現(xiàn)代分析第七章

現(xiàn)代分析第七章第1頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日第七章菲爾茲獎與當代數(shù)學第2頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日本章目錄一、為什么要了解菲爾茲獎二、菲爾茲獎得主對數(shù)學的主要貢獻三、從菲爾茲獎看當代數(shù)學的特點四、菲爾茲獎得主的風彩及其對數(shù)學或數(shù)學教育的一些見解

第3頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日一、為什么要了解菲爾茲獎

龐加萊指出：“如果我們想要預見數(shù)學的未來適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)代”第4頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日了解數(shù)學史的著作M克萊因的《古今數(shù)學思想》；J斯科特的《數(shù)學史》；

H伊夫斯的《數(shù)學史概論》；B鮑爾加爾斯基的《數(shù)學簡史》；

D斯特洛伊克的《數(shù)學簡史》；E貝爾的《數(shù)學精英》；

卡爾波耶的《微積分概念史》；梁宗巨的《世界數(shù)學史簡編》；

錢寶琮的《中國數(shù)學史》；李文林的《數(shù)學史概論》等等。第5頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日怎么樣了解現(xiàn)代數(shù)學?現(xiàn)在世界上每年大約要發(fā)表二、三十萬條新定理，數(shù)學文獻、專著，浩如煙海。

希爾伯特1900年在第二屆國際數(shù)學家大會上，以《未來的數(shù)學問題》為題，發(fā)表的23個問題，是了解當代數(shù)學的一個重要側面，但不夠全面。第6頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

1950年以后，在國際數(shù)學家大會上作報告的數(shù)學家，很多都是沃爾夫（Wolf）數(shù)學獎和菲爾茲獎得主。從他們的建樹與見解，可以了解當代數(shù)學的輪廓與主流。第7頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日沃爾夫數(shù)學獎是沃爾夫獎的一個獎項，它和菲爾茲獎被共同譽為數(shù)學界的最高榮譽。獲得該獎項的華人為陳省身和丘成桐。由于菲爾茲獎只授予40歲以下的的年輕數(shù)學家，所以年紀較大的數(shù)學家沒有獲獎的可能。恰巧1976年1月，R.沃爾夫及其家族捐獻一千萬美元成立了沃爾夫基金會，其宗旨是為了促進全世界科學.藝術的發(fā)展。沃爾夫基金會設有：數(shù)學.物理.化學.醫(yī)學.農(nóng)業(yè)五個獎（1981年又增設藝術獎）。1978年開始頒發(fā)，通常是每年頒發(fā)一次，每個獎的獎金為10萬美元，可以由幾人分得。第8頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日什么是菲爾茲獎？菲爾茲獎是以J.C.菲爾茲（Fields）的姓氏命名的一個國際數(shù)學獎。

J.C.菲爾茲強烈主張數(shù)學發(fā)展應是國際性的，他對于數(shù)學的國際交流的重要性，對于促進北美洲數(shù)學的發(fā)展都抱有獨特的見解，并作出了很大的貢獻。

第9頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日為了使北美洲數(shù)學迅速發(fā)展并趕上歐洲，是他第一個在加拿大推進研究生教育，也是他全力籌備并主持了1924年在多倫多召開的第七次國際數(shù)學家大會（這是在歐洲以外召開的第一次國際數(shù)學家大會）。正是這次大會使他過分勞累，從此健康狀況再也沒有好轉，但這次大會對于促進北美的數(shù)學教育發(fā)展和數(shù)學家之間的國際交流，確實產(chǎn)生了深遠的影響。第10頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日當他得知這次會議的經(jīng)費有結余時，他就萌發(fā)了把它作為基金設立一個國際數(shù)學獎的念頭。為此他積極奔走與歐美各國謀求廣泛支持，并打算于1932年在蘇黎世召開的第九次國際數(shù)學家大會上親自提出建議。但不幸的是未等到大會開幕，他就去世了。J.C.菲爾茲在去世前立下遺囑，把他自己留下的遺產(chǎn)加上上述剩余經(jīng)費，由多倫多大學數(shù)學系轉交第九次國際數(shù)學家大會，大會立即接受了這一建議。第11頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

菲爾茲獎的一個最大特點是獎勵年輕人，只授予40歲以下的數(shù)學家，即授予那些能對未來數(shù)學發(fā)展起重大作用的人。菲爾茲獎是一枚金質獎章。獎章的正面是阿基米德的浮雕頭像；并刻著“超越人類極限，做宇宙的主人”。反面刻著“全世界的數(shù)學家們，為知識作出新的貢獻而自豪”。第12頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日菲爾茲獎章正面反面第13頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日菲爾茲獎被認為是年輕數(shù)學家的最高榮譽，被稱為為數(shù)學界的諾貝爾獎。獎金有15,000加拿大元，約合一萬五千美元。

第14頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日地位崇高!第一.它是由數(shù)學界的國際權威學術團體―國際數(shù)學聯(lián)合會主持,從全世界的第一流青年數(shù)學家中評定,遴選出來的；第二.它是在每隔四年才召開一次的國際數(shù)學家大會上隆重頒發(fā)的，且每次獲獎者僅2~4名，因此獲獎的機會比諾貝爾獎還要少；第三.也是最根本的一條是由于得獎人的出色才干和成就，贏得了國際社會的聲譽。第15頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日菲爾茲獎對青年數(shù)學家來說，是世界上最高的國際數(shù)學獎。從1936年開始到2010年，獲菲爾茲獎的已有53人，他們都是數(shù)學天空中升起的燦爛明星，是數(shù)學界的精英。

