大物上屆講課051簡諧振動新

“0”xk平衡位置MPox+轉(zhuǎn)動正方向mgθh.o振動是聲學(xué)、地震學(xué)、建筑力學(xué)、機(jī)械原理、造船學(xué)等必需的基礎(chǔ)知識，也是光學(xué)、電學(xué)、交流電工學(xué)、無線電技術(shù)以及原子物理等，不可缺少的基礎(chǔ)。振動是普遍的運(yùn)動形式物體在一定位置附近作周期性的往復(fù)運(yùn)動機(jī)械振動簡諧振動機(jī)械振動第五章日常生活中心臟的跳動、鐘擺的擺動、活塞的往復(fù)運(yùn)動電梯上下運(yùn)行、原子分子的振動······廣義

凡是描述物質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)的物理量，在某一數(shù)值附近作周期性的變化，都叫振動。例如：交流電路中的電壓、電流在一定量值的范圍中作周期性變化，光波、無線電波在空間的傳播，空間某點(diǎn)的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度隨時間作周期性的變化。本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：★簡諧振動簡諧振動的三個特征量

何謂簡諧振動？12簡諧振動的三個特征量★簡諧振動的能量振動的動能和振動的勢能★簡諧振動的合成2

兩個互相垂直的簡諧振動的合成

兩個同方向同頻率簡諧振動的合成1本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：★理解和掌握解決簡諧振動問題的有效工具：旋轉(zhuǎn)矢量（矢量圓的工具）地動儀東漢張衡§5-1

簡諧振動簡諧振動的三個特征量一、何謂簡諧振動？簡諧振動是機(jī)械振動中最簡單、最基本的振動最簡單最基本所有復(fù)雜的振動都是由若干個或無限多個的簡諧振動組成。簡諧振動可以由一個數(shù)學(xué)函數(shù)（三角函數(shù)）來加以表示。如何理解兩個“最”？簡諧振動的兩個條件1.維持振動物體運(yùn)動的作用力（回復(fù)力）始終指向平衡位置“

0

”。

2.

維持振動物體運(yùn)動的作用力（回復(fù)力）的量值與振動物體的位移大小成正比F彈簧保持自然狀態(tài)的位置。一、何謂簡諧振動？“0”xk平衡位置F′“0”xk平衡位置Fx△F胡克定律△＝kx－0“0”mgTθθmgsinθ單擺運(yùn)動回復(fù)力指向“0”回復(fù)力的量值與小球的位移大小成正比。是簡諧振動問題：以下兩種情況小球是否作簡諧振動？θθmgsinθ“0”θ光滑的燕尾槽內(nèi)小球的來回運(yùn)動“0”光滑的圓弧槽內(nèi)小球的來回運(yùn)動彈簧振子的振動F′外力“0”F（回復(fù)力）彈性力AxvA－FxvF=0x

0=“0”xk平衡位置“0”xk平衡位置“0”xk平衡位置“0”xk平衡位置xFFkx=－彈簧振子的圓頻率（角頻率）由牛頓定律：Fma=kx=mddt22－xddt22x＋km=x0km=ω2令ω=kmddt22x＋km=x0ω=km方程的通解為：得：ddt22x＋=x0ω2j=t+sin()Aω+2πj=t+sin()Aω′彈簧振子的圓頻率（角頻率）j=t+cos()xAω具有以上特征的方程形式的運(yùn)動稱為簡諧振動此式稱簡諧振動動力學(xué)方程此式稱簡諧振動運(yùn)動學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)是時間的余弦函數(shù)或正弦函數(shù)通俗地講：上兩式為簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)像，解題時始終要加以對照。tx0x－

t圖：簡諧振動的振動曲線圖此端0表示:時間為零振動物體的位移為零即在平衡位置上。ddt22x＋=x0ω2j=t+cos()xAω簡諧振動還能用函數(shù)曲線表示：二.諧振動的特征量1.振幅、相位和初相位A振幅(位移最大值的絕對值)在A和ω一定時，它決定了振動物體在任意時刻相對于平衡位置的位移也決定了該振動物體的振動速度。j初相（t=0

