初中數(shù)學(xué) 文檔：“冪的運算”學(xué)習(xí)導(dǎo)航 市賽一等獎

“冪的運算”學(xué)習(xí)導(dǎo)航本文所要講解的冪的運算內(nèi)容包括同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法.它們都是是整式運算的基礎(chǔ)，由于冪的運算中的幾個法則容易混淆，學(xué)習(xí)和運用時一定要嚴(yán)格區(qū)分.為了方便同學(xué)們的學(xué)習(xí)和運用，現(xiàn)對這部分重點知識加以解讀.一、法則解讀1.同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.用字母可以表示為：am×an＝am+n（m、n都是正整數(shù)）.注意：在這個表達(dá)式中，等式的左邊是兩個冪底數(shù)相同，且是乘積的關(guān)系；而右邊是一個冪，與左邊相比，底數(shù)不變，只是指數(shù)是左邊的指數(shù)相加而得到.2.冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.用字母可以表示為：(am)n＝amn（m、n都是正整數(shù)）.這個法則的最大特點就是將原來的乘方運算降次為乘法運算，即底數(shù)不變，指數(shù)相乘.注意：冪的乘方一定要與同底數(shù)冪相乘的法則的區(qū)別，前者是指數(shù)相乘，而后者則是指數(shù)相加.3.積的乘方：先把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的結(jié)果相乘.用字母可以表示為：(a×b)n＝an×bn（n是正整數(shù)）.注意：要具體運算時，一定要將積中的每一個因式都要乘方，不能漏乘.4.同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.用字母可以表示為：am÷an＝am+n（a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m＞n）.可見這個法則成立的條件是：同底數(shù)冪相除，結(jié)論是：底數(shù)不變，指數(shù)相減.注意：和同底數(shù)冪的乘法類似，被除式和除式都是冪的形式且底數(shù)一定要相同，商也是一個冪，其底數(shù)與被除式和除式的底數(shù)相同，商中冪的指數(shù)是被除式的指數(shù)與除式的指數(shù)之差.5.零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：不等于零的數(shù)的零次冪等于1.即a0＝1(a≠0).不等于零的數(shù)的負(fù)整數(shù)次冪等于這個數(shù)的正整數(shù)次冪的倒數(shù).即a－p＝(a≠0，p是正整數(shù)).二、典型題析例1計算：[(x－2b)3×(x－2b)4]2÷(x－2b)15(a－2b≠0).分析考慮本題中的底數(shù)均為(x－2b)，所以將其看成一個整體，先對中括號內(nèi)實施同底數(shù)冪的乘法，后對中括號中進(jìn)行冪的乘方，再運用同底數(shù)冪的除法運算，最后運用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡.解[(x－2b)3×(x－2b)4]2÷(x－2b)15＝[(x－2b)3+4]2÷(x－2b)15＝(x－2b)7×2÷(x－2b)15＝(x－2b)14÷(x－2b)15＝(x－2b)14－15＝(x－2b)－1＝說明本題的第一步也可以先運用積的乘方進(jìn)行運算.例2已知：a＝355，b＝444，c＝533.則有（）＜b＜c＜b＜a＜a＜b＜c＜b分析由于a、b、c的指數(shù)都較大，即使用計算器也有一定的難度，故直接有乘方求解較繁，但仔細(xì)觀察分析知55、44、33都是11的倍數(shù)，這時可逆用冪的乘方的法則或許會有結(jié)果.解因為355＝35×11＝(35)11＝24311；444＝44×11＝(44)11＝25611；533＝53×11＝(53)11＝12511；而由乘方的意義可知，25611＞24311＞12511，所以444＞355＞533，即b＞a＞c，也即c＜a＜b.故應(yīng)選C.說明本題要不是逆用冪的乘方法則，還不知道要在運算的黑暗里摸索多久.三、鏈接中考例3（2008年重慶市中考試題）計算x3·x2的結(jié)果是（）5C分析題目是兩個同底數(shù)冪相乘的運算式子，只要運用同底數(shù)冪相乘的法則進(jìn)行運算.解x3·x2＝x3+2＝x5.故應(yīng)選B.說明本題只是單一地考查了同底數(shù)冪的乘法的法則.例4（2008年南京市中考試題）計算(ab2)3的結(jié)果是（） 6 分析由題目的結(jié)構(gòu)特征，直接運用積的乘方和冪的乘方法則求解.解(ab2)3＝a3(b2)3＝a3b6.故應(yīng)選D.說明本題中一個小小的題目，卻運用了兩個大法則，求解時一定注意法則的準(zhǔn)確運用.例5（2008年資陽市中考試題）下列運算正確的是（）A.(ab)5＝ab5 ÷a2＝a6 C.(a2)3＝a5 D.(a－b)2＝a2－b2分析利用冪的運算法則逐一篩選.解因為(ab)5＝a5b5，a8÷a2＝a6，(a2)3＝a6，(a－b)2≠a2－b2，所以只有B正確，故應(yīng)選B.說明對于(a－b)2＝a2－b2，雖然我們還沒有接觸到，但可以取特殊值代入加以驗證.例6（2008烏魯木齊中考試題）若a＞0且ax＝2，ay＝3，則ax－y的值為（）A.－1 B.1 C. D.分析由已知條件，要求ax－y的值，只有逆用同底數(shù)冪的除法法則，從ax－y尋求ax和ay.解因為ax＝2，ay＝3，所以ax－y＝ax÷ay＝2÷3＝.故應(yīng)選C.說明對于的四大運算法則的逆向運用在以后的整式乘除運算中會經(jīng)常遇到，請同學(xué)們注意演練.例7（2008年肇慶市中考試題）已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，觀察上面規(guī)律，試猜想22008的末位數(shù)是＿＿＿.分析要想直接計算22008的結(jié)果去尋求其末位數(shù)是多少，顯然是不切實際的，不如從已知條件提供的信息入手，去尋找規(guī)律，通過觀察可知，末位數(shù)是呈周期性循環(huán)的，由此可獲解.解因為21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，而22008＝2502×4，所以22008的末位數(shù)與24的末位數(shù)相同，即22008的末位數(shù)是6.說明利用冪的運算法則去探索有關(guān)數(shù)的末位數(shù)時，一定要從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般不可強求.四、疑點點撥1.注意四個法則中的指數(shù)都是正整數(shù)，底數(shù)均不能為0，在具體運用法則進(jìn)行運算時，除了要注意“