灰色預測方法

灰色預測方法第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日8.1灰色系統(tǒng)基本原理與灰數(shù)1、差異信息原理：差異即信息，凡信息必有差異。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實際問題所遵循的基本法則。3、最少信息原理：灰色系統(tǒng)理論的特點是充分利用已占有的“最少信息”。4、認知根據(jù)原理：信息是認知的根據(jù)。5、新信息優(yōu)先原理：新信息對認知的作用大于老信息。6、灰性不滅原理：“信息不完全”是絕對的。一、原理第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日二、灰數(shù)及其運算

1、灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確切的數(shù)，通常記為：“”。例如：（1）多少層的樓房算高樓，中高樓，低樓。（2）多么大的蘋果算大蘋果，小蘋果。2、灰數(shù)的種類（1）僅有下界的灰數(shù)。有下界無上界的灰數(shù)記為：∈[a,∞]、∈(a)第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（2）僅有上界的灰數(shù)。有上界無下界的灰數(shù)記為：∈[-∞,a]（3）區(qū)間灰數(shù)既有上界又有下界的灰數(shù)：∈[a,a]（4）連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地取滿整個區(qū)間的灰數(shù)為連續(xù)灰數(shù)。（5）黑數(shù)與白數(shù)當∈（-∞，∞）或∈(1,2)，（即當?shù)纳辖纭⑾陆缃詾闊o窮或上、下界都是灰數(shù)時，稱為黑數(shù)，當∈[a,a]且a=a,時，稱為白數(shù)。第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（6）本征灰數(shù)與非本征灰數(shù)

本征灰數(shù)是指不能或暫時還不能找到一個白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)；非本征灰數(shù)是憑借某種手段，可以找到一個白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)。則稱此白數(shù)為相應灰數(shù)的白化值，記為并用(a)

表示以a為白化值的灰數(shù)。如：托人代買一件價格為100元左右的衣服，可將100作為預測衣服價格(100)的白化數(shù)，記為第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（7）信息型灰數(shù)

因暫時缺乏信息而不能肯定其取值的數(shù)。但到一定的時間，通過信息補充，灰數(shù)可以完全變白。從本質(zhì)上看，灰數(shù)可分為信息型、概念型和層次型灰數(shù)。（8）概念型灰數(shù)，也稱意愿型灰數(shù)

指由人們的某種概念、意愿形成的灰數(shù)。（9）層次型灰數(shù)

指由層次的改變形成的灰數(shù)。(宏觀白,微觀灰)第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日3、區(qū)間灰數(shù)的運算設(shè)灰數(shù)1

∈[a,b],2∈[c,d](a<b,c<d)(1)1

+2∈[a+c,b+d](2)-1

∈

[-a,-b](3)1

-2=1+(-2)∈[a-d,b-c](4)1

·

2∈[min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}](5)1/

2

∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}](6)若k為正實數(shù)，則：k1∈[ka,kb]第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（2）對一般的區(qū)間灰數(shù)，將白化取值為4.灰數(shù)白化與灰度（1）有一類灰數(shù)是在某個基本值附近變動的，這類灰數(shù)白化比較容易，可將其基本值為主要白化值?？捎洖槠渲袨閼n動灰元。此灰數(shù)的白化值為定義：形如的白化稱為等權(quán)白化。第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日定義：在等權(quán)白化中而得到的白化值稱為等權(quán)均值白化。在區(qū)間灰數(shù)取值的分布信息缺乏時，常采用等權(quán)均值白化。在灰數(shù)的分布信息已知時，常采用非等權(quán)均值白化。如：如：某人2000年的年齡可能是40歲到60歲，根據(jù)了解，此人受初中級教育12年，且20世紀60年代中期考入大學，故此人的年齡到2000年為58左右的可能性較大?；蛘咴?6歲到60歲的可能性較大。注：白權(quán)化函數(shù)被用來描述一個灰數(shù)對其取值范圍內(nèi)不同數(shù)值的“偏愛”程度。第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日定義：設(shè)區(qū)間灰數(shù)1

∈[a,b],2∈[c,d](a<b,c<d)當時，稱1與2取數(shù)一致；當時，稱1與2取數(shù)不一致。定義：起點，終點確定的左升、右降連續(xù)函數(shù)稱為典型的白化權(quán)函數(shù)。f(x)10x1x2x3x4L(x)R(x)x第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日定理1：區(qū)間灰數(shù)不能相消、相約。即：灰數(shù)自差一般不能等于0，僅當減數(shù)與被減數(shù)的取數(shù)一致時，灰數(shù)的自差才等于0。如：∈[2，5]，=0取數(shù)一致

