第二知識塊基本初等函數(shù)易錯及熱點知識分析

第二知識塊基本初等函數(shù)易錯及熱點知識分析備考指南1、考查有關函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的試題，從試題上看，抽象函數(shù)和具體函數(shù)都有，有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢，另外試題注重對轉(zhuǎn)化思想的考查，且都綜合地考查單調(diào)性與奇偶性；2、考查與函數(shù)圖象有關的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對稱變換，注意函數(shù)的對稱性、函數(shù)值的變化趨勢，培養(yǎng)運用數(shù)形結合思想來解題的能力；3、考查與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有關的試題.對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結合運算推理來解決；4、加強函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的考查是高考的一個重點.善于轉(zhuǎn)化命題，引進變量建立函數(shù)，運用變化的方法、觀點解決數(shù)學試題以提高數(shù)學意識，發(fā)展能力；5、注意與導數(shù)結合考查函數(shù)的性質(zhì)；6、函數(shù)的應用，是與實際生活結合的試題，應加強重視。易錯、熱點知識及其學法指導1、映射與函數(shù)的概念及表示方法，在高考中主要是體現(xiàn)在映射與函數(shù)的概念的考查，直接求構成映射的個數(shù)、函數(shù)的定義域、解析式等基本問題，或者與函數(shù)的性質(zhì)結合命題，題型以選擇題和填空題為主，通常以函數(shù)為背景，結合不等式、方程、數(shù)列等知識處理綜合性問題，同時考查實際問題中的建模能力。分段函數(shù)在復習中也要引起足夠的重視；2、函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）是函數(shù)的重點內(nèi)容，尤其是單調(diào)性、奇偶性問題，以性質(zhì)為載體考查數(shù)列、三角、方程、不等式等有關知識的最值問題是高考的重點。確定函數(shù)的最值貫穿于高中數(shù)學中的各個章節(jié)，有時求函數(shù)的最值可借助求函數(shù)的值域求解，求函數(shù)的值域可涉及許多知識與方法的參與和應用，求解過程可鍛煉對各種函數(shù)式的適當變形及化簡能力，從而提高解決問題的隨機應變能力。求函數(shù)最值問題一般綜合性較強，對能力要求較高，解法靈活多變，涉及到許多數(shù)學思想方法（比如配方法、導數(shù)法、基本不等式法，換元法等），不同章節(jié)的內(nèi)容求最值的題型方法不一樣。函數(shù)圖象是形與數(shù)的有機結合，函數(shù)圖象中試圖、作圖、用圖是生活、生產(chǎn)、學習其他知識知識必需具備的能力，以圖象背景這種考查函數(shù)性質(zhì)等知識，函數(shù)圖象多數(shù)以客觀題為主，有時涉及抽象函數(shù)，可將抽象函數(shù)具體化處理，是高考考查的熱點。研究函數(shù)性質(zhì)時，應注意將具體函數(shù)有關知識進行延伸與綜合，值得重視導數(shù)法研究函數(shù)的性質(zhì)；3、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)作為基本初等函數(shù)，高考中對這一部分的考查主要以基礎知識為主，考查數(shù)值的計算、函數(shù)值的求法、數(shù)值的大小比較、圖象與性質(zhì)等，主要是以客觀題題型出現(xiàn)，也有可能結合函數(shù)性質(zhì)、二次函數(shù)、方程與不等式等內(nèi)容結合，以綜合問題形式出現(xiàn)。對于冪函數(shù)僅對常見的5種形式掌握即可，平時訓練時不宜做難度較高的習題，對冪函數(shù)性質(zhì)不要做較深度的探討（尤其是不應對冪指數(shù)的討論來加深對冪函數(shù)性質(zhì)的探討）；4、函數(shù)與方程中的函數(shù)的零點及性質(zhì)、二分法是新增內(nèi)容，它其實是函數(shù)與方程的一部分，這將成為高考命題的熱點。至于二分法求近似值，在高考中沒有引入計算器的使用，估計考解答題的可能性不大。針對二分法的解題思想考查，有可能以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。對于零點性質(zhì)應注意與函數(shù)方程相聯(lián)系，借助零點性質(zhì)研究函數(shù)圖象與確定方程根的問題，應引起注意；5、函數(shù)模型及其應用是高考的重點，以解答題為主考查數(shù)學建模能力，綜合性強，題目多是以中、高檔題出現(xiàn)，來考查利用所學數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，幾種增長型函數(shù)模型的應用可能會成為今后高考命題的生長點；6、函數(shù)綜合性問題是中學數(shù)學的重點，綜合性強，即可涉及數(shù)列、方程、不等式等知識，又可滲透到三角、立體幾何和解析幾何，甚至呈現(xiàn)于概率與統(tǒng)計知識當中，更有題源豐富的函數(shù)實際應用問題，跨學科的綜合應用更是函數(shù)的鮮明特征。求解函數(shù)綜合問題能促進知識的融會貫通，也能使邏輯思維能力得到較全面的訓練。在復習時，必須將全面掌握有關的函數(shù)知識，并且仔細、嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其是挖掘題目中的隱含條件。認真分析處理好各種關系，把握問題的主線，抽象問題的實質(zhì)，運用相關知識和轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法，逐步將生疏、復雜、抽象問題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單、具體的基本問題來解決。錯解剖析易錯點一：求函數(shù)定義域例1、已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域錯解：由于函數(shù)的定義域為，即，∴的定義域是錯因：對函數(shù)定義域理解不透，不明白與定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實在這里只要明白：中取值的范圍與中式子的取值范圍一致就好了.