信號(hào)與系統(tǒng)課件版第四章

第4 典型信號(hào)的 第4章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析傅里葉變換分析法在信號(hào)分析和處理等方面（如分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、抽樣、濾波等）是十分有效的。但在應(yīng)用這一方法時(shí)，信號(hào)f(t)必須滿足狄里赫勒條件。而實(shí)際中會(huì)遇到許多信號(hào)，例如階躍信號(hào)(t)、斜坡信號(hào)t(t)、單邊正弦信號(hào)sint(t)等，它們并不滿足絕對(duì)可積條件，從而不能直接從定義而導(dǎo)出它們的傅里葉變換。雖然通過求極限的方法可以求得它們的傅里葉變換，但其還有一些信號(hào)，如單邊指數(shù)信號(hào)et(t) (>0)，則根本不存在傅里葉變換，因此，傅里葉變換的運(yùn)用便受到一定的限制，其次，求取傅里葉反變換有時(shí)也是比較 的，此處尤其要 的是傅里葉變換分析法只能確定零狀態(tài)響應(yīng)，這對(duì)具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)確定其響應(yīng)也是十分不便的。因此，有必要尋求更有效而簡(jiǎn)便的方法，人們將傅里葉變換 斯變換（LT:La ceTransform）。本章首先從傅里葉變換導(dǎo)出拉斯變換，對(duì)拉斯變換給出一定的物理解釋；然后討論拉斯正、反變換以及拉斯變換的一些基本性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)，著重討論線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法；應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)來1.拉1.從傅里葉變換到拉斯變換t-時(shí)，f(t)不趨于零。如果用一個(gè)實(shí)指數(shù)函數(shù)e-t去乘f(t)，只要的數(shù)值選擇得適當(dāng)，就可以克服這個(gè) 。例f(t)

tt式中a、b都是正實(shí)數(shù)，且a>b。只要選擇a>>b，就能tt－時(shí)，f(t)e-t均趨于零。通常把e-t稱為收斂因子。f(t)乘以收斂因子e-t后的信號(hào)f(t)e-的傅F[f(t

]

它是j 記 F(s)

f(t)est

f(t)et

1

F(s)ejt

F(s)f(t

1

f(t)estFsestd

（4.1-（4.1-式（4.1-5）稱為f(t的雙邊拉斯變換(bilalLaceTransform)，稱F(s）是f(t)的象函數(shù)。而式(4.1-6)是F（s）的雙邊拉斯反變換，稱f(t)是F(s)的原函數(shù)。式（4.1-5）和（4.1-6）稱為雙邊 斯變換對(duì)，可以雙箭頭表示f(t)與F(s)記F(s[f(t)],f(t)[F(s)]f(t)F從上述由傅氏變換導(dǎo)出雙邊拉斯變換的過程中可以看出，f(t)的雙邊拉斯變換F(s)=F(是把f(t)乘以et進(jìn)行的傅里葉變換，或者說F(s)是f(t)的廣義傅里葉變換。而f(t)e-t較容易滿足絕對(duì)可積的條件，這就意味著許多原來不存在傅里葉變換的信號(hào)都存在廣義傅里葉變換，即雙邊拉普 拉斯變換與傅里葉變換的基本區(qū)別在于：傅里葉變換是將時(shí)間域函數(shù)ft)變換為頻率域函數(shù)F()，或作相反的變換，此處時(shí)域變量t都是實(shí)數(shù)；而拉斯變換則是將時(shí)間域函數(shù)f(t)變換為復(fù)頻域函數(shù)F(s)，或作相反的變換，這里時(shí)域變量t是實(shí)數(shù)，復(fù)頻變量s是復(fù)數(shù)。概括地說，傅里葉變換建立了時(shí)域和頻域(域)間的聯(lián)系，而拉 則建立了時(shí)域和復(fù)頻域（S域） 從以上討論可知，當(dāng)信號(hào)f(t)乘以收斂因子e-t后，就有可能滿足絕對(duì)可積的條件。然而，是否一定滿足，還要看f(t)的性質(zhì)與值的相對(duì)關(guān)系而定。也就是說，對(duì)于某一函數(shù)f(t)，通常并不是在所有的值上都能使式(4.1-5)的積分收斂，即并不是對(duì)所有的值而言，函數(shù)f(t)都存在拉 變換，而只是在值的一定范圍內(nèi)，f(t)才存在拉 變換。通常把使f(t)e-t滿足絕對(duì)可積條件的值的范圍稱 斯變換的收斂域(ROC:regionofconvergence)。 雙邊 全不同的時(shí)間函數(shù)。因此，雙邊拉斯變換必須標(biāo)明收（單邊） 斯變考慮到實(shí)際中遇到的信號(hào)都是有始（因果）信號(hào)，即t< f(t)=00