時刻的相位）決定了初始時刻振動物體運(yùn)動狀態(tài)的物理量j=t+cos()xAω相位(或周相

)Φ=決定簡諧振動物體運(yùn)動狀態(tài)的物理量jt+()ω說明一個周期后位移相等，所以ωT=π2對于彈簧振子：2.周期T、頻率υ

周期T:完成一次全振動所需要的時間頻率v

:一秒鐘內(nèi)完成全振動的次數(shù)以上公式牢記，計算時要用！υ固有頻率：由彈簧的k和m決定

。

j=t+cos()xAωj=t+cos()AωT+ωT=π2ω=2πυυ=T1ω=kmT=2πkmυ=2π1kmA+=sin()tωωjvdx=dt速度振幅加速度振幅j=t+cos()xAω=－vm+sin()tωjadx=dt22=A+cos()tωωj2=－am+cos()tωjxω2=－ω2=－jt+cos()Aω簡諧振動的速度和加速度諧振動的位移、速度及加速度圖像的比較：vaaxxt0Tv諧振動的加速度相位超前或落后位移相位的諧振動的速度相位超前位移相位的π2πj=t+cos()xAωA+=sin()tωωjvdx=dt由:t=0時:j=cosxA0Asinωjv=0A=ωv+22v0=ωjx0arctg)x(002-教材P125解得：約定：＞0

在第一象限j0＜0vvx0＜00＜0vvx0

在第二象限j

在第三象限j＜00＞0vvx0

在第四象限j＞0x00＞0vv利用初始條件可以求出振動方程的振幅A和初相位j進(jìn)而求出振動方程

例題：一彈簧振子

k=8N/m、m=2kg、

x0

=3m、v0

=8m/s

求：ω、A、

j及該彈簧振子的振動方程。解：ω=km28==2(rad/s)A=ωv+22x002=8+2232()=5(m)v0=ωjx0arctg)(-8=2arctg)(-×34=arctg)(-3“0”xk平衡位置4=arctg)(-3j=021267.8j若?。簞t有：j=cosxA02＜0余弦函數(shù)第二象限為負(fù)值。但題意告訴我們：x0

=3

m＞0∴不合題意,舍去!∴=021267.8j=0153.13j－=021267.8j?。?0153.13j－振動方程：=tcos()x52053.13－=tcos()520.295π－1.單擺（擺角小于5°）運(yùn)動是簡諧振動mgθL由轉(zhuǎn)動定律：mgsinθθ受力分析后，重力的切向分力對轉(zhuǎn)動效應(yīng)有貢獻(xiàn)。M=JaL=m2JLθmgsinM=≈mgLθ－－=Ma=JmgLθ－=Lm2ddtθ22ddtθ22＋Lgθ=0符合動力學(xué)方程形式ddt22x＋=x0ω2ω=gLT=2πg(shù)L符合運(yùn)動學(xué)方程形式j(luò)=t+cos()ωθθm2.復(fù)擺+轉(zhuǎn)動正方向mgθh.0c質(zhì)心.M=JahθmgsinM=≈mghθ－－mgsinθθ受力分析后，重力的切向分力對轉(zhuǎn)動效應(yīng)有貢獻(xiàn)。mghθ－=Jddtθ22ω=mghJddtθ22＋Jgθ=0mh符合動力學(xué)方程形式ddt22x＋=x0ω2結(jié)論：單擺和復(fù)擺的運(yùn)動都是簡諧振動。

旋轉(zhuǎn)矢量§5-2理解和計算簡諧振動問題時形象、直觀和有效的借助工具。主要功能：有效的判斷簡諧振動的初相位。矢量旋轉(zhuǎn)是按逆時針繞“0”進(jìn)行轉(zhuǎn)動矢量旋轉(zhuǎn)時是看矢量頭的投影點(diǎn)在使用時牢記以下三點(diǎn)物體向x負(fù)方向（位移負(fù)方向）運(yùn)動。矢量旋轉(zhuǎn)在180°360°矢量旋轉(zhuǎn)在0°180°物體向x正方向（位移正方向）運(yùn)動。

旋轉(zhuǎn)矢量（也稱矢量圓）Ax0ωω(t)+j矢量A的長度（量值）：振幅A矢量A的旋轉(zhuǎn)角速度ω也稱圓頻率A的旋轉(zhuǎn)的方向：逆時針方向

