激光光學(xué)課件第二章節(jié)

激光光學(xué)課件第二章節(jié)第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日2.1變換矩陣

ABCD矩陣一、空間近軸光線的變換

圖2.1.1空間近軸光線的傳輸

如圖2.1.1所示，空間光線經(jīng)過任意光學(xué)系統(tǒng)變換后的位置和方向用四個(gè)量表示。對近軸光線，

都很小，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使這種變化是線性的，于是可以用一個(gè)4Χ4的變換矩陣表示為：第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2.1.1）式2.2.1是用幾何方法研究空間近軸光線變化的基本方程，變化矩陣一般是4Χ4的，但對于軸對稱光學(xué)系統(tǒng)，和

經(jīng)歷的變化相同，只需要一個(gè)2Χ2矩陣（稱為軸對稱光學(xué)系統(tǒng)的變化矩陣或者ABCD矩陣）如2.1.2來描述這一變化：（2.1.2）（2.1.3）第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日即（2.1.4）式中式（2.1.3），（2.1.4）或（2.1.5）都是近軸光線ABCD定律的數(shù)學(xué)表示式。對于近軸球面波，曲率半徑R等于可簡寫為

（2.1.5）（2.1.6）（2.1.7）由式（2.1.4）立即可得（2.1.8）第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日或（2.1.9）式（2.1.8），（2.1.9）都稱為球面波的ABCD定律。若光纖順次通過變換矩陣為的光學(xué)系統(tǒng)，利用矩陣乘法規(guī)則得到（2.1.10）式中（2.1.11）第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日簡寫為（2.1.12）式（2.1.10）又可寫為（2.1.13）二、符號規(guī)則（1）對x（光線離軸距離）、θ（光線與光軸夾角）正負(fù)號規(guī)定如圖2.1.2，即光軸上方為正，下方為負(fù)，光線出射方向指向光軸上方為正，指向下方為負(fù)。圖2.1.2x、符號法則示意圖第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2）反射面曲率半徑ρ，對凸面反射鏡ρ<0，對凹面反射鏡ρ>0.（3）反射面曲率半徑ρ，對凸折射面ρ<0，對凹折射面ρ>0.（4）球面波波面曲率半徑R，對發(fā)散球面波R>0,會(huì)聚球面波R<0.（5）光學(xué)元件和系統(tǒng)的長度量，如光學(xué)系統(tǒng)的基點(diǎn)（基面）位置，物距和像距等，情況比較復(fù)雜，將在后面結(jié)合具體問題說明。（6）公式中文字符號均表示代數(shù)量。

注意：對公式中物理量的正負(fù)號或數(shù)值運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)正負(fù)號問題最好除使用確定的符號規(guī)則外，還應(yīng)當(dāng)從物理角度加以分析和取舍，才能得出正確的結(jié)果。三、變換矩陣的基本性質(zhì)1.detMABCD矩陣一個(gè)重要性質(zhì)是它的行列式之值detM僅由入射光線和出射光線所在空間折射率決定，即

當(dāng)入射光線和出射光線位于折射率相同空間時(shí)（2.1.14）（2.1.15）第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日2.ABCD矩陣的反向變換矩陣和逆矩陣若規(guī)定由左向右光線傳輸方向?yàn)檎?，?dāng)光線由右向左即反向傳輸時(shí)有（2.1.16）式中為的逆矩陣，由矩陣代數(shù)知（2.1.17）第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日將式（2.1.17）代入（2.1.16），得到（2.1.18）式中反向變換矩陣為（2.1.19）討論：（1）detM=1時(shí)（2.1.20）（2.1.21）（2）折射率突變平界面由表2.2.1知第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2.1.22）則（2.1.23）（2.1.24）四、歸一化變換矩陣空間光線在橫平面上的位置x，y和方向可用正則坐標(biāo)、和正則動(dòng)量

、來描述：第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2.1.25）式中n為介質(zhì)折射率。在近軸近似下有（2.1.26）與式（2.1.1）、（2.1.3）相應(yīng)的變換公式分別為（2.1.27）第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2.1.28）且（2.1.29）式中（2.1.30）稱為歸一化變換矩陣。當(dāng)入射空間和出射空間折射率和不相等時(shí)，使用歸一化變換矩陣是比較方便的，證得式（2.1.2）和式（2.1.30）矩陣元間有關(guān)系：（2.1.31）第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第二章光學(xué)中的矩陣方法2.1變換矩陣ABCD定律2.2變換矩陣示例2.3幾何光學(xué)中的矩陣方法2.4復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的菲涅耳數(shù)和程函數(shù)2.5ABCD矩陣的分解2.6共軸球面腔的約束穩(wěn)定性2.7光腔的本征方程微擾穩(wěn)定性2.8多程反射室第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日2.2