國際數(shù)學聯(lián)合會前主席帕利斯（Palis）說：“菲爾茲獎得主們的成就顯示出高度的創(chuàng)造性和深刻性，……全世界數(shù)學工作者都為他們的卓越貢獻鼓掌喝彩?！钡?6頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日關于菲爾茲獎的趣聞.同財大氣粗的諾貝爾獎相比，菲爾茲獎顯得未免有些寒酸。不過，菲爾茲獎與諾貝爾獎的差別絕不僅在于獎金多少。數(shù)學界中有一個流傳頗廣的傳言，說是諾貝爾與當時瑞典著名數(shù)學家米塔格-萊夫勒(Mittag-Leffler)因為爭奪某一女子而失和，為防止萊夫勒獲取自己設立的獎項，諾貝爾故意將被譽為“科學的皇后”的數(shù)學排斥于諾貝爾獎之外。據(jù)說與萊夫勒保有“持久的友誼”的菲爾茲設立“菲爾茲獎”的一部分意圖就是為好友伸張正義，為數(shù)學家設立一個與諾貝爾獎對立的獎。第17頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日雖然納什絕對是24屆國際數(shù)學家大會最引人注目的人物，但作為數(shù)學家，他從未獲過菲爾茲獎。從1936年設立之日起，菲爾茲獎對于獲獎者的要求中就有一條不成文的規(guī)定:所有得主年齡不超過40歲。而盡管諾貝爾獎評審委員會對年齡從未作過規(guī)定，迄今為止卻沒有一位諾貝爾經(jīng)濟學獎的得主年齡在40歲以下。因此，數(shù)學界又流傳著另一種說法:你是一個很想獲大獎的年輕數(shù)學家嗎？如果到了40歲還沒有拿到菲爾茲獎，不如轉行學經(jīng)濟學，爭取拿諾貝爾獎吧！第18頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日2006年8月22日，西班牙馬德里，當西班牙國王卡洛斯一世在3000名世界一流的數(shù)學家面前頒發(fā)菲爾茲獎章時，獲獎者格里戈里?佩雷爾曼在巨大的榮譽面前缺席了。格里戈里?佩雷爾曼，這名40歲的俄羅斯圣彼得堡數(shù)學奇人并不是第一次拒絕榮譽和獎項——1995年，他拒絕斯坦福大學等一批美國著名學府的邀請；1996年，他拒絕接受歐洲數(shù)學學會頒發(fā)的杰出青年數(shù)學家獎?！拔蚁胨且粋€非傳統(tǒng)的人。他很討厭被卷入各種浮華和偶像崇拜。”哈佛大學的ArthurJaffe說。除了拒絕學術榮譽，佩雷爾曼似乎對金錢也不感興趣。第19頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日二、菲爾茲獎得主對數(shù)學的主要貢獻從一個窗口展示出當代數(shù)學發(fā)展的輪廓和一些主流。菲爾茲獎得主在下述幾個領域或分支，作出了重大貢獻：拓撲學，代數(shù)幾何，分析學（實、復、泛函），代數(shù)，數(shù)論，微分方程，微分幾何，動力系統(tǒng)，數(shù)理邏輯，概率論。第20頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日拓撲學塞爾（Serre）

托姆（Thom）米爾諾（Milnor）

斯梅爾（Smale）諾維科夫（Novikov）

瑟斯頓（Thurston）弗里德曼（Freedman）

唐納森（Donaldson）瓊斯（Jones）

威騰（Witten）皮爾曼（Perelman）

阿蒂亞（Atiyah）第21頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日塞爾(Serre)塞爾(Serre)，法國數(shù)學家，1954年獲獎。他發(fā)展了纖維叢的概念，他對于拓撲學的經(jīng)典問題：球面同倫群的計算，做出了根本意義上的推進工作。第22頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日托姆（Thom）托姆（Thom），法國數(shù)學家，1958年獲獎。他構造了配邊理論。他最有影響的工作是奇點理論方面的文章。它已演化成為一門獨立學科――突變理論。第23頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日米爾諾（Milnor），美國數(shù)學家。1962年獲獎。他最突出的成就，1956年證明了七維流形上存在著不同的微分結構，從而導致了一個全新的拓撲學領域的誕生,即微分拓撲。第24頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞（Atiyah），英國數(shù)學家，1966年獲獎。他1963年（與美國數(shù)學家Singer合作）證明了指標定理，這個定理揭示了分析學,代數(shù)學和拓撲學之間的聯(lián)系,并有力地推動了K理論的迅速發(fā)展。第25頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

斯梅爾（Smale），美國數(shù)學家，1966年獲獎。他對微分拓撲中廣義龐加萊猜想有重要建樹，證明了四維以上的龐加萊猜想。創(chuàng)立了現(xiàn)代抽象微分動力系統(tǒng)理論。第26頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