的部分。在這兩種情況下，式（4.1-5） F(s)

f

（4.1-上式稱為f(t)的單邊拉普拉斯變換（ l Transform）￡[f(t)] f(t) Fsestds 記為￡-1[F(s)]

t> (4.1-F(s)￡[f(t 和f(t)=￡–1[F(s式（4.1-8）中積分下限用0－而不用0＋，目的是可把t=0－時(shí)出現(xiàn)的沖激考慮到變換中去，當(dāng)利用單邊拉 由于在分析因果系統(tǒng)，特別是具有非零初始條件的線性常系數(shù)微分方程時(shí)，單邊拉斯變換具有重要價(jià)值，所以，我們?cè)谙挛闹杏懻摰睦棺儞Q（簡(jiǎn)稱拉氏變換）都是指單邊拉斯變換。如果因果信號(hào)f(t)滿足：（1）在有限區(qū)間a<t<b（0a<b<）可積；（2）對(duì)于某個(gè)0limf(t)et

(

（4.1-t 則對(duì)于Re[s]=>0， 斯變換積分式（4.1-8）絕且一致收斂。即f(t)存在 0為最低限度的值，稱為收斂坐標(biāo)(abscissaofconvergence)，它的取值與函數(shù)f(t)的性質(zhì)有關(guān)。經(jīng)過0的 的收斂域是由Re[s]=>0的半平面組成，因此其收斂域都位于收斂軸的右邊。凡滿足式(4.1-10)的函數(shù)f(t)稱為“指數(shù)階函數(shù)”，意思是可借助于指數(shù)函數(shù)的衰減作用將函數(shù)f(t)可由于(單邊)拉氏變換的收斂域是由Re(s)>0 典型信號(hào)的 斯變下面給出一些典型信號(hào)的拉氏變換。因?yàn)閒t)與ft)(t的

s

s

0s 0

cost(t) 0 s 0

0(s)2 0 s

(s)20(t)t的正冪信號(hào)tn，（n為正整數(shù)

sn1單邊雙曲正弦函數(shù)sh和余弦函數(shù)sinht(t)

s

s 斯變換的性在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常不是利用定義式計(jì)算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質(zhì)。這些性質(zhì)與傅里葉變換性質(zhì)極為相似，在某些性質(zhì)中，只要把傅氏變換論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。有些性拉氏變換還有一些其它性質(zhì)，如時(shí)域卷積和復(fù)頻域卷積等，它們與傅氏變換的性質(zhì)類似，不再重復(fù)。表4-2列出了常用 斯反變從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的過程稱為 簡(jiǎn)單的 斯反變換只要應(yīng)用表4-1以及上節(jié)討論的拉求取復(fù)雜拉氏變換式的反變換通常有兩種方法：部分分式展開法和圍線積分法。前者是將復(fù)雜變換式分解為許多簡(jiǎn)單變換式之和，然后分別查表即可求得原信號(hào)，它適合于常見的拉氏變換式是s的多項(xiàng)式之比（有理函數(shù)），一般形

F(s)NF(s)N(s)D(s)式中N(s)和D(s)分別為F(s)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式。ai(i=0,1,…,n),bj(j=0,1,…,mF(s)N(s)D(s)

