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積.考點(diǎn)3：向量的模與角的計(jì)算。.熱點(diǎn)透析在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，突出向量的工具作用。在復(fù)習(xí)中要重視教材的基礎(chǔ)作用，加強(qiáng)基本知識(shí)的復(fù)習(xí)，做到概念清楚、運(yùn)算準(zhǔn)確，不必追求解難題熱點(diǎn)主要體現(xiàn)在平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量在三角，解析幾何等方面的應(yīng)用.2022考綱解讀1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律。3、掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)向量向量向量的概念向量的運(yùn)算向量的運(yùn)用向量的加、減法實(shí)數(shù)與向量的積向量的數(shù)量積平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)運(yùn)算物理學(xué)中的運(yùn)用幾何中的運(yùn)用兩向量平行的充要條件兩向量垂直的充要條件向量的夾角向量的模兩點(diǎn)間的距離2022高考預(yù)測(cè)及應(yīng)試策略平面向量部分的復(fù)習(xí)應(yīng)該注重向量的工具作用，緊緊圍繞數(shù)形結(jié)合思想，揚(yáng)長(zhǎng)避短，解決問(wèn)題平面向量與三角函數(shù)的交匯是近年來(lái)的考查熱點(diǎn)，一般服出現(xiàn)在解答題的前三大題里，在復(fù)習(xí)中，應(yīng)加強(qiáng)這種類型試題的訓(xùn)練。命題形式預(yù)計(jì)2022高考中這部分內(nèi)容高考中所占分?jǐn)?shù)一般在16分左右，題目類型為一個(gè)選擇或填空題，一個(gè)與其他知識(shí)綜合的解答題．考查內(nèi)容：向量基本概念、向量基本運(yùn)算等基礎(chǔ)問(wèn)題，通常為選擇題或填空題出現(xiàn)；而用向量與三角函數(shù)、解三角形等綜合的問(wèn)題，通常為解答題，難度以中檔題為主考點(diǎn)精講1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.2、向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母、等表示；③平面向量的坐標(biāo)表示：分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底。任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，特別地，，，。；若，，則，3、零向量、單位向量：①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為；②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.（注：就是單位向量）4、平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定與任一向量平行.向量、、平行，記作∥∥.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.5、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.6、向量的加法、減法：①求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即：=+()；差向量的意義：=,=,則=③平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，，則，，。④向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+)+=+(+)7、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時(shí)λ與方向相同；λ<0時(shí)λ與方向相反；λ=0時(shí)λ=；（3）運(yùn)算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ8、向量共線定理向量與非零向量共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ。9、平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量。10、向量和的數(shù)量積：①·=||·||cos，其中∈[0，π]為和的夾角。②||cos稱為在的方向上的投影。③·的幾何意義是：的長(zhǎng)度||在的方向上的投影的乘積，是一個(gè)實(shí)數(shù)（可正、可負(fù)、也可是零），而不是向量。④若=（，）,=（x2，）,則⑤運(yùn)算律：,⑥和的夾角公式：cos=＝⑦||2=x2+y2，或||=⑧。11、兩向量平行、垂直的充要條件設(shè)=（，）,=（，）①，=+=0；②（≠）充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使=λ。向量的平行與垂直的坐標(biāo)運(yùn)算注意區(qū)別，在解題時(shí)容易混淆。12、點(diǎn)P分有向線段所成的比的：，P內(nèi)分線段時(shí),;P外分線段時(shí),.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形重心公式：、、熱點(diǎn)題型解讀【考型1】向量的有關(guān)概念與運(yùn)算1、出下列命題：①若，則；②若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若，則；④的充要條件是且∥；⑤若∥，∥，則∥。其中，正確命題的序號(hào)是_________________.解析：①不正確性。兩個(gè)向量長(zhǎng)度相同，但它的方向不一定相同。②正確?！咔遥諥、B、C、D為不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形為平行四邊形，則，因此。③正確?！?，∴、的長(zhǎng)度相等且方向相同，又=，∴、的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴、的長(zhǎng)度相等且方向相同，故。④不正確。當(dāng)∥且方向相同，即使，也不能得到。⑤不正確?？紤]這種極端情況。答案：②③。點(diǎn)評(píng)：本題重在考查平面的基本概念。2、如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、,其中與的夾角為120°，與的夾角為30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,則λ+μ的值為.2、解析：過(guò)C作與的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交，可得平行四邊形，由角角，=得平行四邊形的邊長(zhǎng)為2和4，2+4=6評(píng)析：本題考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來(lái)后，求相應(yīng)的系數(shù)，也考查了平行四邊形法則。