諾維科夫（Novikov），前蘇聯(lián)數(shù)學家，1970年獲獎。他對拓撲學（特別是微分拓撲）作出了重要貢獻，特別是對葉狀結構理論，他證明了微分流形有理龐特里亞金示性類的拓撲不變性。第27頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日瑟斯頓（Thurston），美國數(shù)學家，1983年獲獎。他對一般流形上葉狀結構的存在、性質及其分類得出了普遍結果(特別是對三維閉流形的拓撲分類作出了貢獻)。他對葉狀結構理論及證明史密斯(Smith)猜想作出了貢獻。第28頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日弗里德曼（Freedman），美國數(shù)學家，1986年獲獎。他1982年證明了四維流形拓撲的龐加萊猜想，他的結果――四維緊致單連通拓撲流形的分類――要比猜想本身更為一般。第29頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日唐納森（Donaldson），英國數(shù)學家，1986年獲獎。他對四維流形拓撲的研究，發(fā)現(xiàn)了四維幾何學中難以預料與神秘的現(xiàn)象――“怪異”的R4空間的出現(xiàn)(四維流形上可以存在不同的微分結構,尤其是四維歐氏空間上存在著不可數(shù)無窮多種微分結構)。他的結果產(chǎn)生了一項新的研究，它揭示了流形的一些出人意料的性質（其中與代數(shù)簇的微分結構有關內容得到的廣泛的關注）。第30頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日瓊斯（Jones），新西蘭數(shù)學家，1990年獲獎。他在紐結理論中引入了他在算子代數(shù)工作中產(chǎn)生的多項式不變量,得到了一個全新的紐結不變量多項式,從而揭示了拓撲學與算子代數(shù)理論的深刻聯(lián)系。第31頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

威騰（Witten），美國數(shù)學家，1990年獲獎。他對莫爾斯理論，德。拉姆和霍奇理論，指標定理給出了新的表達和證明；他對“超弦理論”作出了重要貢獻，這一理論完全可能在相對性理論、量子力學和粒子相互作用之間作出統(tǒng)一的數(shù)學處理（這是愛因斯坦大半生的追求）。第32頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日皮爾曼（Perelman），俄羅斯數(shù)學家。2006年獲獎。由于他在幾何學的貢獻，以及對Ricci流的解析結構和幾何結構創(chuàng)新性的見解，特別對解決龐加萊猜想和瑟斯頓幾何化猜想提供了解決的途徑而聞名于世。第33頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日代數(shù)幾何代數(shù)幾何是當代數(shù)學的一個重要分支，它主要研究高維空間中由若干代數(shù)方程公共零點所確定的點集，及這些點集通過一定的構造方式導出的對象，即代數(shù)簇。由于對代數(shù)幾何做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列10位：第34頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日格羅騰迪克(Grothendieck)廣中平佑曼福德(Mumford)德利涅(Deligne)福爾廷斯(Falting)德里費爾德(Drinfl'd)森重文孔采維奇(Kontsevich)沃伊沃德斯基(Voevodsky)奧克科夫(Okounkov)第35頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日分析學對分析學做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列6位：

施瓦爾茨(Schwartz)小平邦彥費弗曼(Fefferman)

阿爾福斯(Ahlfors)孔涅(Connes)高爾斯(Gowers)第36頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日代數(shù)對代數(shù)做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列6位：湯普森（Thomposn）馬古利斯（Margulis）奎倫（Quillen）澤爾曼諾夫（Zelmanov）博切爾茲（Borcherds）奧克科夫（Okounkov）第37頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)論對數(shù)論做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列7位：賽爾伯格（Selberg）羅斯（Roth）貝克（Baker）邦別里（Bombieri）拉福格（Lafforgue）外爾斯（Wiles）陶哲軒（Tao）

第38頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日微分方程微分方程做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列3位：赫爾曼德爾（Hormander）布爾蓋恩（Bourgain）利翁（Lions）

第39頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日微分幾何對微分幾何做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列2位：道格拉斯（Douglas）丘成桐（Yao）第40頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日動力系統(tǒng)動力系統(tǒng)理論是經(jīng)典常微分方程式論的一種發(fā)展。它著重在抽象系統(tǒng)而非具體方程的定性研究，其研究辦法是整體性的。這整體性有些是拓撲式的，也有是統(tǒng)計式的。由于對動力系統(tǒng)做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列2位：約克斯（Yoccoz）麥克馬蘭（Mcmullen）第41頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日概率論對概率論做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家有下列2位：

奧克科夫（Okounkov），他對隨機性概念的應用和表示論中的一些經(jīng)典思想的利用作出了貢獻，從而溝通了概率論、表示論和代數(shù)幾何之間的聯(lián)系。

魏勒（Werner），他對發(fā)展隨機共形映射、布朗運動二維空間幾何、以及對共形場理論作出了貢獻。他的工作組合了概率論和經(jīng)典復分析的思想，從而對數(shù)學和物理學兩者都產(chǎn)生了重要影響。第42頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)理邏輯對數(shù)理邏輯做出貢獻榮獲菲爾茲獎的數(shù)學家是科恩（Cohen）。

他是美國數(shù)學家，1966年獲獎，運用自己創(chuàng)造的“力迫法”證明了連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理系統(tǒng)是相互獨立的,即他建立起連續(xù)統(tǒng)假設相對于通常的集合論公理系統(tǒng)的不可證明性。這一基礎性結果具有廣泛的科學與哲學意義。第43頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日有兩點必須強調第一,這53位菲爾茲獎得主，不僅分別在上述數(shù)學分支中作出了卓越的貢獻，而且他們中的絕大多數(shù)都是博學多能，涉足多個分支，在多個分支上都有重要建樹。第二,他們的獲獎成果,不僅與一個數(shù)學分支有關,往往與多個數(shù)學分支都有深刻的關聯(lián)。第44頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日三、從菲爾茲獎看當代數(shù)學的特點1、當代數(shù)學在許多領域都取得了重大突破，新思想，新概念，新理論，新方法層出不窮，令人眼花繚亂，目不暇接。其中拓撲學、代數(shù)幾何、分析學、代數(shù)、數(shù)論、偏微分方程等，成果最為豐碩。特別是代數(shù)學和拓撲學大大的推動和影響了其它分支的發(fā)展。第45頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日著名數(shù)學家外爾指出：“今天，拓撲的天使抽象代數(shù)的精靈為每一個數(shù)學領域的靈魂而斗爭”。