M點(diǎn)在x軸上投影點(diǎn)P

的運(yùn)動規(guī)律：

旋轉(zhuǎn)矢量A與x軸向的夾角：相位MP·xj=t+cos()xAωxMP

彈簧振子在作簡諧振動時：矢量A（MP）逆時針繞圓周運(yùn)動彈簧振子完成一次全振動，則MP繞圓一周xMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMPxMP

彈簧振子在作簡諧振動時：矢量A（MP）逆時針繞圓周運(yùn)動彈簧振子完成一次全振動，則MP繞圓一周xMP矢量旋轉(zhuǎn)時是看矢量頭的投影點(diǎn)物體向x負(fù)方向矢量旋轉(zhuǎn)在0180在180360物體向x正方向（位移負(fù)方向）運(yùn)動（位移正方向）運(yùn)動ooooMPx約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞0振動物體離平衡位置最遠(yuǎn)（x＝A）向位移負(fù)方向運(yùn)動。

＝j(luò)0AMPA0約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞xPM0Ax約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞PM0x＝

A2

＝π3jA約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞xP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞xP0振動物體過平衡位置（x＝0）向位移負(fù)方向運(yùn)動

＝π2jA約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限＜v0x0＞xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限＜v0x0＜xMP0Ax約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限＜v0x0＜MP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限＜v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限＜v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限＜v0x0＜xMP0離平衡位置負(fù)值最遠(yuǎn)（x＝－A）向位移正方向運(yùn)動。

＝πjA約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限＜v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限＞v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限＞v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限＞v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限＞v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限＞v0x0＜xMP振動物體過平衡位置（x＝0）向位移正方向運(yùn)動03＝＝2π2π－或jjA約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限＞v0x0＜xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限＞v0x0＞xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限＞v0x0＞xMP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限＞v0x0＞xMPx0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限＞v0x0＞MP0A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限＞v0x0＞xMP0完成一次全振動A約定：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限＞v0x0＞x例題：（練習(xí)冊P12填充題2.）

一個物體作簡諧振動，其周期為T，則：（1）物體由平衡位置運(yùn)動到最大位移的最短時間？（2）由平衡位置運(yùn)動到最大位移一半處的最短時間？（3）由最大位移的一半處運(yùn)動到最大位移的最短時間？分析：用旋轉(zhuǎn)矢量的方法最直觀、也是最方便和正確的?！。（1）T（1）＝T4·x。·（2）T（2）＝T12300（3）T（3）＝T6600··兩頻率相同的諧振動：稱振動2超前振動1或振動1

滯后振動2利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以比較兩個諧振動的相位差j=t+cos()xAω111j=t+cos()xAω2222j2A0x1j1Aω它們的相位差是：Φ△=t+()ω2j－t+()ω1j＞0=2j－1j問題：下圖中哪個振動在前？問題：下圖中哪個振動在前？x2t1x1x0x2振動2超前振動1＞0=2j－1j△Φ0=2j－1j△Φ=當(dāng)相位差：稱兩振動同步A10合振動加強(qiáng)A2π=2j－1j△Φ=當(dāng)相位差：稱兩振動反相A10合振動減弱A2xt0xAA2合振動加強(qiáng)1A＋＝0=2j－1j△Φ=當(dāng)相位差：稱兩振動同步A20合振動加強(qiáng)A10A1AA2xt0xπ=2j－1j△Φ=當(dāng)相位差：稱兩振動反相A10合振動減弱A2合振動減弱AA21A－＝0AAA21諧振動的位移、速度及加速度的相位關(guān)系加速度a的相位與

