信號與線性系統(tǒng)分析總結(jié)

總結(jié)①連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。sin2t是周期信號，其角頻率和周期為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πs僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。②兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。兩個(gè)周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。第一頁，共84頁?？偨Y(jié)能量信號與功率信號

將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號的能量E（2）信號的功率P

若信號f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時(shí)P=0

若信號f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時(shí)E=∞第二頁，共84頁?？偨Y(jié)信號的時(shí)間變換運(yùn)算

1.反轉(zhuǎn)將f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)稱為對信號f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如第三頁，共84頁?？偨Y(jié)

2.平移

將f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(k–k0)稱為對信號f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如右移t→t–1左移t→t+1第四頁，共84頁?？偨Y(jié)

3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f

(t)→f

(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開。如t→2t壓縮t→0.5t展開第五頁，共84頁?？偨Y(jié)平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合例1已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對時(shí)間t進(jìn)行。第六頁，共84頁?？偨Y(jié)若已知f

(–4–2t)，畫出f

(t)。反轉(zhuǎn)，得f

(2t–4)展開，得f

(t–4)左移4，得f

(t)第七頁，共84頁。總結(jié)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)第八頁，共84頁?？偨Y(jié)f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)δ(k)=ε(k)–ε(k–1)第九頁，共84頁。總結(jié)系統(tǒng)性質(zhì)分析af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

線性性質(zhì)：時(shí)不變性：f(t)→yzs(t)

f(t-td)→yzs(t-td)直觀判斷方法：若f

(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變的。因果，穩(wěn)定（見第七章）。第十頁，共84頁。總結(jié)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的時(shí)域求解，沖激響應(yīng)，階躍響應(yīng)。時(shí)域卷積：圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵。f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）第十一頁，共84頁?？偨Y(jié)卷積積分的性質(zhì)f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)第十二頁，共84頁?？偨Y(jié)常見的卷積公式第十三頁，共84頁?？偨Y(jié)卷積和相關(guān)第十四頁，共84頁。總結(jié)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析差分與差分方程，時(shí)域解法，單位序列響應(yīng)，階躍響應(yīng)卷積和例1：f1(k)、f2(k)如圖所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）換元（2）f2(i)反轉(zhuǎn)得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)第十五頁，共84頁?？偨Y(jié)3，4，0，62，1，5解:×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30例2

f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1

f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=0求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1注：教材中提到的列表法與這里介紹的不進(jìn)位乘法本質(zhì)是一樣的。第十六頁，共84頁。總結(jié)f(k)*ε(k)=[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)常用卷積和公式第十七頁，共84頁?？偨Y(jié)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉級數(shù)的三角形式式中，A0=a0可見An是n的偶函數(shù)，n是n的奇函數(shù)。

an

=Ancosn，bn

=–Ansinn，n=1,2,…第十八頁，共84頁?？偨Y(jié)傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an，An，|Fn|n的奇函數(shù):

bn，n

第十九頁，共84頁?？偨Y(jié)波形的對稱性與諧波特性1.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo)bn=0，展開為余弦級數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點(diǎn)an=0，展開為正弦級數(shù)。3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：a0=a2=…=b2=b4=…=04.f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0第二十頁，共84頁。總結(jié)周期信號的頻譜

將An~ω和n~ω的關(guān)系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|~ω和n~ω的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn。第二十一頁，共84頁?？偨Y(jié)周期信號頻譜的特點(diǎn)譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系T一定，變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。

如果周期T無限增長（這時(shí)就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。第二十二頁，共84頁。總結(jié)傅里葉變換F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)第二十三頁，共84頁?？偨Y(jié)歸納記憶：1.F

變換對2.常用函數(shù)F

變換對：δ(t)ε(t)e-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|112πδ(ω)第二十四頁，共84頁。總結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)，|F(jω)|=|F(–jω)|，(ω)=–(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)F(jt)←→2πf(–ω)f(at–b)cosω0t

←→π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]sinω0t

←→jπ[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]第二十五頁，共84頁。總結(jié)若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)則f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)結(jié)論:若

f(n)(t)←→Fn(jω)，

且

f(-∞)+f(∞)=0（大部分為時(shí)限函數(shù)）

則

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n第二十六頁，共84頁?？偨Y(jié)若f(t)←→F(jω)則(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)第二十七頁，共84頁?？偨Y(jié)能量譜和功率譜R(τ)←→E(ω)R(τ)←→P(ω)第二十八頁，共84頁?？偨Y(jié)周期信號的傅里葉變換第二十九頁，共84頁?？偨Y(jié)LTI系統(tǒng)的頻域分析第三十頁，共84頁?？偨Y(jié)對周期信號還可用傅里葉級數(shù)分析法：若第三十一頁，共84頁?？偨Y(jié)無失真?zhèn)鬏斉c濾波輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為

y(t)=Kf(t–td)其頻譜關(guān)系為Y(j)=Ke–jtdF(j)系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑢ο到y(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a)對h(t)的要求：h(t)=K(t–td)(b)對H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