法國著名數(shù)學家迪厄多內稱：“代數(shù)拓撲學和微分拓撲學通過它們對于所有其它數(shù)學分支的影響,才真正應該成為名副其實地稱為20世紀數(shù)學的女王”

。第46頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學已經(jīng)朝著各個方向以非常驚人的速度擴展，新的領域出現(xiàn)了，向其它領域的擴散加速了，從而使我們關于經(jīng)典領域的知識變得更加深厚了。而且可以看出，當代數(shù)學的發(fā)展，并不僅僅是一些新概念、新理論、新方法的簡單積累，它包含著數(shù)學本身許多根本的變革，可以說是質的飛躍。

第47頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日但是質的變化不是通過破壞和推翻原有成果來實現(xiàn)，而是通過深化和推廣原有成果而形成，進而達到新的境界，新的高度，從而使數(shù)學這門最古老的科學充滿了勃勃生機。正如著名數(shù)學家外爾對菲爾茲獎得主小平邦彥和塞爾的評價所說：“數(shù)學界為你們所做的工作感到驕傲，它表明數(shù)學這棵長滿節(jié)瘤的老樹仍然充滿著勃勃生機?！钡?8頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿爾福斯說：“我們生活在激動人心的時代，各個學科領域取得了巨大的進展?！c數(shù)學相關的計算機已使世界面貌為之一新?！瓟?shù)學領域內激動人心的事情更是層出不窮。近年來，懸而未決的一些猜想出乎意料地得到解決……重大的數(shù)學問題的突破甚為頻繁?！诺浞治鋈找婵繑n鄰近的數(shù)學分支，…我自信，這個健康的勢頭將繼續(xù)下去?！庇械臄?shù)學家認為：“20世紀數(shù)學的成就，比古希臘到19世紀末的總和還要多。”第49頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日2、當代數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展，一方面是不斷地分化出新的分支，每個分支又分化出若干主題。以20世紀90年代初美國《數(shù)學評論》和德國的《數(shù)學文摘》編輯部聯(lián)合制訂的數(shù)學主題就是有約100大類，每一大類之下，又分20-50個不等的子類，全部子類的總數(shù)約5100個；另一方面是各分支間的綜合性、滲透性、統(tǒng)一性也在增強和發(fā)展。一個分支所取得的成果，往往可以直接或間接地用到其它好多分支上去，并取得突破性的進展。第50頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日例如，拓撲學的成果廣泛地和分析、代數(shù)等其它分支相結合，形成了當今數(shù)學最為活躍的領域之一。

當代數(shù)學所表現(xiàn)出的這種高度分化又高度綜合的趨勢與當代數(shù)學各分支的相互滲透、相互促進的機能是導致當代數(shù)學整體向前發(fā)展的強大動力，也是當代數(shù)學的特色之一。第51頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日我們可以發(fā)現(xiàn)：當代數(shù)學世界中很大部分內容以一種完全意想不到的方式聯(lián)系在一起。

例如，代數(shù)在數(shù)學中名副其實的到處滲透。

我們從“朗蘭茲綱領”中，可以發(fā)現(xiàn)：代數(shù)中的基本對象跟分析中同樣基本對象牢牢地拴在一起。又如，阿蒂亞的指標定理，就是代數(shù)學、拓撲學、分析學等多個數(shù)學分支相互結合的典型實例。第52頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日又例如，賽爾伯格在解析數(shù)論方面的研究成果，就揭示了數(shù)論與其它分支的深刻聯(lián)系，使人們能看到相距甚遠的數(shù)學分支是如何交織在一起的，象離散群理論與自守形，半單李群的表示論，zeta函數(shù)理論與散射理論等等就是如此。

第53頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日又如，馬爾古利斯對“賽爾伯格猜想”的證明，正是巧妙而綜合地運用了微分幾何、代數(shù)學、動力系統(tǒng)及遍歷理論等多種看起來似乎毫無關系的理論，才最終把問題解決了。又如托姆的突變理論。它建筑于莫爾斯理論，惠特尼的奇點理論，以及其它諸多數(shù)學分支之上。在一個統(tǒng)一構思的框架中，它溶合了不同數(shù)學領域的眾多優(yōu)美的結果。

第54頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日因此，菲爾茲獎得主阿蒂亞深有感觸地說：“數(shù)學最使我著迷之處，是不同分支之間有許許多多的相互影響，預想不到的聯(lián)系和驚人的奇跡?！?/p>

賽爾伯格說：“一些看來相距較遠又沒有任何聯(lián)系的不同數(shù)學領域之間，通過架橋鋪路，最終使它們變得密切相關?！钡?5頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日日本著名數(shù)學家、沃爾夫獎得主伊藤清也指出：“數(shù)學各分支之間的相互聯(lián)系越來越密切，作為有機整體的數(shù)學正在形成?！?/p>

