理論力學(xué)教程第九章

理論力學(xué)教程第九章第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日引言一、動力學(xué)的任務(wù)：研究物體的機械運動與作用力之間的關(guān)系二、力學(xué)模型：1.質(zhì)點：

具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星質(zhì)點；剛體作平動時,剛體質(zhì)點。第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日2.質(zhì)點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質(zhì)點組成的

系統(tǒng)。

剛體:-----是一個特殊的質(zhì)點系，由無數(shù)個相互間保持距離不變的質(zhì)點組成。又稱為不變質(zhì)點系。自由質(zhì)點系：-----質(zhì)點系中各質(zhì)點的運動不受約束的限制。

非自由質(zhì)點系：-----質(zhì)點系中的質(zhì)點的運動受到約束的限制。

質(zhì)點系是力學(xué)中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日三、動力學(xué)分類:質(zhì)點動力學(xué)質(zhì)點系動力學(xué)質(zhì)點動力學(xué)是質(zhì)點系動力學(xué)的基礎(chǔ)。四、.動力學(xué)的基本問題：大體上可分為兩類：

第一類：已知物體的運動情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。

綜合性問題：已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。已知主動力，求運動，再由運動求約束反力。第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第三篇《動力學(xué)》第九章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程第十章動量定理第十一章動量矩定理第十二章動能定理第十三章達朗貝爾原理第十四章虛位移原理★第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第九章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程§9-1動力學(xué)的基本定律§9-2質(zhì)點的運動微分方程§9-3質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日一、牛頓定律：

第一定律不受力作用的任何質(zhì)點，將永遠保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài)。該定律表明：任何物體都具有慣性，而力是改變物體運動狀態(tài)的原因。通常亦稱作慣性定律。

第二定律質(zhì)點受力作用時將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與作用力方向相同，其大小則與力的大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比。該定律表明：質(zhì)量是質(zhì)點慣性大小的度量；物體機械運動狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體上的力，同時也與物體的慣性有關(guān)。它定量地描述了質(zhì)點運動狀態(tài)的改變與作用力之間的關(guān)系。第一定律可視為第二定律的特殊情況。

第二定律重力力的單位:牛[頓],§9-1動力學(xué)的基本定律第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日由于上式是推導(dǎo)其它動力學(xué)方程的出發(fā)點，所以通常稱上式為動力學(xué)基本方程。當質(zhì)點同時受幾個力的作用時上式中的應(yīng)理解為這些力的合力。該定律表明：

1、力與加速度的關(guān)系是瞬時關(guān)系，即力在某瞬時對質(zhì)點運動狀態(tài)的改變是通過該瞬時確定的加速度表現(xiàn)的。作用力并不直接決定質(zhì)點的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。

2、若相等的兩個力作用在質(zhì)量不同的兩個質(zhì)點上，則質(zhì)量越大，加速度越??；質(zhì)量越小，加速度越大。第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

這說明：質(zhì)量越大，保持其原來運動狀態(tài)的能力越強，即質(zhì)量越大，慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性大小的度量。在重力場中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用表示。由第二定律有式中是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，是重力加速度的大小。通常取。

必須指出的是：質(zhì)點受力與坐標無關(guān)，但質(zhì)點的加速度與坐標的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日二、慣性參考系牛頓定律僅適用于慣性參考系，所以，在應(yīng)用牛頓定律時，可以選擇日心參考系、地心參考系和地球參考系（地面參考系）為慣性參考系，具體選用哪一種，需要根據(jù)研究對象、問題的特點、實際要求的精度來確定。

三、單位制國際單位制(SI)。長度、質(zhì)量、時間為基本量，對應(yīng)的基本單位是米(m)、千克(kg)、秒(s)，力是導(dǎo)出量，力的導(dǎo)出單位是牛頓(N)。1N=1kg·1m/s2=1kg·m/s2工程單位制(EU)。長度、力、時間為基本量，對應(yīng)的基本單位是米(m)、千克力(kgf)、秒(s)。

第三定律任何兩個質(zhì)點間的相互作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且分別作用在這兩個質(zhì)點上。該定律也稱為作用與反作用定律。該定律表明：兩物體間相互作用力的關(guān)系；它不僅對物體處于平衡狀態(tài)時適用，對物體作任何運動也適用；該定律是研究解決質(zhì)點系動力學(xué)問題的依據(jù)。第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日四、量綱在國際單位制中，長度、質(zhì)量、時間是基本量，它們的量綱分別用[L]、[M]、[T]表示。加速度、力是導(dǎo)出量，它們的量綱分別是[a]＝[L][T]-2、[F]＝[M][L][T]-2。任何一個力學(xué)方程，它的等號兩側(cè)的量綱應(yīng)該是相同的。這一結(jié)論，常用來校核力學(xué)方程正確與否，在科學(xué)計算中非常重要。在我國，重力加速度一般選取g=9.80m/s2。在工程單位制和國際單位制中，力的換算關(guān)系為1kgf=9.80kg·m/s2即1kgf=9.80N第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