（4.4-2D(s0D(s)an(ss1)(ss2)(ssnF(s)

s s sD(s)=0D(s)an(ss1)(ss2)(ssn2)(s2bsD1(s)(s

bscF(s)

N(s) k1sk N1(s2D(s bs D1(s2k1sk其 s

bs

D(s)=0n若Ds)0只有一n

p則Ds)可寫D(s)a

(s

)p(s

p

)(s F(s)

斯反變換式

1f(t Fsestd1f(t)Res[F(s)est

s

t 斯變換與傅里葉變換的關(guān) 就是傅氏變換。對(duì)于有始信號(hào)，即t<0時(shí)，f(t)=0，則f(t)的拉氏變換即為單邊拉氏變換。因而，單邊拉氏變換與傅氏變換之間必有聯(lián)系。本節(jié)討論有始信號(hào)的傅氏變換與拉氏變換之關(guān)系，及由拉氏變換求取傅氏變換的方法。根據(jù)收斂坐1．0>2．0<s=j, =a2y(t)a1y(t)a0y(t)b1x(t)b0x(t對(duì)上式兩邊取拉氏變換，并假定為有始函數(shù)，即t<0x(t)=0，因而，x(0-)=x’(0-)=0a[s2Y(s)sy(0)y(0)]a[sY(s)y(0)]aY b1sX(s)b0X(s)并且自動(dòng)地引入初始狀態(tài)，這樣十分便于直接求出全響應(yīng)。全響應(yīng)的象函數(shù)為bs asy(0)ay(0)ay(0Y(s) X(s)2 a2s2a1sa0Yzs(s)Yzi(s)

a2s2a1s上式表明響應(yīng)由兩部分組成。一部分是由激勵(lì)產(chǎn)生的零狀y(i)(0)y(t)的i階導(dǎo)數(shù)的初始狀態(tài)H(s)YzsX對(duì)Y(s)y(t)L1[Y(s)]L1

(s)]L1

(s)]

(t)

(t電路中直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程，然后求解復(fù)頻域響應(yīng)并進(jìn)行拉氏反變換。下面先介紹電路元件的復(fù)頻域模R(t)RiRVR(s)RIR(s （4.6-由式（4.6-9）可得到電阻元件的復(fù)頻域模型如圖4.6-1iR IR vR

+VR tt (t)

(0 (s) (s)1 (0

（4.6-I(s)scV(s)cv(0

（4.6-+-1v(0

Ic +-Ic(s)scs+-c+v(s)c

(t)

di

(t將上式兩邊取拉氏變換， VL(s)sLIL(s)LiL(0 i(0

（4.6- IL(s)

VL(s)

（4.6-上式表明，一個(gè)具有初始電流的電感元件，其復(fù)頻域模型為一個(gè)復(fù)頻感抗與一個(gè)大小為的電壓源相串聯(lián)，或者是與一個(gè)-+IL(s)-+

LiL(0

IL si(0

VL 把電路中每個(gè)元件都用它的復(fù)頻域模型來代替，將信號(hào)源及各分析變量用其拉氏變換式代替，就可由時(shí)域電路模型得到復(fù)頻域電路模型。在復(fù)頻域電路中，電壓V(s)與電流I(s)的關(guān)系是代數(shù)關(guān)系，可以應(yīng)用與電阻電路一樣的分系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)與零換與激勵(lì)的拉氏變換之比。式（4.6-1）表示的線性時(shí)不變 H(s)

bm

bm1

m

sb

（4.7-n sn

an

sn

as可見，已知系統(tǒng)時(shí)域描述的微分方程就很容易直接寫出系系統(tǒng)函數(shù)僅決定于系統(tǒng)本身的特性，與系統(tǒng)的激勵(lì)無關(guān)， YZS(s)=H(s)(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為h(t)￡[h(t)]=H(s)￡[(t)]h(t) H(s