菲爾茲獎得主費里德曼說：“今天我認為我們都能夠感受到來自不同分支的思想?yún)R聚在一起所產(chǎn)生的數(shù)學的強大動力”。第56頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日所以，法國著名數(shù)學家、布爾巴基學派的重要成員、沃爾夫獎得主H.嘉當指出：“對數(shù)學的所有重要分支進行綜合研究，看來時機已經(jīng)成熟，這種研究應該…使各科目之間的基本聯(lián)系得以理解?！钡?7頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日的確，當代數(shù)學家們面臨的挑戰(zhàn)，是如何去建立一些橋梁，把更多的分支都聯(lián)系起來。菲爾茲獎得主格羅騰迪克的“綱領概要”實質上是一個探尋在幾何，組合拓撲及代數(shù)幾何之間聯(lián)系的問題。法國數(shù)學家拉福格，正是由于證明了與函數(shù)相應的整體“朗蘭茲綱領”，從而在數(shù)論與分析兩大領域之間建立了新的聯(lián)系，因而榮獲了2002年度的菲爾茲獎。第58頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日3、數(shù)學研究的對象，并不局限于一般的“數(shù)”和“形”，當代數(shù)學中的“數(shù)”、“形”的概念已發(fā)展到很高的境地，比如，非數(shù)之“數(shù)”的眾多代數(shù)結構，像群、環(huán)、域等;無形之“形”的各種抽象空間,像線性空間、拓撲空間、流形等。數(shù)學還研究現(xiàn)實世界的任何形式與關系，研究各種抽象的“數(shù)”和“形”的模式結構。

第59頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日正如菲爾茲獎得主賽爾伯格所說：“今天，我們的數(shù)學主要關心的是結構及結構間的關系”。從而使數(shù)學的抽象程度越來越高。抽象性可以克服形象直觀中的“局部性”和“局限性”，使其揭示的問題更廣泛、深刻。例如，菲爾茲獎得主格羅騰迪克引進的“概型”這個概念，就把代數(shù)幾何抽像程度提高到了新的水平，幾何形象的痕跡完全消失，它超過了不少受傳統(tǒng)教育的數(shù)學家們的理解，從而被譽為代數(shù)幾何的一次革命。第60頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日4、數(shù)學的應用越來越廣，它不聲不響地向其它學科縱深滲透。例如：托姆的突變理論，這個理論的發(fā)展已經(jīng)遠遠超出了純數(shù)學，甚至物理學的范疇。這一理論已經(jīng)成為最受公眾關注的數(shù)學現(xiàn)象，它已經(jīng)或正在應用于諸如生物學、動物行為學、胚胎學、形態(tài)發(fā)生學、經(jīng)濟學、社會學、語言學等眾多領域。

第61頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日小平邦彥說：“數(shù)學被廣泛應用于物理學，天文學等自然科學，簡直起了難以想象的作用，而且有許多情況說明，自然科學理論中需要的數(shù)學在發(fā)現(xiàn)該理論以前，就由數(shù)學家預先準備好了，這是難以想象的現(xiàn)象?！钡?2頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日從而進一步證實了愛因斯坦的名言:“理論物理學家越來越不得不服從于純數(shù)學形式的支配”和伽利略的名言：“自然界的偉大的書是用數(shù)學語言寫成的。”第63頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日我們可以看出，數(shù)學對于現(xiàn)實生活的影響正在與日俱增，例如：電視廣播、多路通迅、氣象預報、金融保險、CT掃描、藥物檢驗、智能電器、航天科技、飛機制造、成衣制造、石油勘探…..，無一不用數(shù)學。許多學科都在或先或后地經(jīng)歷著一場數(shù)學化的進程。現(xiàn)在，已經(jīng)沒有哪個領域能夠抵御得住數(shù)學的滲透。例如，諾貝爾經(jīng)濟學獎得主中，有27位的獲獎工作都有相當數(shù)學化的。其中納什和康托諾維奇原本就是數(shù)學家。第64頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日從而進一步證實了培根的名言：“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙?！?/p>

從而也進一步證實了高斯的名言：“數(shù)學是科學的皇后，…它常常屈尊去為天文學和其它科學效勞，但在所有關系中，它都堪稱第一。”

菲爾茲獎得主弗里德曼高興地說：“我要對數(shù)學家們的努力擊掌歡呼，他們正在教育、能源、經(jīng)濟、國防以及世界和平等問題闡明自己的觀點?！钡?5頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日5、這49位菲爾茲獎得主中，美國15人：阿爾福斯（芬蘭裔）、道格拉斯、賽爾伯格（挪威裔）、米爾諾、斯梅爾、湯普森、費弗曼、瑟斯頓、科恩、奎倫、弗里德曼、曼福德（英裔）、丘成桐（華裔）、威滕、麥克馬蘭。第66頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日法國10人：施瓦爾茨、托姆、塞爾、格羅騰迪克、德利涅（比利時裔）、孔涅、利翁、約克茲、拉福格、魏勒（德裔）。

第67頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

英國7人：羅斯（德裔）、阿蒂亞、貝克、唐納森、高爾斯、外爾斯、博切爾茲。前蘇聯(lián)及俄羅斯有8人：諾維科夫、馬古利斯、德里費爾德，澤爾曼諾夫、孔采維奇、沃伊沃德斯基、奧克科夫、皮爾曼。日本有3人：小平邦彥、廣中平佑、森重文。

第68頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日比利時1人：布爾蓋恩。德國1人：福爾廷斯。意大利1人：邦別里。瑞典1人：赫爾曼德爾。新西蘭1人：瓊斯。澳大利亞1人：陶哲軒。第69頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日從這個分布可以看出：當今美國的數(shù)學水平居于世界前列，20世紀30年代初，希特勒上臺，使歐洲遭到空間浩劫，大批數(shù)學家先后移居美國，如外爾，馮·諾伊曼，諾特，阿廷，哥德爾，西格爾，柯朗等；美國重視科學和人才，吸引了世界許多有才華的數(shù)學家到那里參加研究工作或任教；第70頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日法國、英國的數(shù)學教育和數(shù)學研究，有很好的基礎和優(yōu)良的傳統(tǒng)，仍保持著很高的水平；前蘇聯(lián)的數(shù)學水平也是很高的，它重視基礎理論教育和研究、有許多著名數(shù)學家關心并參與數(shù)學教育，培養(yǎng)，造就了不少杰出數(shù)學家；日本的數(shù)學近半個世紀以來取得了長足的進展，令人矚目。

