電動力學(xué)一一麥克斯韋方程

電動力學(xué)一一麥克斯韋方程1第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)麥克斯韋方程組第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一（一）庫侖定律:靜電現(xiàn)象的基本實驗定律（二）高斯定理和電場的散度（三）法拉第電磁感應(yīng)定律與電場的旋度一、電場的散度與旋度第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一真空中的靜止電荷Q對另一個靜止電荷Q’的作用力F為（一）庫侖定律:靜電現(xiàn)象的基本實驗定律第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一庫侖定律只是從現(xiàn)象上給出兩電荷之間作用力的大小和方向。靜止電荷對靜止電荷的作用力

注意:第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一可有如下兩種物理解釋:1.兩電荷之間的作用力是超距作用，即一個電荷把作用力直接施加于另一電荷上。(錯誤)2.相互作用是通過電場來傳遞的，而不是直接的超距作用。(正確)第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一靜電時，兩種描述是等價的。在運動電荷時，特別是在電荷發(fā)生迅變時，實踐證明通過場來傳遞相互作用的觀點是正確的。討論：第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

場的概念，在不僅電動力學(xué)中具有重要地位，在整個現(xiàn)代物理學(xué)中也具有重要地位。本課程的任務(wù)之一就是學(xué)習(xí)電磁場第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一電場：電荷周圍的空間存在著一個特殊的物質(zhì)，電荷在其中會受到作用力。電場強度：在點x上一個單位試驗電荷在場中所受的力第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一由庫侖定律，一個靜止電荷Q所激發(fā)的電場強度為注：電場具有疊加性。即多個電荷所激發(fā)的電場等于每個電荷所激發(fā)的電場的矢量和。第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一b.電荷連續(xù)分布在某一區(qū)域內(nèi)時，則P點電場強度為a.電荷不連續(xù)分布時，總電場強度是第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一（二）高斯定理和電場的散度1.高斯定理第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一討論：b.當(dāng)區(qū)域內(nèi)電荷連續(xù)分布時a.當(dāng)區(qū)域內(nèi)的電荷不連續(xù)時第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一高斯公式2.電場的散度------高斯定理的微分形式------電場的一個微分方程第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一電荷是電場的源，電場線從正電荷發(fā)出而終止于負電荷。局域性質(zhì)：空間某點鄰域上場的散度只和該點上的電荷密度有關(guān)，而和其他地點的電荷分布無關(guān)。電荷只直接激發(fā)其鄰近的場，而遠處的場則是通過場本身的內(nèi)部作用傳遞出去的。散度的局域性質(zhì)：雖然對任一個包圍著電荷的曲面都有電通量，但是散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，在沒有電荷分布的空間電場的散度為零。第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一恒定電磁場的基本規(guī)律：電荷激發(fā)電場，電流激發(fā)磁場。變化著的電場和磁場可以互相激發(fā)，電場和磁場成為統(tǒng)一的整體——電磁場。（三）法拉第電磁感應(yīng)定律與電場的旋度第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一法拉第于1831年發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁場發(fā)生變化時，附近閉合線圈中有電流通過，并由此總結(jié)出電磁感應(yīng)定律。1.電磁感應(yīng)定律第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一①閉合線圈中的感應(yīng)電動勢與通過該線圈內(nèi)部的磁通量變化率成正比。②當(dāng)通過S的磁通量增加時，在線圈L上的感應(yīng)電動勢與我們規(guī)定的L的圍繞方向（L的圍繞方向與dS的法線方向成右手螺旋關(guān)系）相反。第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一L為閉合線圈，S為L所圍的一個曲面，dS為S上的一個面元。規(guī)定：L的圍繞方向與dS的法線方向成右手螺旋關(guān)系。第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實質(zhì)：變化磁場在其周圍空間中激發(fā)了電場。線圈上有電流線圈上有電荷運動電場作用變化磁場第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一感應(yīng)電動勢是電場強度沿閉合回路的線積分，因此電磁感應(yīng)定律可寫為若回路L是空間中的一條固定回路，則上式中的對t的全微商可代為偏微商：第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一化為微分形式------磁場對電場作用的基本規(guī)律。------感應(yīng)電場是有旋場。第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一附:靜電場的旋度

一個點電荷Q所激發(fā)的電場E對任一閉合回路L的環(huán)量第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)dl與r的夾角為第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一------靜電場的無旋性(面積元的任意性)第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

