中考試卷的數(shù)學(xué)開放題

闖進(jìn)中考試卷的數(shù)學(xué)開放題

隨著九年義務(wù)教育的實(shí)施和教育模式由“應(yīng)試教育”向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌，一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)

題型的觸角悄悄的伸向中考試卷，這就是開放型數(shù)學(xué)試題。讓我們先看一個(gè)例子：

引例（1996年寧夏回族自治區(qū)中考試題）如圖1,已知。。內(nèi)切于四邊形A8CZ）,

AB=AD,連結(jié)AC、BD。根據(jù)上述條件，結(jié)合圖表直接寫出結(jié)論（除圖中4、B、C、

。、。五個(gè)字母外不要標(biāo)注或使用其他字母，不添加任何輔助線，不寫推理過程）。

這道題很特別，沒有現(xiàn)成的結(jié)論，甚至結(jié)論可有多個(gè)而不惟??確定，考生可以根

據(jù)自己對(duì)幾何知識(shí)的認(rèn)識(shí)寫出一個(gè)到多個(gè)結(jié)論。這就是開放型數(shù)學(xué)題。

開放型數(shù)學(xué)問題是相對(duì)于給出了明確的條件和結(jié)論的封閉型問題而言的。所謂開放型數(shù)

學(xué)題解常指答案不確定或條件不完備，或具有多種不同解法，或有多種可能的解答等類型的

數(shù)學(xué)問題。如果我們把數(shù)學(xué)習(xí)題看作是一個(gè)系統(tǒng)：）'、。、z,其中y表示習(xí)題的條

件，。表示解題依據(jù)，P表示解題方法，Z表示習(xí)題的結(jié)論。這個(gè)系統(tǒng)中的四個(gè)要素若有兩

個(gè)未知?jiǎng)t稱為探索性題：若有三個(gè)未知?jiǎng)t是問題性習(xí)題。開放題就屬于問題性習(xí)題（少數(shù)屬

于探索性習(xí)題）。引例就是解題依據(jù)不明、解題方法不明、結(jié)論不明的問題性試題。將問題

性試題即開放題引入中考無疑是因?yàn)檫@類試題具有其他試題所不可替代的功能。

一、一、條件開放型試題

例1（1997南京市中考試題）已知：a、b、c分別是A4BC中NA、NB、NC的

對(duì)邊Qb）。二次函數(shù)y=（x-2a）x-2b（x-a）+c2的圖象的頂點(diǎn)在x軸匕且sinA、

sinB是關(guān)于x的方程（加+5）/-（2m-5）x+〃?-8=0的兩個(gè)根。

（1）（1）判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）（2）求團(tuán)的值；

（3）（3）若這個(gè)三角形的外接圓面積為25%,求A48C的內(nèi)接正方形（四個(gè)頂點(diǎn)都

在三

角形的邊上）的邊長。

所謂條件開放型試題是指在結(jié)論不變的前提下，條件不惟?的開放題。本例第（3）問

中，由于正方形內(nèi)接于三角形的方式不單一，因而如圖2如示，所產(chǎn)生兩個(gè)答案。由于課本

上出現(xiàn)過類似乙圖的圖形，學(xué)生就可能受定勢思維的影響只給出乙圖時(shí)的解答，只有敢于突

破，具有創(chuàng)新意識(shí)的同學(xué)才可能給出甲、乙兩種情況下的解答。

例2（1997年北京市中考試題）已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12,從它的一個(gè)

頂點(diǎn)作一條射線，將矩形分成個(gè)三解形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正

切值為5。設(shè)梯形面積為s,梯形中較短底的長為》,試寫出梯形面積s關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)

系式，并指出自變量X的取值范圍。

ADAD

BCB

甲乙

圖3

幾何問題往往都對(duì)應(yīng)于一定的圖形，由于幾何元素之間位置關(guān)系的可變性又決定了圖形

的多樣性，而圖形是問題條件的重要組成部分，圖形的多樣性就決定了問題條件的開放性。

如本例中條件對(duì)應(yīng)著圖3的甲、乙兩種情況，于是本例的解答亦有兩個(gè)結(jié)論。山于題設(shè)條件

中強(qiáng)調(diào)“長大于寬的2倍”，因此，部分學(xué)生會(huì)被導(dǎo)入乙圖而忽視了甲圖，只有思維發(fā)散性

較強(qiáng)的同學(xué)才會(huì)畫出兩種圖形分別求解。

二、二、結(jié)論開放型試題

例3（1995年廣東省中考試題）如圖4所示，A。是斜邊上的高，

AB=AC,過點(diǎn)A、。的圓與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,弦所與AO相交于點(diǎn)G。