將質(zhì)點動力學(xué)基本方程表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點的運動微分方程。

二、直角坐標形式§9-2質(zhì)點的運動微分方程)((

trr

為質(zhì)點矢徑形式的運動方程）式中=

一、矢徑形式的質(zhì)點運動微分方程

由動力學(xué)基本方程：由運動學(xué)可知：于是可得：或

)

tzztyytxx

運動方程為質(zhì)點直角坐標形式的式中???íì===)()()((Zdtydm?=22Ydtydm?=22Xdtxdm?=22第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

三、自然形式

質(zhì)點運動微分方程除以上三種基本形式外,還可有極坐標形式,柱坐標形式等等。應(yīng)用質(zhì)點運動微分方程，可以求解質(zhì)點動力學(xué)的兩類問題。第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日§9-3質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題第一類問題：已知運動求力，求作用在質(zhì)點上的力。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。第二類問題：已知力求運動，求質(zhì)點的運動。這類問題其實質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題。混合問題：第一類與第二類問題的混合。第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

設(shè)電梯以不變的加速度a

上升,求放在電梯地板上重W的物塊M

對地板的壓力。解:

將物體

M

看成為自由質(zhì)點,它受重力

W

和地板約束力

FN

的作用。ma=FN

W注意到m=W/g,則由上式解得M給地板的壓力F'N與地板約束力FN等值而反向。MaMFNWx例題

第一類問題：已知運動求力.第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日上式第一部分稱為靜壓力，第二部分稱為附加動壓力，F(xiàn)'N稱為動壓力。令則n＞1,動壓力大于靜力，這種現(xiàn)象稱為超重。n＜1,

動壓力小于靜力，這種現(xiàn)象稱為失重。MaMFNWx例題

第一類問題：已知運動求力.第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第一類問題解題步驟和要點：

①正確選擇研究對象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點）。

②正確進行受力分析,畫出受力圖(應(yīng)在一般位置上進行分析)。

③正確進行運動分析（分析質(zhì)點運動的特征量）。

④選擇并列出適當形式的質(zhì)點運動微分方程（建立坐標系）。

⑤求解未知量。第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

單擺

M

的擺錘重

W

,繩長

l

,懸于固定點

O

,繩的質(zhì)量不計。設(shè)開始時繩與鉛垂線成偏角0

≤

/2

,并被無初速釋放，求繩中拉力的最大值。例題2OMM0φφ0例題第一類問題：已知運動求力.第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日解:采用自然形式的運動微分方程。

任意瞬時，質(zhì)點的加速度在切向和法向的投影為寫出質(zhì)點的自然形式的運動微分方程

考慮到則式(1)化成OMM0φφ0enetanatOMM0φφ0FWanat例題

第一類問題：已知運動求力.第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日對上式采用定積分,把初條件作為積分下限從而得F=W(3cos2cos0)顯然,當質(zhì)點M到達最低位置=0時,有最大值。故

Fmax=W(32cos0)把式(4)代入式

，有例題

第一類問題：已知運動求力.第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日例題3

小球質(zhì)量為m，懸掛于長為l的細繩上，繩重不計。小球在鉛垂面內(nèi)擺動時，在最低處的速度為v；擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為φ，如圖所示，此時小球速度為零。試分別計算小球在最低和最高位置時繩的拉力。Oφvv=0例題

第一類問題：已知運動求力.第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

小球作圓周運動，受有重力W=mg和繩拉力F1。在最低處有法向加速度，由質(zhì)點運動微分方程沿法向的投影式，有則繩拉力

小球在最高處φ角時，速度為零，法向加速度為零，則其運動微分方程沿法向投影式為則繩拉力解:Oφvv=0mgmgF1F2例題

第一類問題：已知運動求力.第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

曲柄連桿機構(gòu)如圖所示。曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，OA=r，AB=l，當λ=r/l比較小時，以O(shè)為坐標原點，滑塊B的運動方程可近似寫為如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當和時，連桿AB所受的力。xyOABφβω例題4例題

