電動(dòng)力學(xué)一一麥克斯韋方程

電動(dòng)力學(xué)一一麥克斯韋方程1第1頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第一節(jié)麥克斯韋方程組第2頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（一）庫(kù)侖定律:靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律（二）高斯定理和電場(chǎng)的散度（三）法拉第電磁感應(yīng)定律與電場(chǎng)的旋度一、電場(chǎng)的散度與旋度第3頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一真空中的靜止電荷Q對(duì)另一個(gè)靜止電荷Q’的作用力F為（一）庫(kù)侖定律:靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律第4頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一庫(kù)侖定律只是從現(xiàn)象上給出兩電荷之間作用力的大小和方向。靜止電荷對(duì)靜止電荷的作用力

注意:第5頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一可有如下兩種物理解釋:1.兩電荷之間的作用力是超距作用，即一個(gè)電荷把作用力直接施加于另一電荷上。(錯(cuò)誤)2.相互作用是通過(guò)電場(chǎng)來(lái)傳遞的，而不是直接的超距作用。(正確)第6頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一靜電時(shí)，兩種描述是等價(jià)的。在運(yùn)動(dòng)電荷時(shí)，特別是在電荷發(fā)生迅變時(shí)，實(shí)踐證明通過(guò)場(chǎng)來(lái)傳遞相互作用的觀點(diǎn)是正確的。討論：第7頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

場(chǎng)的概念，在不僅電動(dòng)力學(xué)中具有重要地位，在整個(gè)現(xiàn)代物理學(xué)中也具有重要地位。本課程的任務(wù)之一就是學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)第8頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電場(chǎng)：電荷周圍的空間存在著一個(gè)特殊的物質(zhì)，電荷在其中會(huì)受到作用力。電場(chǎng)強(qiáng)度：在點(diǎn)x上一個(gè)單位試驗(yàn)電荷在場(chǎng)中所受的力第9頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由庫(kù)侖定律，一個(gè)靜止電荷Q所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為注：電場(chǎng)具有疊加性。即多個(gè)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)等于每個(gè)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)的矢量和。第10頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一b.電荷連續(xù)分布在某一區(qū)域內(nèi)時(shí)，則P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為a.電荷不連續(xù)分布時(shí)，總電場(chǎng)強(qiáng)度是第11頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（二）高斯定理和電場(chǎng)的散度1.高斯定理第12頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一討論：b.當(dāng)區(qū)域內(nèi)電荷連續(xù)分布時(shí)a.當(dāng)區(qū)域內(nèi)的電荷不連續(xù)時(shí)第13頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一高斯公式2.電場(chǎng)的散度------高斯定理的微分形式------電場(chǎng)的一個(gè)微分方程第14頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電荷是電場(chǎng)的源，電場(chǎng)線從正電荷發(fā)出而終止于負(fù)電荷。局域性質(zhì)：空間某點(diǎn)鄰域上場(chǎng)的散度只和該點(diǎn)上的電荷密度有關(guān)，而和其他地點(diǎn)的電荷分布無(wú)關(guān)。電荷只直接激發(fā)其鄰近的場(chǎng)，而遠(yuǎn)處的場(chǎng)則是通過(guò)場(chǎng)本身的內(nèi)部作用傳遞出去的。散度的局域性質(zhì)：雖然對(duì)任一個(gè)包圍著電荷的曲面都有電通量，但是散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，在沒(méi)有電荷分布的空間電場(chǎng)的散度為零。第15頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一恒定電磁場(chǎng)的基本規(guī)律：電荷激發(fā)電場(chǎng)，電流激發(fā)磁場(chǎng)。變化著的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以互相激發(fā)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)成為統(tǒng)一的整體——電磁場(chǎng)。（三）法拉第電磁感應(yīng)定律與電場(chǎng)的旋度第16頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一法拉第于1831年發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁場(chǎng)發(fā)生變化時(shí)，附近閉合線圈中有電流通過(guò)，并由此總結(jié)出電磁感應(yīng)定律。1.電磁感應(yīng)定律第17頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一①閉合線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與通過(guò)該線圈內(nèi)部的磁通量變化率成正比。②當(dāng)通過(guò)S的磁通量增加時(shí)，在線圈L上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與我們規(guī)定的L的圍繞方向（L的圍繞方向與dS的法線方向成右手螺旋關(guān)系）相反。第18頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一L為閉合線圈，S為L(zhǎng)所圍的一個(gè)曲面，dS為S上的一個(gè)面元。規(guī)定：L的圍繞方向與dS的法線方向成右手螺旋關(guān)系。第19頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)：變化磁場(chǎng)在其周圍空間中激發(fā)了電場(chǎng)。線圈上有電流線圈上有電荷運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)作用變化磁場(chǎng)第20頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是電場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合回路的線積分，因此電磁感應(yīng)定律可寫為若回路L是空間中的一條固定回路，則上式中的對(duì)t的全微商可代為偏微商：第21頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一化為微分形式------磁場(chǎng)對(duì)電場(chǎng)作用的基本規(guī)律。------感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)。第22頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一附:靜電場(chǎng)的旋度