(4.7-即系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)拉氏變換。h(t)與H(s)分別從時(shí)域和復(fù)頻域兩個(gè)方面表征了同一系統(tǒng)的特性。在時(shí)域、頻域和復(fù)頻域，系統(tǒng)的輸入和零狀態(tài)輸出的關(guān)系由頻域x(t)es1t(t) yzs(t)

e

h(

)e

e

H(s1

（4.7-零狀態(tài)響應(yīng)也是全響應(yīng)仍為相同復(fù)頻率的指數(shù)信號(hào)，但被加權(quán)了H(s)?；蛘哒f，只要將激勵(lì)乘以系統(tǒng)函數(shù)H(s)便可求得響應(yīng)（條件是：s位于H(s)的收斂域內(nèi)，即位于H(s)的最右極 jx(t) X(s)estd2jj (t) X(s)H(s)estd2jj即 yZS

(t)

estd

（4.7-綜上所述，系統(tǒng)函數(shù)可以由零狀態(tài)條件下從系統(tǒng)的微分方程經(jīng)過拉氏變換求得，或從系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求拉氏變換而得到。對(duì)于具體的電路，系統(tǒng)函數(shù)還可以用零狀態(tài)下的復(fù)在工程分析中，人們較喜歡采用方框圖的表示形式，因此系統(tǒng)可以用框圖表示。一個(gè)大系統(tǒng)可以由許多子系統(tǒng)作適當(dāng)聯(lián)接組成，當(dāng)各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知時(shí)，可通過框圖H2H(s)H1(s)H2(sH2

（4.7-H1H1如圖4.7-4所示。圖中表示加法器或稱“和點(diǎn)”，在X(s)后面的（4.7-H(s)H1(s)H2

（4.7-6H2H2其中H1(s)稱為正向通路的系統(tǒng)函數(shù)，H2(s)稱為反饋通路的系“－”H(s)Y(s)

H1(sX(s 1H1(s)H2(s

（4.7-

H2H2

由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)的零H(s)N(s)D(s)

(szjmjm (spkk

當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的全部零點(diǎn)、極點(diǎn)及確定后，這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)也就可以完全確定。由于H0只是一個(gè)比例常數(shù)，對(duì)的函數(shù)形的零點(diǎn)和極點(diǎn)表示。把系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)繪在S平面上

”表示。若為n重零點(diǎn)或極點(diǎn)，則注以(n)一個(gè)實(shí)際電系統(tǒng)的參數(shù)（如RLC等）必為實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式系數(shù)bj(j=0,1,…,m)和ai i=0,1,…,n)必均為實(shí)數(shù)，因而實(shí)際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復(fù)借助系統(tǒng)函數(shù)在S平面的零、極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律，以統(tǒng)一的觀點(diǎn)闡明系統(tǒng)諸方面的性能。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來。從的零、極點(diǎn)的分布不僅可以揭示系統(tǒng)的時(shí)域特性的規(guī)律，而且還可用來闡明系統(tǒng)的頻率響系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)拉氏變換，因此根據(jù)1若的極點(diǎn)位于S平面的原點(diǎn)，如，則h(t(t)如，則h(t)=et(t)，沖激響應(yīng)的模式為增長指數(shù)函數(shù)；若的極點(diǎn)位于S平面的負(fù)實(shí)軸上，如，則h(t)=e-t(t)，沖激現(xiàn)）H(s)

s20，則h(t)0

（4）若的共軛極點(diǎn)位于S如，如H(s) (s)22則h(t)et Y(s)Yzs(s)Yzi(sH(s)X(s)Yzi(s)(1).yzs X(s)的極點(diǎn)確定零狀態(tài)響應(yīng)中強(qiáng)制響應(yīng)