第一類問題：已知運動求力.第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

以滑塊B為研究對象，當φ=ωt

時，受力如圖。連桿應(yīng)受平衡力系作用，由于不計連桿質(zhì)量，AB

為二力桿，它對滑塊B的拉力F沿AB方向。由題設(shè)的運動方程，可以求得

當時，且，得AB桿受的拉力xBmgFNFβ解：寫出滑塊沿x軸的運動微分方程xyOABφβω例題

第一類問題：已知運動求力.第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日得

時，而，AB桿受壓力。xBmgFNFβ則有xyOABφβω例題

第一類問題：已知運動求力.第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

質(zhì)量是

m

的物體

M

在均勻重力場中沿鉛直線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力FR

與速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系數(shù)

c

單位取kg·m－1

，數(shù)值由試驗測定，試求物體的運動規(guī)律。例題5xxFRmgvM例題

第二類問題：已知力求運動.1、力是速度函數(shù)的情形第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日解：

取坐標軸Ox鉛直向下，原點在物體的初始位置。寫出物體

M的運動微分方程。以

m除式(1)兩端,并代入

v0

的值,得xxFRmgv當時，加速度為零。這個v1就是物體的極限速度。M例題

第二類問題：已知力求運動.第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日分離變量,并取定積分,有由上式求解v，得于是物體速度隨時間而變化的規(guī)律為th是雙曲正切。例題

第二類問題：已知力求運動.第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日于是求得物體的運動方程為為了求出物體的運動規(guī)律，只需把(3)再積分一次，有例題

第二類問題：已知力求運動.第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日第二類問題解題步驟如下：①正確選擇研究對象。②正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進行分析，對變力建立力的表達式）。③正確進行運動分析。

除應(yīng)分析質(zhì)點的運動特征外，還要確定出其運動初始條件。第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日選擇并列出適當?shù)馁|(zhì)點運動微分方程。

如力是常量或是時間及速度函數(shù)時，可直接分離變量。

求解未知量。應(yīng)根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質(zhì)點的運動。如力是位置的函數(shù)，需進行變量置換第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

質(zhì)量為m的小球以水平速度v0

射入靜水之中，如圖所示。如水對小球的阻力F與小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c為阻力系數(shù)。忽略水對小球的浮力，試分析小球在重力和阻力作用下的運動。xyxmaxv0vFmgOM例題6例題

第二類問題：已知力求運動.1、力是速度函數(shù)的情形第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

小球在任意位置M處，受力有重力mg和阻力F=

–cvxi–cvyj。為求vx，vy將上兩式分離變量，得解：小球沿x，y軸的運動微分方程為xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運動.第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日上兩式的不定積分為按題意，t=0時，vx=v0，vy=0

。代入上兩式求得兩個定分積常數(shù)將C1值代入式改寫為可得xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運動.第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日整理為或可得將D1值代入式可得可得

xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運動.第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日取初始位置為坐標原點，即t=0時，x=y=0

。代入上兩式，求得常數(shù)再積分得xyxmaxv0vFmgOM例題6例題

第二類問題：已知力求運動.第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日則質(zhì)點的運動方程為

如忽略介質(zhì)阻力，應(yīng)有μ=0。當μ→0時，質(zhì)點的運動方程為xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運動.第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日例題7

質(zhì)量為m的質(zhì)點帶有電荷e，以速度v0進入強度按E=Acoskt變化的均勻電場中，初速度方向與電場強度垂直，如圖所示。質(zhì)點在電場中受力F=-eE作用。已知常數(shù)A，k，忽略質(zhì)點的重力，試求質(zhì)點的運動軌跡。交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E例題

第二類問題：已知力求運動.2、力是時間函數(shù)的情形第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

取質(zhì)點的初始位置O為坐標原點，取x，y軸如圖所示，而z軸與x

，y軸垂直。于是力在三軸上投影為Fx=Fz=0

因為力和初速度在z軸上的投影均等于零，質(zhì)心的軌跡必定在Oxy平面內(nèi)。寫出質(zhì)心運動微分方程在x軸和y軸上的投影式解：交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E例題

第二類問題：已知力求運動.第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日得按題意，時，以此為下限，式和交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E的定積分分別為例題

第二類問題：已知力求運動.第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日從以上兩式中消去時間t，得軌跡方程軌跡為余弦曲線，如圖所示。對以上兩式分離變量，并以t=0時，x=y=0為下限，做定積分交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E得質(zhì)點運動方程例題

第二類問題：已知力求運動.第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

物塊在光滑水平面上與彈簧相連，如圖所示。物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長變形量為a時，釋放物塊。求物塊的運動規(guī)律。mOxFx例題8例題

第二類問題：已知力求運動.3、力是坐標函數(shù)的情形第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日或上式化為自由振動微分方程的標準形式解：