3、已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，且，那么（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析：故選A．命題意圖:本題考查能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力．4、設(shè)向量與的夾角為，且，，則__．解析:命題意圖:本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問(wèn)題.5、已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則=（）（A）（B）（C）（D）解析:設(shè)，則依題意有故選B.評(píng)析：向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，難度不大，只要細(xì)心，運(yùn)算不要出現(xiàn)錯(cuò)誤即可【考型2】向量共線與垂直條件的考查6、平面內(nèi)給定三個(gè)向量：?；卮鹣铝袉?wèn)題：（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m和n；（3）若∥，求實(shí)數(shù)k；（4）設(shè)滿足∥且，求解析：（1）依題意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）∴解之得（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4），又∵∥且，∴解之得或∴=（，）或=（，）點(diǎn)評(píng)：根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及兩個(gè)向量平等行的充要條件、模的計(jì)算公式，建立方程組求解?！究夹?】平面向量與數(shù)列的整合7、已知兩點(diǎn)，有點(diǎn)P使，，成公差小于零的等差數(shù)列。（Ⅰ）點(diǎn)P的軌跡是什么？（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，為與的夾角，求。思路分析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，要求P點(diǎn)的軌跡方程，就是要尋找點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式，只要能正確運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算將給出的三組“兩個(gè)向量的數(shù)量積”成等差數(shù)列這一題設(shè)條件用、之間的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)，并注意公差小于零這一條件，就不難求出P點(diǎn)的軌跡，根據(jù)向量的數(shù)量積公式及同角三角函數(shù)關(guān)系方可求出。解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，，。，，成等差數(shù)列，且公差小于零。，，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圖在右側(cè)的一部分。（Ⅱ）P點(diǎn)的坐標(biāo)為，是與的夾角，，。由數(shù)量積定義知：。又，。。點(diǎn)評(píng)：本題依托平面直角坐標(biāo)系，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積、等差數(shù)列、軌跡方程、三角函數(shù)求值等基礎(chǔ)知識(shí)。該題難度不大，但從閱卷情況看，考生答題并不理想。究其原因：一是對(duì)平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)掌握不熟練；二是當(dāng)前考生對(duì)這類綜合性問(wèn)題較為陌生。2022年的這高考試題是在向量與數(shù)列、軌跡知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處的一道優(yōu)秀試題?！究夹?】平面向量與三角函數(shù)整合8、已知，，．（1）若，求的值；（2）若，且，求與的夾角．解析：（1），．由，得，即，兩邊平方，得；（2）∵，由題意，得．．，，．∴，．設(shè)與的夾角為，則．又∵，．點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體主要考查平面向量的概念和計(jì)算，三角函數(shù)的恒等變形及圖象變換的基本技能，考查學(xué)生的運(yùn)算能力?！究夹?】平面向量與平面幾何整合9、如圖，在中，已知，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)與的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值。思路分析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出P、Q坐標(biāo)、、、都用坐標(biāo)表示，運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算再轉(zhuǎn)化關(guān)于的一個(gè)函數(shù)式。解析：以直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)，則。且，設(shè)，則，。，，故當(dāng)時(shí)，即（與方向相同）時(shí)，最大，其最大值為0。點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的概念、平面向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，主要考查了學(xué)生作圖、識(shí)圖能力和函數(shù)解題的能力?？疾榱藚?shù)法、解析法、整體代換等數(shù)學(xué)思想方法。解決平面向量與平面幾何的有關(guān)綜合題往往有兩種策略。一是，建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化代數(shù)運(yùn)算；二是直接運(yùn)用向量關(guān)系式求解。本題中，抓住，于是可化為?！究夹?】平面向量與解析幾何整合10、O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)的（）A、外心B、內(nèi)心C、重心D、垂心思路分析：此題關(guān)鍵是理解：、均單位向量，它們的和是以這兩條單位向量為一組鄰邊構(gòu)成的菱形對(duì)角線。解析：、均為單位向量、其方向分別與、同向。由加法的幾何意義知：對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形AMQN的對(duì)角線。又，AMQN是菱形，AQ是的角平分線。又原式點(diǎn)P在的角平分線上，P的軌跡必過(guò)的內(nèi)心，故選B。點(diǎn)評(píng)：本題是平面幾何與平面向量整合的能力型小題，解決問(wèn)題的方法主要是靈活運(yùn)用平面向量的加法運(yùn)算及幾何意義，實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算等等。從閱卷情況來(lái)看學(xué)生的失分率極高，大大超出命題者的意料，學(xué)生之所以失分，主要的原因是對(duì)向量的運(yùn)算缺乏理解，特別是