第71頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日從這個分布可以看出，一個國家的數(shù)學水平和它的科學技術水平，教育和經(jīng)濟發(fā)展，有著極為密切的關系。數(shù)學家拉奧說：“一個國家的科學水平，可以用它消耗的數(shù)學來度量?！钡?2頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日兩個引人注目的機構

美國普林斯頓高等研究所

法國的布爾巴基學派第73頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日普林斯頓高等研究所

菲爾茲獎得主：賽爾伯格、小平邦彥、丘成桐、威滕、布爾蓋恩、道格拉斯、赫爾曼德爾、米爾諾、阿蒂亞、科恩、斯梅爾、貝克、邦別里、德利涅、奎倫、孔涅、瑟斯頓、唐納森、弗里德曼、森重文、懷爾斯、沃伊沃德斯基等20多人都在這個研究所從事過研究工作。第74頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日法國的布爾巴基學派是1935年由一批年輕數(shù)學家：韋伊、迪厄多內、嘉當、薛華荔、埃瑞斯曼等人為振興法國的數(shù)學而組成的，他們以結構的觀點來統(tǒng)一數(shù)學，其代表作是《數(shù)學原理》（已出版近40分冊）（施瓦爾茨，塞爾，格羅騰迪克都是這個學派的正式成員，而托姆，德利涅，孔涅則深受其影響）。第75頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日韋伊、嘉當則是終身成就獲——沃爾夫獎得主。為此著名數(shù)學家博萊爾評贊道：“布爾巴基學派……在培養(yǎng)數(shù)學的整體觀念、數(shù)學基礎的統(tǒng)一性，敘述風格、符號選擇等方面，對數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。……他們多年來的無私合作，各不相同的個性，能向共同的目標，奮斗在數(shù)學歷史上也許是絕無僅有的?！钡?6頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日普林斯頓高等研究所和布爾巴基學派在培養(yǎng)，造就人才的成功經(jīng)驗值得我們學習和見鑒!!!第77頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日四、菲爾茲獎得主的風采及其對數(shù)學或數(shù)學教育的一些見解菲爾茲獎得主之所以能在數(shù)學上取得杰出的成就，其主要原因是：他們都非勤奮好學，對數(shù)學有執(zhí)著的追求；他們?yōu)樘剿鲾?shù)學世界的奧秘鍥而不舍，堅忍不拔；他們全身心地去求解懸而未決的數(shù)學難題，去開創(chuàng)數(shù)學的新局面；他們善于從面臨的諸多數(shù)學問題中選擇出值得探索的問題，從而為數(shù)學增添了光輝篇章；第78頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日他們治學嚴謹，是我們數(shù)學界的精英，有的堪稱數(shù)學大師，有許多值得我們學習的優(yōu)秀品格和治學方法。他們還站在歷史和時代的高度，對數(shù)學和數(shù)學教育發(fā)表了不少深刻、精辟的見解，值得我們去思考，去聯(lián)想，去研究，去實踐。第79頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日幾位大師的見解第80頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日1.塞爾他是49位得主中，獲獎時年齡最小的一位（他1954年獲獎時才28歲），他也是終身成就獎――沃爾夫獎得主（2000年度）。他還是阿貝爾獎第一位得主（2003年）。第81頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日

他自幼勤奮、好學（7、8歲起就喜歡數(shù)學），初中時，就做一些高中題目（用幫助欺侮他的大同學做數(shù)學作業(yè)來感化他們），14、15歲就開始學微積分，在高等師范學習時，就參加了H.嘉當?shù)拇鷶?shù)拓撲討論班，不久成為布爾巴基學派的成員。第82頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日他25歲獲博士學位，其博士論文是關于同倫群的，極出色，不久就發(fā)表在《數(shù)學年刊》上，從而嶄露頭角。他才華橫溢,對拓撲學、多復變函數(shù)、代數(shù)幾何、數(shù)論、群論、交換代數(shù)、模形式等分支都作出了重大貢獻。1986年斯普林格（Springer）出版了一部他的三卷論文集共有2064頁，2000年又出版了第四卷.他的這部論著不但展示出他取得的成果，而且包含了許多由他提煉的尚未解決的問題。第83頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日特別是他強調：“論文應含有更多注記、未解決的問題，這常常比精確證明了的定理更使人感興趣。哎，但大多數(shù)人害怕承認自己不知道某些問題的解答，結果克制自己不提這些問題，…這太遺憾了！至于我自己，我很樂意說我不知道。”第84頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日他不但是一位博學多才的數(shù)學家，而且為人謙和，極受同行的擁戴。他50歲生日時，世界上許多著名數(shù)學家都寫文章祝賀，《數(shù)學發(fā)明》雜志還專門用了35、36兩卷的整個篇幅來發(fā)表了其中30篇祝賀他的文章,數(shù)學家博特（Bott）說：“塞爾是聰明數(shù)學家的典范，凡他所理解的東西在他頭腦中有如水晶般地明晰?！钡?5頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日英國著名數(shù)學家亞當斯說：“塞爾的每一篇文章都值得一讀?！钡?6頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日他對數(shù)學教育發(fā)表了不少精辟的見解。他指出：“關于學生，關鍵是要讓他們明白數(shù)學是活生生的，而不是僵死的，講數(shù)學的傳統(tǒng)方法有個缺陷，即教師從不提及這類問題，這很可惜。在數(shù)論中有許多這類問題，十幾歲的孩子就能很好地理解它們：當然包括費馬大定理，還有哥德巴赫猜想，以及無限個形如n2+1的素數(shù)的存在性。你可以隨意講一些定理而不加證明（例如，關于算術級數(shù)中素數(shù)的狄利克雷定理）?！钡?7頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日他還說：“數(shù)學史是非常有趣的，它把諸事恰如其分地展現(xiàn)出來。”