∈[-3，3]

取數(shù)不一致=1取數(shù)一致∈[2/5，5/2]

取數(shù)不一致

如：/

－

灰度：是灰數(shù)的測度。

灰度在一定程度上反映了人們對灰色系統(tǒng)之行為特征的未知程度。它與相應定義信息域的長度及其基本值有關(guān)。第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日8.2灰色預測概念

一、灰色預測的概念（1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)

白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是完全充分的。

黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息對外界來說是一無所知的，只能通過它與外界的聯(lián)系來加以觀測研究。

灰色系統(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間有不確定的關(guān)系。第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

用灰色數(shù)學來處理不確定量，使之量化。

（2）灰色系統(tǒng)特點

充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律。關(guān)鍵：如何使灰色系統(tǒng)白化、模型化、優(yōu)化灰色系統(tǒng)視不確定量為灰色量，提出了灰色系統(tǒng)建模的具體數(shù)學方法，它能用時間序列來確定微分方程的參數(shù)?；疑到y(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng)。（只要求較短的觀測資料即可）第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

灰色預測法是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進行預測的方法?；疑A測是對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進行預則，就是對在一定范圍內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程進行預測。

（3）灰色預測法

灰色預測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來發(fā)展趨勢的狀況。

第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

灰色預測法用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。

（4）灰色預測的四種常見類型?灰色時間序列預測即用觀察到的反映預測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或達到某一特征量的時間。

第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日?畸變預測即通過灰色模型預測異常值出現(xiàn)的時刻，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。

系統(tǒng)預測

通過對系統(tǒng)行為特征指標建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預測模型，預測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。拓撲預測

將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模型預測該定值所發(fā)生的時點。第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日四種方法共同點：

（1）允許少數(shù)據(jù)預測；（2）允許對灰因果律事件進行預測，如：1）灰因白果律事件：糧食預測，影響因素很多，是灰因；然而糧食產(chǎn)量是具體，是白果。2）白因灰果律事件：項目開發(fā)預測，投入是具體，為白因；而收益暫時不清楚，為灰果。3）具有可檢驗性：含建?？尚行缘募壉葯z驗（事前檢驗），建模精度檢驗（模型檢驗），預測的滾動檢驗（預測檢驗）。第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

二、生成列

為了弱化原始時間序列的隨機性，在建立灰色預測模型之前，需先對原始時間序列進行數(shù)據(jù)處理，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的時間序列即稱為生成列。

灰色系統(tǒng)常用的數(shù)據(jù)處理方式有累加和累減兩種。

（1）數(shù)據(jù)處理方式第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日累加是將原始序列通過累加得到生成列。累加的規(guī)則:

將原始序列的第一個數(shù)據(jù)作為生成列的第一個數(shù)據(jù)，將原始序列的第二個數(shù)據(jù)加到原始序列的第一個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第二個數(shù)據(jù)，將原始序列的第三個數(shù)據(jù)加到生成列的第二個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第三個數(shù)據(jù)，按此規(guī)則進行下去，便可得到生成列。第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日記原始時間序列為：生成列為：第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

對非負數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機性弱化越多，累加次數(shù)足夠大后，可認為時間序列已由隨機序列變?yōu)榉请S機序列。一般隨機序列的多次累加序列，大多可用指數(shù)曲線逼近。同理，可作m次累加：第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日累減

將原始序列前后兩個數(shù)據(jù)相減得到累減生成列

累減是累加的逆運算，累減可將累加生成列還原為非生成列，在建模中獲得增量信息。一次累減的公式為：第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日例原始數(shù)據(jù)為第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日三、關(guān)聯(lián)度

關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法，在計算關(guān)聯(lián)度之前需先計算關(guān)聯(lián)系數(shù)。（1）關(guān)聯(lián)系數(shù)設(shè)則關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日式中：

為第k個點ρ稱為分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；

對單位不一，初值不同的序列，在計算關(guān)聯(lián)系數(shù)前應首先進行初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個數(shù)據(jù)。的絕對誤差；和為兩級最小差；為兩級最大差；第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（2）關(guān)聯(lián)度和的關(guān)聯(lián)度為：例:工業(yè)、農(nóng)業(yè)、運輸業(yè)、商業(yè)各部門的行為數(shù)據(jù)如下：