位移x的相位反相速度v

的相位

超前位移x

相位的π2vavaxxTt0例題：簡諧振動的振動方程是試求：該振動的振幅A、周期T、頻率υ、在t＝π秒時的位移、速度和加速度。＝6cos（5t－

）cmπ4－x解：振動的振幅A＝6cm頻率ω＝5(s－1)ω=2πυ∵頻率0.80

(HZ)ωv=π2=5π2=周期0.801.25

(s)υ=T1=1=＝6cos（5t－

）cmπ4－x試求：在t＝π秒時的位移：用t＝π(s)代入上式，得：＝6cos（5π

）π4－x－＝－4.24

(cm)求：在t＝π秒時的速度：振動速度v

=dxdt=6sin（5π－

）-5π×－21.20

(cm/s)π4=振動加速度a

=dvdt=6cos（5π

）-5π×π4（）2－=106

(cm/s)2求：在t＝π秒時的加速度：本題結(jié)束例題：（練習(xí)冊P11填充題1.版書）如圖所示，有一條簡諧振動的曲線，請寫出：振幅A=

___

cm、周期T=

__s、圓頻率ω=

____.初相位

______

、振動表達(dá)式x

=__________.振動速度表達(dá)式v

=

______________________.振動加速度表達(dá)式a

=

_____________________.t

=

3秒時的相位

_____。j0=

t(s)x（cm）0242例題：（練習(xí)冊P11選擇題1.版書）一個質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動，其運(yùn)動位移與時間的曲線如圖所示，則求出它的初相位和圓頻率。t(s)x（m）0A1A2π3π65和例題：（練習(xí)冊P12填充題3.版書）

已知兩個簡諧振動的振動曲線如圖所示，則它們兩個簡諧振動的速度最大值之比是多少？x（cm）21340x1x2t（s）12-1-2提示：1.從曲線圖上先寫出各自振動的周期T和圓頻率ω，再用矢量旋轉(zhuǎn)的方法求出它們各自的初相位φ0提示：2.根據(jù)簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出它們各自的振動方程和速度方程。提示：3.用兩個vmax進(jìn)行比較，可得出：速度最大值之比是1:1例題：（練習(xí)冊P12計算題1.版書）有一個水平的彈簧振子，其振幅A＝2.0×10-2米、周期為0.5秒，（1）當(dāng)t＝0時，物體過x＝

1.0×10-2米處且向負(fù)方向運(yùn)動。在旋轉(zhuǎn)矢量圖上標(biāo)出振動的初相位和寫出振動方程。（2）當(dāng)t＝0時物體過x＝－1.0×10-2米處且向正方向運(yùn)動。在旋轉(zhuǎn)矢量圖上標(biāo)出振動的初相位和寫出振動方程。x0A·（1）x0A·（2）·A3π·A34πT＝0.5ω＝2πT＝4πx=2.0×10－2cos－tπ（）4π+3x=2.0×10－2cos－tπ（）4π+34j=t+cos()xAω例題：（練習(xí)冊P30填充題6.版書）一個彈簧振子A的振動曲線如圖所示，另有一個完全相同的彈簧振子B在同一計時起點(diǎn)，已知B的初相位和彈簧振子A的初相位之差為：j2j1j2j1－＝－－π32求：彈簧振子B的振動方程。t(s)x（cm）740－21分析：由圖知T＝12＝ω2π＝6πT由旋轉(zhuǎn)矢量得知：·A34πj2j1－＝－－π32∵xA·0π－－32即：j1＝∵j2＝06彈簧振子B的振動方程x=4.0×10－2cos－t（）π(m)例題：把單擺從平衡位置拉開，使擺線與豎直方向成θ角，然后放手任其振動，試判斷下圖中各種狀態(tài)所對應(yīng)的相位。（教材P141問題5-4）t＝0θ從圖知豎直下垂線為平衡位置，設(shè)：右端為正。4tT＝θtT2＝tT4＝3·“0”x“0”在正方向的端點(diǎn)，放手后朝負(fù)方向運(yùn)動。·“0”xA由旋轉(zhuǎn)矢量法：A從圖知豎直下垂線為平衡位置，設(shè)：右端為正。t＝0θ∴相位＝0j4tT＝過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動?！嘞辔唬?πj2π·“0”x在負(fù)方向的端點(diǎn)，然后朝x正方向運(yùn)動。Aπ·“0”xA過平衡位置向x正方向運(yùn)動θtT2＝由旋轉(zhuǎn)矢量法：∴相位＝πjtT4＝3∴相位＝23或2π＝－jjπ本題結(jié)束例題：如圖所示，求該振動的運(yùn)動周期。0xt124由旋轉(zhuǎn)矢量法：·“0”x4t=1x=

02t=

0x=

26ω1ω0－＝π2－（）-π3＝π5∴T＝πω2＝2ππ65＝2.4(s)例題：如圖所示，試求（1）振動方程（2）點(diǎn)P對應(yīng)的相位（3）到達(dá)點(diǎn)P相應(yīng)位置所需的時間。（單位：米和秒）0xt4.00.050.10P·分析：此題是由振動曲線求振動方程∴由圖來確定振動的Aω和oj從圖中清楚地看出A＝0.10m