他還認為：“講課，最理想的，是要把精確性和非形式化有機地結合起來?！钡?8頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日2.賽爾伯格他喜歡數(shù)學的一個動因，是以下公式：這個公式實在美極了：單數(shù)1，3，5，7……這樣組合可以給出π，對于一個數(shù)學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景。第89頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日賽爾伯格的父親和兩個哥哥都是數(shù)學教授，由于家庭的熏陶，自幼愛上了數(shù)學，13歲時，當他看到時，使他感到驚奇，并心馳神往，決心想知道它是怎樣來的。第90頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日當他閱讀了哥哥借回的印度數(shù)學家拉馬努金全集后，簡直像發(fā)新大陸，極大地喚起了想象力。他未上大學之前，就寫了一篇論文，題目是《關于某些數(shù)論的等式》。賽爾伯格不但是數(shù)論大家，他還對群論，代數(shù)幾何，調和分析，多復變函數(shù)…等數(shù)學分支都作出了重要貢獻。第91頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日1949年，年僅31歲的賽爾伯格就用初等方法證明了素數(shù)定理。他的證明轟動了世界數(shù)壇，并使他1950年榮獲了菲爾茲獎。賽爾伯格1986年還榮獲了終身成就獎――沃爾夫獎。第92頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日在當代的數(shù)學論著中有不少以他的姓氏命名的數(shù)學術語，例如：賽爾伯格不等式，賽爾伯格等式，賽爾伯格公式，賽爾伯格篩法，賽爾伯格zeta函數(shù)，賽爾伯格猜想…等。第93頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日3阿蒂亞他是代數(shù)拓撲學和復分析學的若干重要成果的創(chuàng)始人，是一位博學多才的杰出數(shù)學家。第94頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞早期有關代數(shù)曲面的論文已使他躋身于第一流數(shù)學家的行列，他最杰出的成果，是他1963年與美國數(shù)學家辛格關于指標定理的證明。指標定理有很長的根系，其證明涉及數(shù)學上諸多領域，從拓撲理論方法到配邊理論、偽微分算子、Soblev空間以及泛函分析，這個定理揭示了分析學、拓撲學、代數(shù)學之間的深刻聯(lián)系，它可以說是代數(shù)學、拓撲學、分析學等多個數(shù)學分支相互結合的一個典型實例。第95頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日由這個定理可以推出許多重要定理（例如，黎曼一羅赫一希策布魯赫定理，是它的一個特殊情形），它對于復代數(shù)簇理論、微分幾何、數(shù)學物理上都發(fā)揮了重要作用，這個定理被譽為20世紀的重大成果之一。阿蒂亞的另一個重大成就是對K理論的建立。第96頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞說：“數(shù)學的統(tǒng)一性與簡單性都是極為重要的。因為數(shù)學的目的就是用簡單而基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。”“數(shù)學最使我著迷之處是不同的分支之間有著許許多多的相互影響，有著預想不到的聯(lián)系和驚人的奇跡。”第97頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞十分重視數(shù)學的應用。他認為“在某種意義上，是物理學為數(shù)學供了最深刻的應用，物理學中產(chǎn)生的數(shù)學問題的解答方法，過去一直是數(shù)學活力的來源，現(xiàn)在仍然如此?！钡?8頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞認為學習數(shù)學不是靠記憶而是靠理解，他說：“當你傳授知識時，你應該設法傳授理解。”阿蒂亞培養(yǎng)出了不少杰出人才。例如，1986年度的菲爾茲爾獎得主唐納森就是他的學生。第99頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞善于與別人合作，像辛格、希策布魯赫，塞爾、博特等人都與他合作過。他說：“我發(fā)現(xiàn)與別人交流思想是非常激勵人的，……我與別人交談時，把各種思想攪拌在一起，新的東西一出現(xiàn)就緊追不舍?！钡?00頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿蒂亞思如泉涌,有哲人的宏識,發(fā)表了許多有影響的論文，1985年牛津大學出版社出版了他的五大卷全集，但還未能反映出他的工作的全貌，因為他每年都有新的論文發(fā)表。1990年，阿蒂亞被選為劍橋大學三一學院院長兼任牛頓研究所所長，這是繼牛頓之后首次由一位數(shù)學家出任三一學院院長職務；1990-1995年他任英國皇家學會會長，這也是牛頓擔任過的職務。2004年他榮獲了阿貝爾獎。第101頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日阿貝爾（Abel）獎是一項挪威設立的數(shù)學界大獎。每年頒發(fā)一次。2001年，為了紀念2002年挪威著名數(shù)學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾二百周年誕辰，挪威政府宣布將開始頒發(fā)此種獎金。自2003年起，一個由挪威自然科學與文學院的五名數(shù)學家院士組成的委員會負責宣布獲獎人。獎金的數(shù)額大致同諾貝爾獎相近。設立此獎的一個原因也是因為諾貝爾獎沒有數(shù)學獎項。2001年挪威政府撥款2億挪威克朗作為啟動資金。擴大數(shù)學的影響，吸引年輕人從事數(shù)學研究是設立阿貝爾獎的主要目的。第102頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日4格羅騰迪克他是一位傳奇式的杰出數(shù)學家，1928年生于柏林的一個猶太人家庭，其父是俄國人在二戰(zhàn)中被納粹殺害，其母是德國人，格羅騰迪克13歲作為難民到了法國，在難民營中長大，受到一些初等教育，后來進入蒙泰佩利耶大學學習，畢業(yè)后到巴黎高等師范學校希望進一步深造。第103頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日一次，他登門拜訪H·嘉當，說他希望學習分析學，嘉當告訴他，要學分析學應去南錫大學找迪厄多內和施瓦爾茲。隨后他去南錫大學找到施瓦爾茲，施瓦爾茲把他與迪厄多內剛寫的論文《（F）和（KF）空間的對偶性》讓格羅騰迪克回去看，這篇論文的后面提出了14個未解決的問題，格羅騰迪克經(jīng)過自己獨立的鉆研，兩個月以后，他帶了其中7個問題的答案再來見施瓦爾茲，這使施瓦爾茲大為驚喜。格羅騰迪克的那些答案不久都發(fā)表在1950年的法國科學院通報上。第104頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日1953年，格羅騰迪克在南錫大學獲博士學位，其博士論文的題目是《核空間的拓撲張量積》，極出色，其導師便是迪厄多內。1953-1956年他先后到巴西圣保羅大學，美國哈佛大學、麻省理工學院，英國劍橋大學等進行訪問研究，這期間他主要研究同調代數(shù)，1957年轉向代數(shù)幾何。格羅騰迪克非常勤奮，每天工作12小時，在一個沒有暖氣的寒冷屋子里寫出了3000多頁的手稿。第105頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日格羅迪騰克對代數(shù)幾何作出了杰出貢獻。他創(chuàng)立了一整套現(xiàn)代代數(shù)幾何抽像理論體系，幾何形象的痕跡在他手里完全消失，他引進的“概型”這個概念把代數(shù)幾何的抽象程度提高到了新的水平，被譽為代數(shù)幾何學的一次革命，并對有關數(shù)學分支產(chǎn)生了深遠的影響。到1970年，他的工作已完成了十幾卷，構成了一個完整的現(xiàn)化代數(shù)幾何體系，被人稱為“概型論”第106頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日對此，另一位菲爾茲獎主、國際數(shù)學聯(lián)合會前主席曼福德曾評價道：“格羅騰迪克是一個令人震驚的奇才，在代數(shù)幾何領域內他引進了美麗而深刻的思想，以及一個全新的天地概型”。第107頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日格羅騰迪克是一位個性鮮明、非常有正義感的和平主義者。他堅決反對美國入侵越南的戰(zhàn)爭。他也大聲疾呼反對原蘇聯(lián)軍隊入侵捷克；1959年他被聘為巴黎高等研究院的終身教授，后來他獲悉這一研究機構受到北大西洋公約組織的資助時，就毅然辭去職務回鄉(xiāng)務農(nóng)；