工業(yè)農(nóng)業(yè)運輸業(yè)商業(yè)參考序列分別為，被比較序列為,試求關(guān)聯(lián)度。

第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日解：以為參考序列求關(guān)聯(lián)度。

第一步：初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個數(shù)據(jù)。得到：x=[45.843.442.341.9];x1=x./45.8第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第二步：求序列差第三步：求兩極差第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日x1=[1,0.9475,0.9235,0.9138];x2=[11.0631.12271.1483];x3=[10.971.02941.0294];x4=[11.01490.8050.7];y2=abs(x2-x1)y3=abs(x3-x1)y4=abs(x4-x1)v=max([max(y2)max(y3)max(y4)])u=min([min(y2)min(y3)min(y4)])savegldy2y3y4uvv=0.2345u=0第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第四步：計算關(guān)聯(lián)系數(shù)

取ρ=0.5，有：

從而：

第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第五步：求關(guān)聯(lián)度

計算結(jié)果表明，運輸業(yè)和工業(yè)的關(guān)聯(lián)程度大于農(nóng)業(yè)、商業(yè)和工業(yè)的關(guān)聯(lián)程度。

為參考序列時，計算類似，這里略去。第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日aita2=1.00000.50380.37050.3333aita3=1.00000.83900.52540.5035aita4=1.00000.63500.49730.3542loadgldr=0.5aita2=(u+r*v)./(y2+r*v)aita3=(u+r*v)./(y3+r*v)aita4=(u+r*v)./(y4+r*v)r12=(1/4)*sum(aita2)r13=(1/4)*sum(aita3)r14=(1/4)*sum(aita4)r12=0.5519r13=0.7170r14=0.6216第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日8.3灰色預測模型一、GM（1，1）模型的建立

設(shè)時間序列有n個觀察值：通過累加生成新序列

令為的緊鄰均值生成序列

第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日則GM（1，1）的灰微分方程模型為：

其中：α稱為發(fā)展灰數(shù)；μ稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。設(shè)為待估參數(shù)向量，可利用最小二乘法求解。解得：其中第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日稱微分方程：

為灰色微分方程的白化方程，也稱影子方程。（1）白化方程的解也稱時間響應函數(shù)，其為（2）GM（1，1）灰微分方程的時間響應序列為第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（3）取

（4）還原值

注：（1）原始數(shù)據(jù)不一定全部用來建模，數(shù)據(jù)不同，模型不同。

（2）數(shù)據(jù)的取舍應保證建模序列等時矩、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。

（3）一般建模數(shù)據(jù)應當有最新的數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)成。第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日二、模型檢驗（1）殘差檢驗按預測模型計算并將累減生成然后計算原始序列與的絕對誤差序列及相對誤差序列?；疑A測檢驗一般有殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗。給定a,當成立,稱模型為參差合格模型.a取0.01、0.05、0.1所對應的模型分別為：優(yōu)、合格、勉強合格第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（2）關(guān)聯(lián)度檢驗根據(jù)前面所述關(guān)聯(lián)度的計算方法算出與原始序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后計算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗，當ρ=0.5時，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（3）后驗差檢驗a.計算原始序列標準差:b.計算絕對誤差序列的標準差：c.計算方差比：第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日d.計算小誤差概率：令:，則P>0.95>0.80>0.70≤0.70C<0.35<0.50<0.65≥0.65

好合格勉強合格不合格第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日例某礦某年3-7月份的輕傷事故情況如表所示:原始數(shù)據(jù)列為：

累加生成數(shù)列為：

月份34567輕傷人次2629313334

表1輕傷事故人次第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日所以

其中α稱為發(fā)展灰數(shù)；μ稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日所以，

即事故預測公式為：第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日生成數(shù)列的預測值、原始數(shù)列的還原值分別如表所示。

為了得到原始數(shù)列的預測值，需要將生成數(shù)列的預測值作累減還原為原始值，即根據(jù)下式求得：表2生成數(shù)列的預測值與誤差檢驗-0.03153.0315340.30118.701193-0.1486.14862-0.2755.27551026260k第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日表3原始數(shù)列的還原值與誤差檢驗

12626022929.27-0.2733130.870.1343332.560.4453434.33-0.33平均值30.630.606-0.006k第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)據(jù)方差和殘差方差分別為：

后驗差比值為：小誤差頻率

第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日所以

根據(jù)和的評價標準（表3），本例題的預測結(jié)果的評價等級為“好”。第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日可對8月的輕傷事故進行預測即根據(jù)預測，如果不能采取更有效的事故預防措施的話，下一月份的輕傷事故人次將是36人。采用第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日三、GM(1,1)模型應用實例的MATLAB實現(xiàn)解

(1)累加生成數(shù)列為：

年份199920002001200220032004銷售額2.673.133.253.363.563.72建立GM（1，1）預測模型，并預測2005年產(chǎn)品銷售額