正解：由于函數(shù)的定義域為，即∴滿足，∴的定義域是誤區(qū)分析：復合函數(shù)中定義域的求法：在復合函數(shù)中，外層函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)決定的，即已知的定義域為，求的定義域方法是利用，求得的范圍即為函數(shù)的定義域。而已知的定義域，求函數(shù)的定義域，即由求出x.易錯點二：分段函數(shù)問題例2、已知：，求.錯解：∵，∴故，∴＝3－3＝0.錯因：沒有理解分段函數(shù)的意義，的自變量是3，應代入中去，而不是代入－5中，只有將自變量化為不小于6的數(shù)才能代入解析式求解.正解：∵，∴＝＝＝7-5＝2易錯點三：函數(shù)單調(diào)性判斷例3、已知在[0，1]上是的減函數(shù)，則的取值范圍是錯解：∵是由，復合而成，又＞0∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復合函數(shù)關系知應為增函數(shù)，∴＞1錯因：錯因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復合關系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應是定義域的某個子區(qū)間，即函數(shù)應在[0，1]上有意義.正解：∵是由，復合而成，又＞0∴在[0，1]上是的減函數(shù)，由復合函數(shù)關系知應為增函數(shù)，∴＞1又由于在[0，1]上時有意義，又是減函數(shù)，∴＝1時，取最小值是＞0即可，∴＜2綜上可知所求的取值范圍是1＜＜2誤區(qū)分析：概念不清，導致判斷錯誤.這是一個復合函數(shù)，而復合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間），仍是從基礎函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化.當然這個函數(shù)可化為，從而可判斷出其單調(diào)性.易錯點四：求函數(shù)奇偶性例4、判斷的奇偶性.錯解：∵∴且所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)錯因：對數(shù)運算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改為研究f(-x)+f(x)=0，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵＝＝＝－∴是奇函數(shù)方法二：∵＝∴是奇函數(shù)誤區(qū)分析：函數(shù)奇偶性的判斷方法：首先看函數(shù)定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件定義域關于原點對稱，如果不具備函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，若關于原點對稱的前提下，再由函數(shù)奇偶性定義進行判斷，在用定義判斷時注意自變量在定義域中的任意性，再由函數(shù)定義分四類：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)。易錯點五：指數(shù)與對數(shù)的運算例5、已知求錯解：∵∴∴錯因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導致題目沒解完.正解：∵∴∴易錯點六：抽象函數(shù)例6、設函數(shù)是定義R在上的函數(shù)，對任意m,n恒有，且當時。（1）求證：（2）求證：x時，>0（3）求證：在R上是減函數(shù)。錯因分析：忽視條件導致論證不嚴謹或推理論證錯誤，這樣在（1）中就會出現(xiàn)的可能，此時無法確定的值，（2）(3)中就缺少了推理論證的依據(jù)，導致不嚴謹和錯誤。正確解析：（1）取，則，因為，所以。（2）設，則，由條件可知，又因為，所以。所以當時，恒有>0。（3）設，則因為，所以，所以即。又因為，所以。所以，即該函數(shù)在R上是減函數(shù)。誤區(qū)分析;解答抽象函數(shù)問題注意用賦值法找到函數(shù)的不變性質(zhì)，而這個不變性質(zhì)往往使問題解決的突破口，注意推理的嚴謹性，每一步的推理都要有充分的條件，不可漏條件，更不能臆造條件。易錯點七：函數(shù)的零點例7、函數(shù)=有且僅有一個正實數(shù)的零點，則實數(shù)m的取值范圍是ABCD錯因分析：解本題易出現(xiàn)的錯誤是分類討論應用不當，零點定理應用不當。正確解析：當m=0時，為函數(shù)的零點；當時，若，即時，是函數(shù)的唯一零點，若，顯然不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程==0有一個正根和一個負根，即，即。誤區(qū)分析：函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)的曲線，并且，那么函數(shù)在區(qū)間上有零點，即存在，使得，這個c也是方程=0的根，此即為零點定理。注意函數(shù)有’變號零點”也有“不變號零點”，零點定理只能處理變號零點，而變號零點另行討論.易錯點八：函數(shù)綜合應用例8、在一個交通擁擠及事故易發(fā)生路段，為了確保交通安全，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速v（單位：km/h）的平方和車身長（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個車身長.假定車身長均為（單位：m）且當車速為50（km/h）時，車距恰為車身長，問交通繁忙時，應規(guī)定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大？(車流量=)錯解：，將，代入得，∴，又將代入得，由題意得（）將Q==（）∵∴當且僅當時，綜上所知，（km/h）時，車流量Q取得最大值.錯因：上述解法中結果雖然正確，但解題過程中是錯誤的，即雖然車速要求，但在行駛過程中車速有可能低于25（km/h），所以解題材中應分兩類情形求解，得分段函數(shù).正解：（1）依題意，則顯然當時，Q是關于的增函數(shù)，∴當時，當時，Q==當且僅當時，