以彈簧未變形處為坐標原點O，物塊在任意坐標x處彈簧變形量為│x│

，彈簧力大小為，并指向點O，如圖所示。則此物塊沿x軸的運動微分方程為令mOxFx例題

第二類問題：已知力求運動.第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日此微分方程的解可寫為由此解出mOxFx其中A，θ為任意常數(shù)，應(yīng)由運動的初始條件決定。由題意，取x=a處的時間為t=0，且此時有。代入上式，有例題11-8例題

第二類問題：已知力求運動.第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

代入則此物塊的運動方程為可見此物塊做簡諧振動，振動中心為O，振幅為a，周期。稱為圓頻率，應(yīng)由其標準形式的運動微分方程直接確定。將mOxFx例題

第二類問題：已知力求運動.第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

一圓錐擺，如圖所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上，繩的一端系在固定點O，并與鉛直線成θ=60o

角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力F的大小。Olθ例題9例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日Olθ

以小球為研究的質(zhì)點，作用于質(zhì)點的力有重力mg和繩的拉力F。因，于是解得繩的張力與拉力F的大小相等。enetebmgF解：

選取在自然軸上投影的運動微分方程，得例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

粉碎機滾筒半徑為R，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在θ=θ0

時（如圖）才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。θ0n例題10例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日θ

視鐵球為質(zhì)點。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧上向運動，當鐵球到達某一高度時，會脫離筒壁而沿拋物線下落。

質(zhì)點在上升過程中，受到重力mg，筒壁的法向力FN和切向力F的作用。mgFNF解：列出質(zhì)點的運動微分方程在主法線上的投影式質(zhì)點在未離開筒壁前的速度等于筒壁的速度。即n例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日于是解得當θ=θ0時，鐵球?qū)⒙湎拢@時FN=0，于是得顯然，越小，要求n

越大。當時，，鐵球就會緊貼筒壁轉(zhuǎn)過最高點而不脫離筒壁落下，起不到粉碎礦石的作用。θmgFNF例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

如圖所示單擺，擺長為l，小球質(zhì)量為m，其懸掛點O以加速度a0向上運動，求此時單擺作微振動的周期。a0Oφm例題11例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

在懸掛點O上固結(jié)一平動參考系Ox'y'，小球相對于此動參考系的運動相當于懸掛固定的單擺振動。

分析小球受力：重力，繩子張力F。運動：因動參考系作平動，牽連加速度，科氏加速度。解：建立相對運動動力學(xué)基本方程例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日將上式投影到切向軸et上，得當擺作微振動時，φ角很小，有，且，上式成為例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日令：，則上式可寫為自由振動微分方程的標準式其解的形式為，而振動周期為例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

設(shè)車廂以均加速度a沿水平直線軌道向右行駛。求由車廂棚頂

M0

處自由落下的質(zhì)點

M

的相對運動。O1M0ahMx1y1z1例題12例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日解:取動坐標系O1x1y1z1固連車廂。因為動坐標系作直線平動,有mar+mae=W(1)ae=ae,方向與車廂加速度

a相同把式(1)向動坐標系各軸上投影,得相對運動微分方程即根據(jù)所選坐標系,質(zhì)點運動的初始條件寫成當t=0

時,O1M0ahaeWx1y1z1例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

將式(2)積分,并利用初始條件(3)確定積分變量,求得質(zhì)點的相對運動規(guī)律為消去時間t后,得到相對軌跡方程這表示軌跡是一條向后方偏斜的直線。例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日

一質(zhì)量是m的小環(huán)M套在半徑是R的光滑圓環(huán)上，并可沿大圓環(huán)滑動，而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度

繞通過點O的鉛垂軸轉(zhuǎn)動。在初瞬時，=0，=2

，試寫出小環(huán)M相對于大圓環(huán)的運動微分方程，并求出大圓環(huán)對小環(huán)M的約束力。（不計小環(huán)重力的影響）OCO'RMωθR例題13例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日解:

取動坐標系與大圓環(huán)固連，小環(huán)M

相對于大圓環(huán)的位置用弧坐標s=R

表示。作用于小環(huán)

M的力有大圓環(huán)的約束力

F

。

寫出小環(huán)相對運動微分方程在相對切向和法向的投影式中OCO'RMωθaenFaCR例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日由式(1)得這就是小環(huán)M

相對于大圓環(huán)的運動微分方程。,將式(a)的變量分離并代入初始條件進行積分應(yīng)用循環(huán)變換例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期日于是有將上式代入式(2)得而所以,大圓環(huán)對小環(huán)的約束力為]2cos4)cos1(3[2qqw-+=mRF例題

混合問題：第一類與第二類問題