，但ω和o從圖中就不能容易得出，要借用旋轉(zhuǎn)矢量方法：j由振動曲線可以畫出t0＝0、t4＝4

秒的旋轉(zhuǎn)矢量圖?！ぁ?”x0.10mA2πT4=4s物體過平衡位置向ox

反向運(yùn)動。to=0物體向ox正方向運(yùn)動-π3－0xt4.00.050.10P·-π3－的來源：π+3－不合題意舍去o＝-π3－∴jj=t+cos()xAωo0.05＝0.10cosj0（1）振動方程：·“0”x0.10mA2πT4=4s物體過平衡位置向ox

反向運(yùn)動。to=0物體向ox正方向運(yùn)動-π3－ωt4to（）－＝ω-（40）-＝4ω＝π3π2（-）＝π65＝π25（rad/s）ω4運(yùn)動方程：π254π3x＝0.01cos(

t-)（m）（2）點(diǎn)P對應(yīng)的相位:π2從上圖中看P點(diǎn)的相位比t4

的相位超前∴＝j(luò)P0·“0”x0.10mA2πT4=4s物體過平衡位置向ox

反向運(yùn)動。t0=0物體向0x正方向運(yùn)動-π3－0xt4.00.050.10P·從左圖中可知t4＝4s時，其相位是π2（3）到達(dá)點(diǎn)P相應(yīng)位置所需的時間:＝0∴＝ωtP＋jPj0·“0”xt＝tP的位置t0=0物體向0x正方向運(yùn)動-π3π-3＋＝0ωtP1524tP＝π3524π＝＝1.6

(s)＝π25其中ω4到達(dá)點(diǎn)P相應(yīng)位置所需的時間:例題：有一顆子彈質(zhì)量m1＝1.0×10－2kg其速度v＝500m/s射入木塊并壓縮彈簧作簡諧振動。已知木塊的質(zhì)量m2＝4.99kg，k＝8.0×103N/m，若以彈簧的原長度時物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向左為正方向。求：簡諧振動的運(yùn)動方程。正方向v“0”分析：要寫出方程，按簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)像對照：先要求出A、ω

和初相位j0kω=mkm1m2+==8.0×1053=40（rad/s）由完全非彈性碰撞的動量守恒定律知：v+0=（）+Vm1m2m1由完全非彈性碰撞的動量守恒定律知：v+0=（）+Vm1m2m11.0×10×5001.0(m/s)+=Vm1m2m1v=2－1.0×10＋2－4.99=A=ωv+22x002由：∵初始位移x0＝0v0就是共同速度V2.5×10

(m)=∴Vω=140=－2根據(jù)題意：子彈進(jìn)入木塊后一起過平衡位置向右邊（負(fù)方向）壓縮振動，由旋轉(zhuǎn)矢量得：正方向v“0”根據(jù)題意：子彈進(jìn)入木塊后一起過平衡位置向右邊（負(fù)方向）壓縮振動，由旋轉(zhuǎn)矢量得：正方向v“0”x“

0”Aπ2j0初相位＝2π前面已求出A、ωA2.5×10

(m)－2=ω=40（s）－1簡諧振動方程為：x=2.5×10cosmtπ（40+22－）本題結(jié)束例題：彈簧的彈性系數(shù)為k、質(zhì)量為m1

的物體A在光滑的桌面上，通過一個質(zhì)量為m、半徑為R的定滑輪B用細(xì)繩連接m2的物體C，已知細(xì)繩無形變，與滑輪間沒有相對滑動。求：系統(tǒng)的角頻率。x“0”m1m2kCABm2gT2T1F解:在圖中進(jìn)行受力分析，然后列方程。T1－F＝m1a對A

物體：可以寫成：x0k（+xd22dt－m1T1)＝x其中x0是系統(tǒng)處于平衡時，彈簧已伸長為

:x0當(dāng)彈簧再伸長x時則彈性力F為：x0k（+x)x“0”m1m2kCABm2gT2T1F對A

物體：x0k（+xd22dt－m1T1)＝x對C

物體：T2－＝m2gd22dtm2x對B

物體：－T2T1（)R＝Ja＝12mR2aR＝12mRd