第108頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日1988年，瑞典皇家科學院頒發(fā)六年一度的克拉福德獎，獲獎是格羅騰迪克和德利涅，以表彰他們在代數(shù)幾何作出的杰出貢獻，獎金數(shù)額與諾貝爾獎相當。格羅騰迪克致信瑞典皇家科學院拒絕領獎并痛斥當前學術界的一些腐敗現(xiàn)象。第109頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日5丘成桐美籍中國數(shù)學家，中國科學學院外籍院士。

1949年生于廣東汕頭，他出生不久，他們全家就移居香港。丘成桐早年喪父，家里兄弟姐妹共有7個，生活比較困難，在香港上中學時，他家住郊外,每天上學途中要花費很多時間。念到中學后，他就一邊上學，一邊替別人補習功課以掙錢貼補家用。第110頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日1965年，丘成桐考入香港中文大學數(shù)學系.他非常勤奮刻苦,僅以2年時間就學完了數(shù)學系4年的課程。當他“無課可上”的時候，數(shù)學系的一位外籍教師給美國加利福尼亞大學伯克利分校寫信，推薦丘成桐到那里去深造。第111頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日當時正在伯克利分校任教的陳省身教授見信后，對此表示了特別的關注，因為當年陳省身教授在接受香港中文大學名譽博士學位時，便同丘成桐有過短期接觸。陳省身以他敏銳的眼光，發(fā)現(xiàn)丘成桐是位很有培養(yǎng)前途的青年。第112頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日可是，當丘成桐要來伯克利時,卻碰到了一個困難,因為這里不接受沒有取得大學畢業(yè)文憑的學生讀研究生。陳省身教授以極大的熱忱大力推薦，不僅使該校破格錄取了丘成桐，并且還為他爭取了一筆獎學金。丘成桐在陳省身教授的親自指導下，在數(shù)學上取得了長足的進步，僅兩年多一點時間，他便于1971年獲得了博士學位，當時年僅22歲。第113頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日丘成桐獲得博士學位后，不斷奮進，成就卓著，28歲晉升為正教授，29歲就應邀于1978年在芬蘭赫爾辛基舉行的國際數(shù)學家在大會上作大會報告。1979年，加利福尼亞州科技及工業(yè)博物館授予他“1979年加福尼州科學家”稱號。30歲的丘成桐成了第一位獲得這一榮譽的數(shù)學家。第114頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日由于他證明了微分幾何中的卡拉比猜想，證明了廣義相對論中的正質量猜想以及在高維閔可夫斯基問題、弗蘭克爾猜想、極小曲面等方面的貢獻，于1982年榮獲菲爾茲獎，時年33歲。第115頁，共129頁，2023年，2月20日，星期日除了菲爾茲獎以外，丘成桐還多次榮獲其他獎項。1981年，他榮獎了美國數(shù)學會頒發(fā)的維布倫幾何獎