一個(gè)點(diǎn)電荷Q所激發(fā)的電場(chǎng)E對(duì)任一閉合回路L的環(huán)量第23頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)dl與r的夾角為第24頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一------靜電場(chǎng)的無(wú)旋性(面積元的任意性)第25頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場(chǎng)的散度。作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。解：第26頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)r>a時(shí)，球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得第27頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一若r<a,則球面所圍電荷為應(yīng)用高斯定理得第28頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)r>a時(shí)電場(chǎng)的散度當(dāng)r<a時(shí)第29頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一散度的局域性質(zhì)：雖然對(duì)任一個(gè)包圍著電荷的曲面都有電通量，但是散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，在沒(méi)有電荷分布的空間電場(chǎng)的散度為零。第30頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一二磁場(chǎng)的散度與旋度第31頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(一)磁場(chǎng)的散度電流激發(fā)的磁感應(yīng)線總是閉合曲線，因此，磁感應(yīng)強(qiáng)度是無(wú)源場(chǎng)。其微分形式為在電流一般變化條件下依然成立第32頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（二）電流分布的規(guī)律性：電荷守恒定律大小：?jiǎn)挝粫r(shí)間垂直通過(guò)單位面積的電量方向：沿著該點(diǎn)的電流方向1.電流密度J第33頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一通過(guò)面元dS的電流dI通過(guò)任一曲面S的總電流強(qiáng)度I為2.電流強(qiáng)度和電流密度的關(guān)系第34頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一a.電流由一種運(yùn)動(dòng)帶電粒子構(gòu)成b.電流由幾種帶電粒子構(gòu)成，討論：第35頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.電荷守恒定律通過(guò)界面流出的總電流應(yīng)該等于V內(nèi)電荷的減小率------電荷守恒定律的積分形式第36頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一------電荷守恒定律的微分形式。應(yīng)用高斯定理，得微分形式第37頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1.當(dāng)V是全空間，S為無(wú)窮遠(yuǎn)界面，由于在S上沒(méi)有電流流出，則有——全空間的總電荷守恒討論：第38頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即有——恒定電流的連續(xù)性因此，2.當(dāng)電流為恒定電流時(shí)，一切物理量不隨時(shí)間變化，第39頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（三）畢奧–薩伐爾定律2.恒定電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律由畢奧–薩伐爾定律給出。1.磁場(chǎng):電流之間存在作用力，這種作用力是通過(guò)一種物質(zhì)作為媒介來(lái)傳遞，這種特殊物質(zhì)稱為磁場(chǎng)。第40頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于細(xì)導(dǎo)線上恒定電流激發(fā)的磁場(chǎng),其畢奧–薩伐爾定律為設(shè)J(x’)為源點(diǎn)x’上的電流密度，r為由x’點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)x的距離，則場(chǎng)點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為只在恒定電流條件下成立第41頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(四)磁場(chǎng)的環(huán)量和旋度1.安培環(huán)路定理當(dāng)電流連續(xù)分布時(shí)，環(huán)路定理表達(dá)為第42頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.磁場(chǎng)的旋度根據(jù)旋度的定義，我們可以得到——上式是恒定磁場(chǎng)的一個(gè)基本微分方程。只在恒定電流條件下成立第43頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（五）變化電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)（麥克斯韋位移電流假設(shè)）1.非恒定電流分布的特點(diǎn)上述第二節(jié)中指出恒定電流是閉合的，但在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，一般不再是閉合的。一般說(shuō)來(lái)，在非恒定情況下，由電荷守恒定律有第44頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一已有電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律取兩邊散度，由于因此上式只有當(dāng)時(shí)才能成立。第45頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一但是，在非恒定電流情形下，一般有電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律，而已有規(guī)律是根據(jù)恒定情況下的實(shí)驗(yàn)定律導(dǎo)出的特殊規(guī)律，故我們應(yīng)該修改上式使服從電荷守恒定律的要求。因而上式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。第46頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一假設(shè)存在一個(gè)稱為位移電流的物理量JD，它和電流J合起來(lái)構(gòu)成閉合的量并假設(shè)位移電流JD與電流J

