251平面幾何中的向量方法592

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2.52.5.1

平面向量應(yīng)用舉例平面幾何中的向量方法

問(wèn)題提出

15730p2

t

1.用有向線段表示向量，使得向量可以進(jìn)行線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，并具有鮮明的幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾何的內(nèi)在聯(lián)系，在某種條件下，平面向量與平面幾何可以相互轉(zhuǎn)化.

2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見的問(wèn)題，而這些問(wèn)題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái).因此，平面幾何中的某些問(wèn)題可以用向量方法來(lái)解決，但解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié).

探究(一):推斷線段長(zhǎng)度關(guān)系

思考1:如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2,AD=1,BD=2,那么對(duì)角線AC的長(zhǎng)是否確定？DABC

ADb,則向量AC思考2:設(shè)向量ABa,等于什么？向量DB等于什么？AC

=a+b,DB=a-b

思考3:AB=2,AD=1,BD=2,用向量語(yǔ)言怎樣表述？DCb|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.AaB思考4:利用|AC|(AC),若求|AC|需要解決什么問(wèn)題？22

思考5:利用|a|=2,|b|=1,|a-b|=2,如何求ab?|AC|等于多少？ab1,|AC|26

思考6:根據(jù)上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間具有什么關(guān)系嗎？平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.

探究(二):推斷直線位置關(guān)系

思考1:三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系？交于一點(diǎn)思考2:如圖，設(shè)△ABC的兩條高AD與BE相交于點(diǎn)P,要說(shuō)明AB邊上的高CF經(jīng)過(guò)點(diǎn)AP,你有哪些方法？E

證明PC⊥AB.B

F

PDC

思考3:設(shè)向量PAa,b,PBPCc,那么PC⊥BA可轉(zhuǎn)化為什么向量關(guān)系？AF

aP

E

c(a-b)=0.B

bD

cC

思考4:對(duì)于PA⊥BC,PB⊥AC,用向量觀點(diǎn)可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論？a(c-b)=0,b(a-c)=0.

思考5:如何利用這兩個(gè)結(jié)論:a(c-b)=0,b(a-c)=0推出c(a-b)=0?思考6:你能用其它方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn)嗎？AEFPDC

B

探究(三):計(jì)算夾角的大小

思考1:如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE,你認(rèn)為∠A的大小是否為定值？A

D

E

三角形.gspBC

ACb,可以利思考2:設(shè)向量ABa,用哪個(gè)向量原理求∠A的大?。緼

aD

bE

cosAC

ab|a||b|

B

思考3:以a,b為基底，向量BE,CD如A何表示？BECD1b21a2abaD

bE

B

C

思考4:將CD⊥BE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論？2ab=(a2+b2)5

思考5:由于△ABC是等腰三角形，則|a|=|b|,結(jié)合上述結(jié)論:ab=22+b2(a5

),cosA等于多少？A

cosA

ab|a||b|

45B

aD

bE

C

理論遷移

例1如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC相交于點(diǎn)M、N,試推斷AM、MN、NC的長(zhǎng)度具有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論.DEAMFNC

結(jié)論:AM=MN=NCB

三等分.gsp

例2如圖，△ABC的三條高分別為AD,BE,CF,作DG⊥BE,DH⊥CF,垂足分別為G、H,試推斷EF與GH是否平行.AE

結(jié)論:EF∥GHB

FGDPH

C

小結(jié)作業(yè)

1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路：幾何問(wèn)題向量化向量運(yùn)算關(guān)系化向量關(guān)系幾何化.2.用向量方法研究幾何問(wèn)題，需要用向量的觀點(diǎn)看問(wèn)題，將幾何問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題