數(shù)學建模（模型）概述（上）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)學建模（模型）概述（上）教案

課題名稱第一節(jié)數(shù)學建模(模型)概述（上）進度時數(shù)2教學目標應(yīng)知應(yīng)會重點難點本課程主要內(nèi)容、學習目標、學習方法數(shù)學建模的基本概念簡單數(shù)學模型的分析數(shù)學模型概念的理解數(shù)學模型的建立講授教學教學資源內(nèi)容教材教具時間分派30’15’45’教材分析教學方法一、數(shù)學模型的概念二、一個簡單的數(shù)學模型實例實例分析、求解第一節(jié)數(shù)學建模(模型)概述教學后記作業(yè)

1

內(nèi)容備注第5章數(shù)學建模簡介最近幾十年，隨著各種科學技術(shù)特別是計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學正以其巧妙的魅力進入各種領(lǐng)域。它的功能顯著，其解決問題的卓越能力甚至使它滲透到一些非物理領(lǐng)域，諸如交通、生態(tài)、社會學等。數(shù)學作為一種“技術(shù)〞，日益受到人們的重視。在新的形式下，大學的數(shù)學教學也面臨著改革。為了使畢業(yè)生盡快地適應(yīng)工作崗位，能夠較好地解決各種實際問題，數(shù)學課程的設(shè)置不能僅僅只為了教會學生們一些數(shù)學的定理和方法，更重要的是，要教會他們怎樣運用手中的數(shù)學武器去解決實際中的問題，這便是數(shù)學建模這門課程的目的。作為一門新型的學科，數(shù)學建模正日益煥發(fā)出其獨特的魅力。第一節(jié)數(shù)學建模(模型)概述我們以及我們這個世界太需要數(shù)學了，但我們往往視而不見。自人類萌發(fā)了認識自然之念、空想著改造自然之時，數(shù)學便一直成為人們手中的有力武器。牛頓的萬有引力定律、伽利略發(fā)明的望遠鏡讓世界震驚，其關(guān)鍵的理論工具竟是數(shù)學。然而，社會的發(fā)展使數(shù)學日益脫離自然的軌道，逐漸發(fā)展成高深莫測的“專項技巧〞。數(shù)學被神化，向時，又被束之高閣。近半個世紀以來，數(shù)學的形象有了很大的變化。數(shù)學已不再單純是數(shù)學家和少數(shù)物理學家、天文學家、力學家等人手中的神秘武器，它越來越深入地應(yīng)用到各行各業(yè)之中，幾乎在人類社會生活的每個角落都在展示它的無窮威力。這一點特別表現(xiàn)在生物、政治、經(jīng)濟以及軍事等數(shù)學應(yīng)用的非傳統(tǒng)領(lǐng)域。數(shù)學不再僅僅作為一種工具和手段，而日益成為一種“技術(shù)〞參與到實際問題中。近年來，隨著計算機的不斷發(fā)展，數(shù)學的應(yīng)用更得到突飛猛進的發(fā)展。利用數(shù)學方法解決實際問題時，首先要進行的工作是建立數(shù)學模型，然后才能在此模型的基礎(chǔ)上對實際問題進行理論求解、分析和研究。需要指出的是，雖然數(shù)學在解決實際問題時會起到關(guān)鍵的作用，但數(shù)學模型的建立卻要符合實際的狀況。假使建立的模型本身與實際問題相差甚遠，那么，即使在理論分析中采用怎樣巧妙的數(shù)學處理，所得到的結(jié)果也會與實際狀況不符。因此，建立一個較好的數(shù)學模型乃是解決實際問題的關(guān)鍵之一。一數(shù)學模型概念或許我們對客觀實際中的模型并不陌生。敵對雙方在某地區(qū)作戰(zhàn)時，都務(wù)必要有這個地區(qū)的主體作戰(zhàn)地形模型；在采煤開礦或打井時，我2

們需要描繪本地區(qū)地質(zhì)結(jié)構(gòu)的地質(zhì)圖；出差或旅游到外地，總要買一張注明城市中各種地名及交通路線的交通圖；編計算機程序，往往要先畫框圖。我們看到，這些圖都能簡單又很明白地說明我們所需要的事物的特性，從而幫助我們順利地解決各種實際問題。模型在我們的生活中也是無處不在的。進入科技展廳，我們會看到水電站模型、人造衛(wèi)星模型；游逛魔幻城，我們會面對各種幾乎逼真的模擬物驚詫萬分；為了留念，我們會同美麗的風景一起留在照片上。還有各種動物或飛機、汽車等兒童玩具，這些以不同方式被縮小了的客觀事物都是我們生活中極平常的模型。一般地說，模型是我們所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當具有事物中我們關(guān)心和需要的主要特性。當然，數(shù)學模型較以上實物模型或形象模型繁雜和抽象得多，它是運用數(shù)學的語言和工具，對部分現(xiàn)實世界的信息(現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等)加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學模型經(jīng)過演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學上的分析、預報、決策或控制，再經(jīng)過翻譯和解釋，回到現(xiàn)實世界中。最終，這些推論或結(jié)論必需經(jīng)受實際的檢驗，完成實踐——理論——實踐這一循環(huán)（如圖5—1）。假使檢驗的結(jié)果是正確的，即可用來指導實際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過程，修改數(shù)學模型。翻譯、歸納現(xiàn)實世界的信息數(shù)學模型檢驗演繹、推理現(xiàn)實世界的分析、解釋預報、決策或控制圖5—1數(shù)學的分析、預報、決策或控制作為一種數(shù)學思考方法，數(shù)學模型是對現(xiàn)實的對象通過心智活動構(gòu)造出的一種能抓住其重要而且有用的(往往是形象化的或者是符號的)表示。更具體地，它是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能預計對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。二一個簡單的數(shù)學模型實例一輛汽車在拐彎時急剎車，結(jié)果沖到路邊的溝里(見圖5—2)。交3

通警察馬上趕到了事故現(xiàn)場。司機申辯說，當他進入彎道時剎車失靈。他還一口咬定，進入彎道時其車速為40英里／小時(該路的速度上限，約合17．92米／秒)。警察驗車時證明該車的制動器在事故發(fā)生時的確失靈，然而，司機所說的車速是否真實呢?現(xiàn)在，讓我們幫警察來計算一下司機所報車速的真實性。連接剎車痕跡的初始點和終點，用x表示沿連線汽車橫向走出的距離，用y表示豎直的距離(如圖5—3)。表5—1給出了外側(cè)剎車痕跡的有關(guān)值。圖5—3圖5—2表5—1單位：米x0369121516.64182124273033.27y01.192.152.823.283.533.553.543.31表

2.892.221.290經(jīng)過勘測還發(fā)現(xiàn)，該車并沒有偏離它行駛的轉(zhuǎn)彎曲線，也就是說車頭一直指向切線方向?？梢约僭O(shè)，該車的重心是沿一個半徑為r的圓做圓周運動。假定摩擦力作用在汽車速度的法線方向上，設(shè)汽車的速度v是個常數(shù)。顯然，摩擦力提供了向心力，設(shè)摩擦系數(shù)為?，則?mg?mv2r（5-1）其中m為汽車質(zhì)量。由上式易得v??gr如何計算圓周半徑r?假設(shè)已知弦的長度為c，弓形的高度為h(見圖5—4)，由勾股定理知4

r2?r?h?2圖5—4由表5-1代入近似的數(shù)據(jù)c?33.27和h?3.55得r?40.75米根據(jù)實際路面與汽車輪胎的狀況，可以測出摩擦系數(shù)?。實際測試得到?g?8.175米/秒2將此結(jié)果代入(5—