yzi

故零輸入響應(yīng)（自然響應(yīng)）的模式由D(s)=的根確定，它的幅度和相位則與初始狀態(tài)有關(guān)。這里D(0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根或系統(tǒng)的固有頻率。可以說，零輸入響應(yīng)的模式由系統(tǒng)的固有頻率確定。如果H(s)沒有零、極點(diǎn)相消，則特征方程D(s)=0的根也就是H(s)的極點(diǎn)，則零輸入響應(yīng)的模式由H(s)的極點(diǎn)確定。但是，當(dāng)H(s)的零極點(diǎn)相消時(shí)，系統(tǒng)的某些固有頻率在H(s)的極點(diǎn)中將不再出現(xiàn)，這時(shí)零輸入響應(yīng)的模式不再由H(s)的極點(diǎn)確定，但H(s)的零極點(diǎn)是否相消，并不影響零狀態(tài)響應(yīng)的模式。這一現(xiàn)象說明，系統(tǒng)函數(shù)一般只用于研究系統(tǒng)H()的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的完全響應(yīng)()也可以分為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。隨間t的增大而衰減為零的部分為暫態(tài)響應(yīng)，其余部分為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。暫態(tài)響應(yīng)與H(s)和X(s)都有關(guān)系。當(dāng)H(s)和X(s)的極點(diǎn)在S域左半平面暫態(tài)響應(yīng)等于自然響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)之穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于。若X(s)的極點(diǎn)實(shí)部大于或等于零，即[] ；或者極點(diǎn)在原H(s)[]<此情況自然響應(yīng)就暫態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)制響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響4.8.3由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系=j）也收斂，令sj，也就是在S平面中令s則H(s)|sjH(j)或?qū)懽鱄()在式（4.8-1）系統(tǒng)函數(shù)H(s)的表達(dá)式中，令s=jm(jzjmH

jn(jpkk

可以看出，頻響特性取決于系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布。即取決于pk的位置，H0是系數(shù)，對(duì)頻響特性無關(guān)緊要。式（4.8-6）分母中任一極點(diǎn)因子（j-pk）相當(dāng)于由極點(diǎn)p引向虛軸上某點(diǎn)j一個(gè)矢量，稱為極點(diǎn)矢量；分子中任一零點(diǎn)因子（j-j）當(dāng)于由零點(diǎn)z引向虛軸上某點(diǎn)j的一個(gè)矢量，稱為零點(diǎn)矢量。圖.5畫出了由零點(diǎn)j和極點(diǎn)pk與虛軸上某點(diǎn)j聯(lián)接構(gòu)成的零點(diǎn)矢量j - zj極點(diǎn)矢量-k。圖中Mk分別表示零點(diǎn)矢和極點(diǎn)量的模，mj-zj=mj-pk=

N

（4.8-

H

H

j n

Mkk1

（4.8-() j k

（4.8-當(dāng)自原點(diǎn)沿虛軸運(yùn)動(dòng)并趨于無窮大時(shí)，各零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性和相頻特性討論可知，如果系統(tǒng)函數(shù)的某一極點(diǎn)十分靠近虛軸時(shí)，則當(dāng)角頻率在該極點(diǎn)虛部附近處時(shí)，幅頻特性有一峰值，相頻特劇減小。類似地，如果系統(tǒng)函數(shù)有一零點(diǎn)十分靠近虛軸時(shí)，則當(dāng)角頻率在該零點(diǎn)虛部附近處時(shí)，幅頻特性有一谷值，相頻特劇增大。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定系統(tǒng)。如果對(duì)于有界的激勵(lì)產(chǎn)生無限增大的響應(yīng)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身特性的反映，系統(tǒng)是否穩(wěn)設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的輸入信號(hào)x(t)為有界，即，|x(t)|Mx,y(t)h(t)x(t)h()x(t欲使y(t)為有界輸出，即|y(t)|，則式(4.9-1)也就是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t) (4.9-對(duì)于因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，當(dāng)t<0時(shí)，h(t)=0,式(4.9-2) 0

(4.9-系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)和系統(tǒng)函數(shù)H(s)即通過研究H(s)在S平面中極點(diǎn)分布的位置，可很方便地給出有從4.8.2節(jié)中有關(guān)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式關(guān)系若H(s)的全部極點(diǎn)均位于S左半平面（不包括虛軸），則在 ，系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)若在H(s)的極點(diǎn)中，只要有一個(gè)位于S（包括原點(diǎn)）上具有二重以上極點(diǎn)，則在t時(shí)，h(t)若在H(s)的極點(diǎn)中，除了位于S左半平面外，還有一階極點(diǎn)位因此，