第三十二頁，共84頁?？偨Y(jié)例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)第三十三頁，共84頁?？偨Y(jié)取樣定理通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率；把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。例有限頻帶信號f1(t)的最高頻率為ωm1(fm1)，f2(t)的最高頻率為ωm2(fm2)，對下列信號進(jìn)行時(shí)域抽樣，試求使頻譜不發(fā)生混疊的奈奎斯特頻率fs與奈奎斯特間隔Ts。第三十四頁，共84頁?？偨Y(jié)解：所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第三十五頁，共84頁?？偨Y(jié)所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第三十六頁，共84頁?？偨Y(jié)所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第三十七頁，共84頁?？偨Y(jié)所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第三十八頁，共84頁。總結(jié)所以，奈奎斯特頻率為：奈奎斯特周期為：第三十九頁，共84頁?？偨Y(jié)例解：第四十頁，共84頁?？偨Y(jié)所以：第四十一頁，共84頁。總結(jié)序列的傅里葉分析和離散傅里葉變換令則FN(n)稱為離散傅里葉系數(shù)。稱為周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DiscreteFourierSeries,DFS)。令則第四十二頁，共84頁。總結(jié)定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)為第四十三頁，共84頁?？偨Y(jié)第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析第四十四頁，共84頁?？偨Y(jié)常見函數(shù)的拉普拉斯變換(t)←→1，>-∞(t)或1←→1/s，>0e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→t←→1/s2第四十五頁，共84頁?？偨Y(jié)拉普拉斯變換性質(zhì)第四十六頁，共84頁。總結(jié)若f(t)為因果信號，已知第四十七頁，共84頁?？偨Y(jié)例1：例2：第四十八頁，共84頁?？偨Y(jié)拉普拉斯逆變換單階實(shí)數(shù)極點(diǎn)第四十九頁，共84頁?？偨Y(jié)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù),共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

=2|K1|e-tcos(t+)(t)第五十頁，共84頁?？偨Y(jié)有重根存在求K11，方法同第一種情況：第五十一頁，共84頁?？偨Y(jié)復(fù)頻域分析y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵(lì)f(t)=5cost(t)，方程取拉氏變換，并整理得Yzi(s)Yzs(s)第五十二頁，共84頁?？偨Y(jié)求H(s)。S2X(s)SX(s)X(s)s2X(s)=F(s)+3s1X(s)+2X(s)Y(s)=s2X(s)+4X(s)微分方程為y"(t)-3y'(t)-2y(t)=f"(t)+4f(t)第五十三頁，共84頁?？偨Y(jié)電路的s域模型電感第五十四頁，共84頁。總結(jié)電容第五十五頁，共84頁?？偨Y(jié)單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系(1)0<0，F(xiàn)(j)=F(s)s=j（2）0=0，（3）0>0，F(xiàn)(j)不存在。

第五十六頁，共84頁?？偨Y(jié)第六章離散系統(tǒng)的Z域分析稱為序列f(k)的雙邊z變換稱為序列f(k)的單邊z變換序列的收斂域大致有以下幾種情況：（1）對于有限長的序列，其雙邊z變換在整個(gè)平面；（2）對因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓外區(qū)域；（3）對反因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓內(nèi)區(qū)域；（4）對雙邊序列，其z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域；

第五十七頁，共84頁?？偨Y(jié)常用序列的z變換：(k)，z>1，z<1–(–k–1)(k)←→1，整個(gè)z平面第五十八頁，共84頁。總結(jié)z變換的性質(zhì)雙邊z變換的移位：單邊z變換的移位：（后向移位）

前向移位：第五十九頁，共84頁?？偨Y(jié)k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換）

第六十頁，共84頁。總結(jié)第六十一頁，共84頁?？偨Y(jié)逆z變換部分分式展開法

（1）F(z)均為單極點(diǎn)，且不為0第六十二頁，共84頁?？偨Y(jié)根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z>)和F2(z)(z<)兩部分第六十三頁，共84頁。總結(jié)(2)F(z)有共軛單極點(diǎn)

第六十四頁，共84頁?？偨Y(jié)(3)F(z)有重極點(diǎn)

F(z)展開式中含項(xiàng)(r>1)，則逆變換為：若z>a,對應(yīng)原序列為因果序列：第六十五頁，共84頁?？偨Y(jié)可這樣推導(dǎo)記憶：兩邊對a求導(dǎo)得:再對a求導(dǎo)得:故:第六十六頁，共84頁?？偨Y(jié)離散系統(tǒng)的z域分析y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)第六十七頁，共84頁?？偨Y(jié)復(fù)變量s與z的關(guān)系：s域與z域的關(guān)系第六十八頁，共84頁?？偨Y(jié)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：稱LTI離散系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般情況：LTI離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：若LTI因果離散系統(tǒng)得系統(tǒng)函數(shù)H(z)得收斂域包含單位圓，，則稱為LTI因果離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。稱為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)；稱為系統(tǒng)的相頻響應(yīng).第六十九頁，共84頁?？偨Y(jié)第七章系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)：第七十頁，共84頁?？偨Y(jié)系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)當(dāng)且時(shí)，（H(s)極點(diǎn)在左半開平面）這種情況下，h(t)對應(yīng)的系統(tǒng)稱為因果穩(wěn)定系統(tǒng)。設(shè)H(z)的收斂域包含單位圓，對因果系統(tǒng)，H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：第七十一頁，共84頁?？?/p>