（1）（1）圖中有哪些三角形與AGOE相似（不要求說明理由）？

（2）（2）當(dāng)8。=2時(shí),求AE+AF的長。

數(shù)學(xué)命題，根據(jù)思維形式可分成三個(gè)部分：假設(shè)——推理——判斷。所謂結(jié)論開放型

題是指其中判斷部分是未知要素的開放題，像本例這樣:誰與AGOE相似？并且此處的“誰”

不惟一。更為特殊的是其答案中有AGE4、AEDA.\FDC,其中后兩個(gè)三角形是全等的。

不同水平的考生可作出不同的回答，既能充分反映考生思維能力的差異又能促使考生的思維

發(fā)散。本例用于課堂教學(xué)將會(huì)有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，主動(dòng)參與學(xué)

習(xí)過程，且能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，使課堂充滿活力和生機(jī)。

例4（1996年江西省中考試題）如圖5,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。'的坐標(biāo)為（2、0）,。

。'與x軸交于原點(diǎn)。和點(diǎn)A。又8、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（0,3）、（0,b）,

且0＜。＜3。

（2）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段。。上移動(dòng)時(shí)，直線3E與。。'有哪幾種位置關(guān)系？并求出

每種

位置關(guān)系時(shí)，〃的取值范圍。

相對(duì)于點(diǎn)8與點(diǎn)C,點(diǎn)E條件被弱化，使得直線8E與。。'位置關(guān)系產(chǎn)生變化，從而

使本例成為結(jié)論開放型試題，像本例這樣的開放題具有一定的創(chuàng)新性和探究性，利于激發(fā)考

生的探究精神和創(chuàng)新意識(shí)。

三、三、策略開放型試題

例5（1996年宜昌市中考試題）如圖6,已知菱形ABC。的面積為加平方單位，

ZABC=\20°,EyF、G、4分別為AB、BC、CD、D4的中點(diǎn)。下面有四個(gè)結(jié)論:

E/\H

B/\/\D

中多邊形E8FG?！睘檎呅?

（2）圖中余弦值為2的不同角有且僅有24個(gè);

（3）圖中面積為4平方單位的不同菱形有且僅有8個(gè);

3m

（4）（4）圖中面積為8平方單位的不同梯形有且僅有8個(gè)。

其中錯(cuò)誤有結(jié)論有（）

（A）3個(gè)（B）0個(gè)（C）2個(gè)（D）l個(gè)

所謂策略型開放題是指條件與結(jié)論之間的推理是未知的，或者說解法有很多種的開放

題。如本例，我們可以用很多種不同的推理或計(jì)算方法逐一驗(yàn)證四個(gè)結(jié)論的真假，但是考生

則必須找到一條既省事又準(zhǔn)確的途徑來解決這個(gè)問題，因此學(xué)生的主體意識(shí)得以強(qiáng)化。

例6（1997年安徽省中考試題）如圖7,在平行四邊形ABC。中，

EF//BC,GH//AB,EFG”的交點(diǎn)P在8。上，P不是3。的中點(diǎn)，EF和G”把原

平行四邊形分成互不重疊的四個(gè)小平行四邊形。

AG

（1）（1）圖中哪兩個(gè)小平行四邊形的面積相等？為什么？

（2）（2）圖中哪些小平行四邊形相似？為什么？

由于題設(shè)中P不是8。的中點(diǎn)，考生很快就意識(shí)到面積相等的應(yīng)該是平行四邊形

和平行四邊形PG4E。證明方法也是多樣的，其中最佳方法是通過平行四邊形的對(duì)

角線平分其面積來實(shí)現(xiàn)。

四、四、綜合開放型試題

例7（1998年河北省中考試題）某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，

計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、8兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原

料9千克，乙種原料3千克，可獲利700元；生產(chǎn)一件5種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克，

乙種原料10千克，可獲利1200元。

（1）（1）按要求安排4、8兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來；

（2）（2）設(shè)生產(chǎn)A、8兩種產(chǎn)品獲總利潤為y（元），其中一種產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)為x,

試寫

出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？

最大利潤是多少？

所謂綜合開放型試題是指只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論都要考生到情境

中去自行設(shè)定或?qū)ふ业膯栴}。綜合開放型試題較多關(guān)注考生創(chuàng)新意識(shí)。創(chuàng)造能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用

意識(shí)。像本例這樣具有實(shí)際意義的開放題，在中專試卷上已多次出現(xiàn)。如寧波市（1993年）、

江蘇淮陰市（1996年）、廣州市（1996年）等，這就為初中