卷3-2022年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考）（解析版）

2022年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考專用）二輪拔高卷03(本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，所以，，所以，故故選：D2．已知，則（）A． B．C． D．【答案】A，故選：A.3．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，其側(cè)面面積是底面面積的倍，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D設(shè)圓錐的母線為，高為，由題意可知，圓錐的底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，所以，故，所以該圓錐的體積為，故選：D.4．直線與圓交于、兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B圓心到直線的距離為，圓的半徑為，又，故，故選：B.5．已知為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以由，得，即，，所以，得，即.故選：B.6．假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實(shí)踐活動，根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙兩個(gè)文明實(shí)踐站，每個(gè)實(shí)踐站至少去1名同學(xué)，則不同的安排方法共有（）A．20種 B．14種 C．12種 D．10種【答案】B解：先將4名同學(xué)分為兩組，兩組人數(shù)為可能為1,3人或2,2人，當(dāng)兩組人數(shù)為1,3時(shí)，有種方案，當(dāng)兩組人數(shù)為2,2時(shí)，有種方案，所以將4名同學(xué)分為兩組，共有種方案，再將兩組同學(xué)分配到兩個(gè)文明實(shí)踐站，有種，所以根據(jù)乘法原理得共有種不同的方法.故選：B7．長方體中，，E為棱上的動點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B解：將長方體展開，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形的周長最小，最小值為．故選：B．8．已知，則當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定【答案】B【詳解】解：由函數(shù)，得函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)和的圖像，如圖所示，令，得或，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.故選：B.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．若函數(shù)，則關(guān)于的性質(zhì)說法正確的有（）A．偶函數(shù) B．最小正周期為C．既有最大值也有最小值 D．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)【答案】CDA：因?yàn)?，所以該函?shù)不是偶函數(shù)，因此本選項(xiàng)說法不正確；B：因?yàn)椋栽摵瘮?shù)最小正周期不是，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，因此本選項(xiàng)說法正確；D：，則有，解得，或，即，或，或，因此本選項(xiàng)說法正確，故選：CD10．已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，則（）A．橢圓的離心率為B．四邊形的周長一定是C．點(diǎn)與焦點(diǎn)重合時(shí)，四邊形的面積最大D．直線的斜率為【答案】ABD由的方程可得離心率為，故A正確；由橢圓定義可知，，同理，，所以四邊形的周長一定是，故B正確；四邊形的面積，當(dāng)點(diǎn)與焦點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)四邊形的面積，故C錯(cuò)誤；設(shè)，故，則，故D正確.故選：ABD11．已知為曲線上一動點(diǎn)，則（）A．的最小值為1B．存在一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，使得到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離C．到直線的距離的最小值小于D．的最小值為6【答案】ABD【詳解】由，得，則曲線為拋物線的右半部分(含原點(diǎn)).因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，所以B正確，，A正確，原點(diǎn)到直線的距離為，數(shù)形結(jié)合可知，原點(diǎn)到直線的距離是最短距離，C錯(cuò)誤.設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線：的距離為，到準(zhǔn)線：的距離為，則，D正確.故選：ABD12．對于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則（）A．B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和恒小于4【答案】ABD【詳解】因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，所以與不互質(zhì)的數(shù)為7，14，21，…，，共有個(gè)，所以，故A正確；因?yàn)榕c互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共有個(gè)，所以，則數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；因?yàn)?，，，所以?shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所?設(shè)，則，所以，所以，從而數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離，則M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為___________.【答案】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為：，由拋物線定義得：，解得，拋物線方程為，而在拋物線上，則，原點(diǎn)為O，即有，所以M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.故答案為：14．的最小值為___________.【答案】9【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：15．已知向量，向量，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】因?yàn)椋?，所?故答案為：.16．已知：若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則.又英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)恒等式，則___________，___________.【答案】1##【詳解】解：因?yàn)?，令，即，所以；又，所以，所以，所以所以故答案為：；?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并完成解答.已知點(diǎn)在內(nèi)，，若___________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】【詳解】解：選擇①，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，，，所以，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以，所以.選擇②，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，，所以所以，所以，由余弦定理得，即，解得，又，所以，所以.選擇③，因?yàn)椋?，在中，，在中，，又，所以，所?18．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.(1)當(dāng)時(shí)，由，得，則.當(dāng)時(shí)，有，符合上式.綜上，.(2)由（1）得，，則.19．某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件，價(jià)格為每個(gè)300元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個(gè)數(shù)的分布列為567.表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，代表購買2臺設(shè)備的同時(shí)購買易損零件的個(gè)數(shù).(1)求的分布列；(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選哪一個(gè)？【答案】(1)答案見解析；(2)應(yīng)選擇.【解析】【分析】(1)由每臺設(shè)備需更換零件個(gè)數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對應(yīng)的概率即可得解.(2)分別求出和時(shí)購買零件所需費(fèi)用的期望，比較大小即可作答.(1)的可能取值為10，11，12，13，14，，，，，，則的分布列為：10111213140.090.30.370.20.04(2)記為當(dāng)時(shí)購買零件所需費(fèi)用，，，，，元，記為當(dāng)時(shí)購買零件所需費(fèi)用，，，，元，顯然，所以應(yīng)選擇.20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，Q為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若平面底面，點(diǎn)E在棱上，，且二面角的大小為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接，可證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證明，又由等腰三線合一可證得，則平面，故得證.（2）幾何法：作出二面角的平面角，由得等腰直角，將兩直角邊和分別用和表示，求出的值，根據(jù)棱錐的體積公式，則可求出四棱錐的體積；向量法：根據(jù)題中的條件，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，求出平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計(jì)算方法，求出的值，最后根據(jù)棱錐的體積公式，求出四棱錐的體積.(1)證明：連接，因?yàn)?，Q為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，Q為的中點(diǎn)，所以所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?2)解：因?yàn)?，Q為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)G，連接，則為二面角的平面角，由已知得，∴在直角中，，由于，故．設(shè)，則，所以，故四棱錐的體積為．法2：因?yàn)?，Q為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面．所以以Q為原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，如圖：，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則所以所以平面的法向量為，由題意知平面的法向量為，因?yàn)槎娼菫?，所以，解得，即，所以四棱錐的體積為．21．已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線與C交于另一點(diǎn)D，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入求出，即可得解；（2）可設(shè)直線為，，聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，然后求出直線的方程，整理分析即可得出結(jié)論.(1)解：因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以雙曲線C的方程為；(2)解：顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線為，，聯(lián)立，消整理得，依題意得且，即且，，直線的方程為，令，得.所以直線過定點(diǎn).22．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若為函數(shù)的兩個(gè)不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)，記直線的斜率為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上有兩個(gè)不等于的正根，即可得到韋達(dá)定理，不妨設(shè)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式得到，即證，根據(jù)對數(shù)平均不等式可得，只需證明，令，依題意即證