變換矩陣示例舉例說明變換矩陣推導(dǎo)方法（1）光線通過距離

的自由空間（n=1）由圖2.2.1可得：圖2.2.1自由空間傳輸圖2.2.2球面反射所以（2.2.1）（2.2.2）第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2）球面反射如圖2.2.2，設(shè)球面反射曲率半徑為ρ，考慮球面上A點(diǎn)，由反射定律知入射光線與反射光線間有關(guān)系（2.2.3）故（2.2.4）因?yàn)榻咕嗟谋⊥哥R對近軸光線的折射與曲率半徑為ρ凹面鏡對同一近軸光線的反射室等效的，所不同的僅僅是傳輸方向而已，于是得到薄透鏡對近軸光線的變換矩陣（2.2.5）第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（3）調(diào)焦望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)由圖2.2.3，利用式（2.2.1）、式（2.2.5）（2.2.6）式中（2.2.7）為望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的放大鏡，（2.2.8）為望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的兩透鏡間的距離。第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（4）薄透鏡序列（i）謝爾威斯特（Sylvester）定理

設(shè)矩陣滿足則有（2.2.9）（2.2.10）式中（2.2.11）（ii）薄透鏡序列圖2.2.4薄透鏡序列第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日圖2.2.4中由m個(gè)焦距為f，間隔均為L的薄透鏡組成的序列，其中一個(gè)單程的變換矩陣為（2.2.15）于是由謝爾威斯特定理得到（2.2.16）（2.2.17）式中（2.2.18）第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日第二章光學(xué)中的矩陣方法2.1變換矩陣ABCD定律2.2變換矩陣示例2.3幾何光學(xué)中的矩陣方法2.4復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的菲涅耳數(shù)和程函數(shù)2.5ABCD矩陣的分解2.6共軸球面腔的約束穩(wěn)定性2.7光腔的本征方程微擾穩(wěn)定性2.8多程反射室第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日2.3

幾何光學(xué)中的矩陣方法一、幾何成像的ABCD定律圖2.3.1幾何成像系統(tǒng)的矩陣表示圖2.3.1中，參考面，設(shè)其變換矩陣為，在折射率的物空間中與相距u的入射面上的光線經(jīng)該光學(xué)系統(tǒng)變換后，在折射率的像空間中與相距處對應(yīng)光線矢量為，由總的變換矩陣為第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日（2.3.1）（2.3.2）式（2.3.1）可稱為幾何成像的特性矩陣，若B＝0，由式（2.3.2）知（2.3.3）

這表示在物空間中入射面上，在近軸條件下可取任意值的光線，經(jīng)該光學(xué)系統(tǒng)變換后，在像空間中會(huì)聚于出射面上的同一點(diǎn)處。顯然，B＝0即為幾何光學(xué)意義下的成像條件，此時(shí)入射面和出射面構(gòu)成一對物像共軛面，u和分別為物距和像距。

在式（2.3.1）中令B＝0，得（2.3.4）這即幾何成像的ABCD定律。第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日二、三個(gè)放大率公式和拉格朗日—亥姆霍茲不變式1.角放大率

在式（2.3.2）中令C＝0，得（2.3.5）按角放大率定義，有（2.3.6）2.橫向放大率

在式（2.3.2）中令B＝0，得（2.3.7）由橫向放大率定義，有（2.3.8）第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日3.軸向放大率軸向放大率通常是用導(dǎo)數(shù)定義的，即（2.3.9）由式（2.3.2）和式（2.1.14），得（2.3.10）4.拉格朗日—亥姆霍茲不變式由式（2.3.6）和式（2.3.8）（2.3.11）故（2.3.12）這即幾何光學(xué)中著名的拉格朗日—亥姆霍茲不變式。第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日三、高斯光學(xué)基本參數(shù)的變換矩陣元表示高斯光學(xué)的基本參數(shù)為物像空間中共軛的焦點(diǎn)、主點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)（基點(diǎn)），或其所在的平面（基面），即焦面、主面和節(jié)面，它們都可用變換矩陣元的形式簡單表示出來。1、角放大率在式（2.3.2）中令D＝0，得（2.3.13）說明物空間入射面上，取任意值的近軸光線，經(jīng)變換矩陣的光學(xué)系統(tǒng)后，在像空間出射面上成為平行光線。顯然，這時(shí)入射面為物方焦面。以為參考，物方焦面位置為（2.3.14）在式（2.3.2）中令A(yù)=0，得（2.3.15）類似的推理得知，這時(shí)出射面為像方焦面，以為參考，像方焦面位置為（2.3.16）第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日2、主面主面為橫向放大率的平面（稱主面、常稱為反主面。對主面“+”號常略去），由式（2.3.1）知，應(yīng)有（2.3.17）由此得物、物方主面位置（分別以為參考）（2.3.18）3、節(jié)面節(jié)面定義為角放大率的平面（常稱為反節(jié)面），應(yīng)有（2.3.19）于是求得節(jié)面位置（分別以為參考）（2.3.20）第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日4、焦距焦距是以主面為參考計(jì)算的，由式（2.3.14）、式（2.3.16）和式（2.3.18）求得物、像方焦距分別為（2.3.21）第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期日圖2