例電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點的電場強度，并由此直接計算電場的散度。作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點的電場強度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。解：第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)r>a時，球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一若r<a,則球面所圍電荷為應(yīng)用高斯定理得第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)r>a時電場的散度當(dāng)r<a時第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一散度的局域性質(zhì)：雖然對任一個包圍著電荷的曲面都有電通量，但是散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，在沒有電荷分布的空間電場的散度為零。第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一二磁場的散度與旋度第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一(一)磁場的散度電流激發(fā)的磁感應(yīng)線總是閉合曲線，因此，磁感應(yīng)強度是無源場。其微分形式為在電流一般變化條件下依然成立第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一（二）電流分布的規(guī)律性：電荷守恒定律大?。簡挝粫r間垂直通過單位面積的電量方向：沿著該點的電流方向1.電流密度J第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一通過面元dS的電流dI通過任一曲面S的總電流強度I為2.電流強度和電流密度的關(guān)系第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一a.電流由一種運動帶電粒子構(gòu)成b.電流由幾種帶電粒子構(gòu)成，討論：第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一3.電荷守恒定律通過界面流出的總電流應(yīng)該等于V內(nèi)電荷的減小率------電荷守恒定律的積分形式第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一------電荷守恒定律的微分形式。應(yīng)用高斯定理，得微分形式第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一1.當(dāng)V是全空間，S為無窮遠界面，由于在S上沒有電流流出，則有——全空間的總電荷守恒討論：第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一即有——恒定電流的連續(xù)性因此，2.當(dāng)電流為恒定電流時，一切物理量不隨時間變化，第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一（三）畢奧–薩伐爾定律2.恒定電流激發(fā)磁場的規(guī)律由畢奧–薩伐爾定律給出。1.磁場:電流之間存在作用力，這種作用力是通過一種物質(zhì)作為媒介來傳遞，這種特殊物質(zhì)稱為磁場。第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一對于細導(dǎo)線上恒定電流激發(fā)的磁場,其畢奧–薩伐爾定律為設(shè)J(x’)為源點x’上的電流密度，r為由x’點到場點x的距離，則場點上的磁感應(yīng)強度為只在恒定電流條件下成立第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一(四)磁場的環(huán)量和旋度1.安培環(huán)路定理當(dāng)電流連續(xù)分布時，環(huán)路定理表達為第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一2.磁場的旋度根據(jù)旋度的定義，我們可以得到——上式是恒定磁場的一個基本微分方程。只在恒定電流條件下成立第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一（五）變化電場激發(fā)磁場（麥克斯韋位移電流假設(shè)）1.非恒定電流分布的特點上述第二節(jié)中指出恒定電流是閉合的，但在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，一般不再是閉合的。一般說來，在非恒定情況下，由電荷守恒定律有第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一已有電流激發(fā)磁場的規(guī)律取兩邊散度，由于因此上式只有當(dāng)時才能成立。第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一但是，在非恒定電流情形下，一般有電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律，而已有規(guī)律是根據(jù)恒定情況下的實驗定律導(dǎo)出的特殊規(guī)律，故我們應(yīng)該修改上式使服從電荷守恒定律的要求。因而上式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一假設(shè)存在一個稱為位移電流的物理量JD，它和電流J合起來構(gòu)成閉合的量并假設(shè)位移電流JD與電流J

一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把原有規(guī)律修改為2.位移電流的引入此式兩邊的散度都等于零，因而理論上就不再有矛盾。第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)上述假定可導(dǎo)出JD的可能表示式電荷密度與電場散度關(guān)系式兩式合起來得由電荷守恒定律第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一與原假定相比較即得到JD

的一個可能表示式------位移電流實質(zhì)上是:電場的變化率。由麥克斯韋首先引入。位移電流假設(shè)的正確性由以后關(guān)于電磁波的廣泛實踐所證明。第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一五.磁場旋度和散度公式的證明1.用畢奧–薩伐爾定律推導(dǎo)磁場散度。算符對x的微分算符，與x’無關(guān)畢奧–薩伐爾定律第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一因此其中第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一2.計算B的旋度第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一由于因而，對r的函數(shù)而言，對x微分與對x’微分僅差一負號第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一化為面積分。由于積分區(qū)域包括所有電流在內(nèi)，沒有電流通過區(qū)域的界面S，因而這面積積分為零。由恒定電流的連續(xù)性，因此這積分也等于零。因此第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一再計算2A當(dāng)r0時，被積函數(shù)只可能在x’x點上不為零。體積分僅需對包圍x點的小球積分。這時可取J(x’)=J(x)，抽出積分號外，而第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一r由源點x’指向場點x，和面元dS’反向第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一因此，于是磁場的旋度得以求證。第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一

例電流I均勻分布于半徑為a的無窮長直導(dǎo)線內(nèi)，求空間各點的磁場強度，并由此計算磁場的旋度。在與導(dǎo)線垂直的平面上作一半徑為r的圓，圓心在導(dǎo)線軸上。由對稱性，在圓周各點的磁感應(yīng)強度有相同數(shù)值，并沿圓周環(huán)繞方向。解：第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一(1)當(dāng)r>a時，通過圓內(nèi)的總電流為I，用安培環(huán)路定理得得出式中e為圓周環(huán)繞方向單位矢量。先求磁感應(yīng)強度：第59頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一(2)若r<a,則通過圓內(nèi)的總電流為應(yīng)用安培環(huán)路定理得因而第60頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一(1)當(dāng)r>a(2)當(dāng)r<a

用柱坐標的公式求磁場的旋度。第61頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一旋度的局域性：某點鄰域上的磁感應(yīng)強度的旋度只和該點的電流密度有關(guān)。雖然任何包圍著導(dǎo)線的回路都有磁場環(huán)量，但磁場的旋度只存在于電流分布的導(dǎo)線內(nèi)部，而在周圍空間中的磁場是無旋的。第62頁，共65頁，2023年，2月20日，星期一總結(jié):麥克斯韋方程組把電磁學(xué)中最基本的實驗定律