一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把原有規(guī)律修改為2.位移電流的引入此式兩邊的散度都等于零，因而理論上就不再有矛盾。第47頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一根據(jù)上述假定可導(dǎo)出JD的可能表示式電荷密度與電場(chǎng)散度關(guān)系式兩式合起來(lái)得由電荷守恒定律第48頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一與原假定相比較即得到JD

的一個(gè)可能表示式------位移電流實(shí)質(zhì)上是:電場(chǎng)的變化率。由麥克斯韋首先引入。位移電流假設(shè)的正確性由以后關(guān)于電磁波的廣泛實(shí)踐所證明。第49頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一五.磁場(chǎng)旋度和散度公式的證明1.用畢奧–薩伐爾定律推導(dǎo)磁場(chǎng)散度。算符對(duì)x的微分算符，與x’無(wú)關(guān)畢奧–薩伐爾定律第50頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此其中第51頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.計(jì)算B的旋度第52頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于因而，對(duì)r的函數(shù)而言，對(duì)x微分與對(duì)x’微分僅差一負(fù)號(hào)第53頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一化為面積分。由于積分區(qū)域包括所有電流在內(nèi)，沒(méi)有電流通過(guò)區(qū)域的界面S，因而這面積積分為零。由恒定電流的連續(xù)性，因此這積分也等于零。因此第54頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一再計(jì)算2A當(dāng)r0時(shí)，被積函數(shù)只可能在x’x點(diǎn)上不為零。體積分僅需對(duì)包圍x點(diǎn)的小球積分。這時(shí)可取J(x’)=J(x)，抽出積分號(hào)外，而第55頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一r由源點(diǎn)x’指向場(chǎng)點(diǎn)x，和面元dS’反向第56頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此，于是磁場(chǎng)的旋度得以求證。第57頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

例電流I均勻分布于半徑為a的無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)，求空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度，并由此計(jì)算磁場(chǎng)的旋度。在與導(dǎo)線垂直的平面上作一半徑為r的圓，圓心在導(dǎo)線軸上。由對(duì)稱性，在圓周各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有相同數(shù)值，并沿圓周環(huán)繞方向。解：第58頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)當(dāng)r>a時(shí)，通過(guò)圓內(nèi)的總電流為I，用安培環(huán)路定理得得出式中e為圓周環(huán)繞方向單位矢量。先求磁感應(yīng)強(qiáng)度：第59頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)若r<a,則通過(guò)圓內(nèi)的總電流為應(yīng)用安培環(huán)路定理得因而第60頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(1)當(dāng)r>a(2)當(dāng)r<a

用柱坐標(biāo)的公式求磁場(chǎng)的旋度。第61頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一旋度的局域性：某點(diǎn)鄰域上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的旋度只和該點(diǎn)的電流密度有關(guān)。雖然任何包圍著導(dǎo)線的回路都有磁場(chǎng)環(huán)量，但磁場(chǎng)的旋度只存在于電流分布的導(dǎo)線內(nèi)部，而在周圍空間中的磁場(chǎng)是無(wú)旋的。第62頁(yè)，共65頁(yè)，2023年，2月20日，星期一總結(jié):麥克斯韋方程組把電磁學(xué)中最基本的實(shí)驗(yàn)定律