原始數(shù)據(jù)列為：

{2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72}

{2.67005.80009.050012.410015.970019.6900X0=[2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72];X1(1)=X0(1)fork=2:6X1(k)=X1(k-1)+X0(k)end第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日(2)構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量Y：

z=

04.23507.425010.730014.190017.8300loadhslitifork=2:6z(k)=(1/2)*(X1(k)+X1(k-1))endB=-4.23501.0000-7.42501.0000-10.73001.0000-14.19001.0000-17.83001.0000Y=3.13003.25003.36003.56003.7200B=[(-z(2:6))'ones(5,1)]Y=(X0(2:6))'第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日(3)計算系數(shù)

alfa=-0.04402.9256alpha=inv(B'*B)*B'*Y(4)得出預測模型

u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uu=-66.5503v=69.2203第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日(5)進行參差檢驗

得u=alpha(2)/alpha(1)v=X0(1)-uforn=0:6X2(n+1)=v*exp(-alpha(1)*n)+uendX2u=-66.5503v=69.22031）根據(jù)預測公式，計算

X2=2.67005.78099.031512.428315.977719.686723.5623第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日得X3(1)=X2(1)form=1:6X3(m+1)=X2(m+1)-X2(m)end2）累減生成序列

X3=2.67003.11093.25073.39683.54943.70893.8756而原始數(shù)據(jù)為{2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72}

3）計算絕對參差和相對參差序列

絕對參差序列

daita0=0.00000.01910.00070.03680.01060.0111daita0=abs(X0-X3(1:6))第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日相對參差序列

kesi=0.00000.00610.00020.01090.00300.0030kesi=daita0./X0平均相對參差

meankesi=mean(kesi)meankesi=0.0039<0.01而模型精確度高第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（6）進行關(guān)聯(lián)度檢驗

1）計算絕對參差序列2）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)aita=(min(daita0)+0.5*max(daita0))./(daita0+0.5*max(daita0))aita=1.00000.49010.96450.33330.63480.62443）計算關(guān)聯(lián)度=0.6745>0.6的檢驗準則meanaita=mean(aita)=0.6745第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日（7）進行后驗差檢驗

1）計算X0均值、均方差X0mean=mean(X0)=0.2817X0std=std(X0)=0.3671daita0mean=mean(daita0)=0.0130daita0std=std(daita0)=0.0137C=0.03724）計算小參差概率2）計算參差均值、均方差3）計算C=daita0std/X0stdS0=0.6745*X0stdS0=0.2476e=0.01300.00610.01240.02370.00250.0020e=abs(daita0-daita0mean)對所有的e都小于S0，故小參差概率P=length(find(e<S0))/length(e)C=0.0372<0.35,故預測模型是合格的。而同時第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日(8)預測

得即2005年的產(chǎn)品銷售額預測值為4.0498億元。u=-66.5503v=69.2203X2006=4.0498X2005=X3(7)X2(8)=v*exp(-alpha(1)*7)+uX3(8)=X2(8)-X2(7)X2006=X3(8)即2005年的產(chǎn)品銷售額預測值為3.8756億元。即2006年的產(chǎn)品銷售額預測值為4.0498億元。第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日四、GM(1,1)參差模型可獲得生成序列的預測值若用原始序列建立的GM(1,1)模型

對于參差序列若存在，使得當時，的符號一致，且則稱參差序列為可建模參差尾部。第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日的累加生成序列其GM(1,1)時間響應式為計算參差序列得修正模型其中正負號取值與參差尾部符號一致第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日如果考慮得系統(tǒng)由若干個相互影響的因素組成：為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而其相關(guān)因素序列有

為的緊鄰均值生成序列

五、GM(1,N)模型設(shè)為的累加生成列，第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日則GM（1，N）的灰微分方程模型為：

可利用最小二乘法求解。解得：其中第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日稱微分方程：

為灰色微分方程的白化方程，也稱影子方程。（1）白化方程的解（響應序列形式）為第64頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

（2）累減還原值

（1）建立模型常用數(shù)據(jù)有：科學試驗數(shù)據(jù)、經(jīng)驗數(shù)據(jù)、生產(chǎn)數(shù)據(jù)、決策數(shù)據(jù)；（2）序列生成數(shù)據(jù)是建立灰色模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

（3）一般非負序列累加生成后，得到準光滑序列，對于滿足光滑條件的，即可建立GM模型；

（4）模型精度可以通過不同的灰數(shù)生成方式，數(shù)據(jù)的取舍，序列的調(diào)整、修正以及不同級別的參差GM模型補充得到提高；建模的思路：

（5）灰色系統(tǒng)理論采用參差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗、后驗差檢驗三種方法檢驗，判斷模型的