高考數(shù)學(xué)5年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題專題6.2 數(shù)列（解答題）（解析版）

專題6.2數(shù)列（解答題）A組5年高考真題1．（2020全國Ⅲ理17）設(shè)等差數(shù)列滿足．（1）計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【思路導(dǎo)引】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）由錯(cuò)位相減法求解即可．【解析】（1）由，，，，…猜想的通項(xiàng)公式為．證明如下：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，顯然成立；（1）假設(shè)時(shí)，即成立；其中，由（2）故假設(shè)成立，綜上（1）（2），∴（2）解法一：令，則前項(xiàng)和（1）由（1）兩邊同乘以2得：（2）由（1）（2）的，化簡得．解法二：由（1）可知，，①，②由①②得：，即．2．（2016?新課標(biāo)Ⅲ，理17）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中．（1）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若，求．【解析】（1），．．當(dāng)時(shí)，，即，，．．即，即，，是等比數(shù)列，公比，當(dāng)時(shí)，，即，．（2）若，則若，即，則，得．3．（2014新課標(biāo)Ⅰ，理17）已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，=1，，，其中為常數(shù)．(Ⅰ)證明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}為等差數(shù)列？并說明理由．【解析】(Ⅰ)由題設(shè)，，兩式相減，由于，所以…………6分（Ⅱ）由題設(shè)=1，，可得，由(Ⅰ)知假設(shè){}為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，∴，解得；證明時(shí)，{}為等差數(shù)列：由知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列令則，∴數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列令則，∴∴（），因此，存在存在，使得{}為等差數(shù)列．4．（2018?新課標(biāo)Ⅲ，理文17）等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【解析】（1）等比數(shù)列中，，．，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的通項(xiàng)公式為，，或．（2）記為的前項(xiàng)和．當(dāng)，時(shí)，，由，得，，無解；當(dāng)，時(shí)，，由，得，，解得．5．（2014新課標(biāo)Ⅱ，理17）已知數(shù)列滿足=1，．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：．【解析】（Ⅰ）∵，∴，即：又，∴是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．∴，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∴故：6．（2019?新課標(biāo)Ⅱ，理19）已知數(shù)列和滿足，，，．（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求和的通項(xiàng)公式．【解析】（1）證明：，；，；即，；又，，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得：，；，．7．（2016?新課標(biāo)Ⅱ，理17）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）求數(shù)列的前1000項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，．可得，則公差．，，則，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，．，．?dāng)?shù)列的前1000項(xiàng)和為：．8．（2011新課標(biāo)，理17）等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為整數(shù)，且=1，=，（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)=，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{}的公比為，由=得=，所以=，由條件可知＞0，故=．由=1得=1，所以=，故數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為=．（Ⅱ）===故==，==所以數(shù)列{}的前項(xiàng)和為．B組能力提升9．（2020屆四川省成都市高三第二次診斷）已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意及，知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列，，，即，解得或（舍去），.數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（Ⅱ），.10．（2020屆陜西省西安中學(xué)高三第一次模擬）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且n、、成等差數(shù)列，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列，求的值.【答案】（1）證明見解析，；（2）11202.【解析】（1）證明：因?yàn)閚，，成等差數(shù)列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）根據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.又因?yàn)?，，，，，，，，，，，所?11．（2020屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)高三一模）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．12．（2020屆湖南省岳陽市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測）等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．【答案】（1），；（2）.【解析】(1)依題意得:，所以，所以解得設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以又(2)由（1）知，因?yàn)棰佼?dāng)時(shí),②由①②得，，即，又當(dāng)時(shí)，不滿足上式，.數(shù)列的前2020項(xiàng)的和設(shè)③，則④，由③④得：，所以，所以.13．（2020屆湖北省黃岡中學(xué)高三高考模擬