計量經(jīng)濟學(xué)（全套課件579P）

第二章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：一元線性回歸模型?????回歸分析概述一元線性回歸模型的參數(shù)估計一元線性回歸模型檢驗一元線性回歸模型預(yù)測實例§2.1回歸分析概述

一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù) 三、隨機擾動項 四、樣本回歸函數(shù)（SRF）§2.1回歸分析概述一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

1、變量間的關(guān)系

經(jīng)濟變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類： （1）確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關(guān)系。

（2）統(tǒng)計依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機變量間的關(guān)系。例如： 函數(shù)關(guān)系：

圓面積=f(π,半徑)=π?半徑2

統(tǒng)計依賴關(guān)系/統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系：

農(nóng)作物產(chǎn)量=f(氣溫,降雨量,陽光,施肥量)對變量間統(tǒng)計依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlation

analysis)或回歸分析(regression

analysis)來完成的：

正相關(guān)線性相關(guān)不相關(guān)相關(guān)系數(shù)：統(tǒng)計依賴關(guān)系負相關(guān)?1≤ρXY≤1

正相關(guān)有因果關(guān)系無因果關(guān)系回歸分析相關(guān)分析非線性相關(guān)不相關(guān) 負相關(guān)▲注意：①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)；②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系；③回歸分析/相關(guān)分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。

④相關(guān)分析對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的?；貧w分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是。2、回歸分析的基本概念回歸分析(regression

analysis)是研究一個變量關(guān)于另一個（些）變量的具體依賴關(guān)系的計算方法和理論。其用意：在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值。

這里：前一個變量被稱為被解釋變量（Explained

Variable）或應(yīng)變量（Dependent

Variable），后一個（些）變量被稱為解釋變量（Explanatory

Variable）或自變量（Independent

Variable）?；貧w分析構(gòu)成計量經(jīng)濟學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：（1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟計量模型參數(shù)進行估計，求得回歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；（3）利用回歸方程進行分析、評價及預(yù)測。二、總體回歸函數(shù)

由于變量間關(guān)系的隨機性，回歸分析關(guān)心的是根 據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體 均值，即當(dāng)解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關(guān) 的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應(yīng)值的平均值。

例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。

為達到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。表2.1.1某社區(qū)家庭每月收入與消費支出統(tǒng)計表 每月家庭可支配收入X（元）8005611100 6381400 86917001023200012542300140826001650290019693200209035002299594627748814913924110011441309136414521738155117491991204621342178232125306388479791155139715951804206822662629每月家93596828602871101210451078 1122 11551210124312541298133114081474149614961562165018481672188116831925171619691749 20132101218922332244229923542486255225852640庭消費支出2310

1188121013641408143015731606165017712035180421011870 2112

Y（元）14851716194722002002共計242049501149516445193052387025025214502128515510

分析：

（1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同； （2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditional

distribution）是已知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件均值（conditional

mean）或條件期望（conditional

expectation）：

E(Y|X=Xi)

該例中：E(Y

|

X=800)=561

描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。

350030002500200015001000 500 0

每 月 消 費 支 出

Y（元）5001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）?概念：在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（population

regression

line），或更一般地稱為總體回歸曲線（population

regression

curve）。相應(yīng)的函數(shù)：E(Y|Xi)=f(Xi)稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（population

regression

function,

PRF）。?含義：

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。?函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時:E(Y|Xi)=β0+β1Xi為一線性函數(shù)。其中，β0，β1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regression

coefficients）。。

三、隨機擾動項

總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。 但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。記μi=Yi?E(Y|Xi)稱μi為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochastic

disturbance）或隨機誤差項（stochastic

error）。例2.1中，個別家庭的消費支出為：(*)（1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）即，給定收入水平Xi,個別家庭的支出可表示為兩部分之和:或確定性（deterministic)部分。（2）其他隨機或非確定性（nonsystematic)部分μi。（*）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。隨機誤差項主要包括下列因素的影響：

1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；

2）變量觀測值的觀測誤差的影響；

3）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；

4）其它隨機因素的影響。產(chǎn)生并設(shè)計隨機誤差項的主要原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則。

四、樣本回歸函數(shù)（SRF）

總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？ 如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？

例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，

問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？

表2.1.3家庭消費支出與可支配收入的一個隨機樣本YX8005941100 6381400112217001155200014082300159526001969290020783200258535002530回答：能核樣本的散點圖（scatter

diagram)：樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sample

regression

lines）。記樣本回歸線的函數(shù)形式為：Y?i=f(Xi)=β?0+β?1Xi稱為樣本回歸函數(shù)（sample

regression

function，SRF）。這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代注意：則樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：Yi=Y?i+μ?i=β?0+β?1Xi+ei式中，ei稱為（樣本）殘差（或剩余）項（residual），代表了其他影響Yi的隨機因素的集合，可看成是μi的估計量μ?i。由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，因此也稱為樣本回歸模型（sample

regression

model）。

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。

即，根據(jù)估計

Yi=Y?i+ei=β?0+β?1Xi+eiYi=E(Y|Xi)+μi=β0+β1Xi+μi注意：這里PRF可能永遠無法知道?！?.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計一、一元線性回歸模型的基本假設(shè)二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）三、參數(shù)估計的最大或然法(ML)四、最小二乘估計量的性質(zhì)五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干 擾項方差的估計

單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型分為兩大類：

線性模型和非線性模型?線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系?非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系

一元線性回歸模型：只有一個解釋變量Yi=β0+β1Xi+μii=1,2,…,nY為被解釋變量，X為解釋變量，β0與β1為待估參數(shù)，μ為隨機干擾項

回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。

估計方法有多種，其種最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinary

least

squares,

OLS）。為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設(shè)。注：實際這些假設(shè)與所采用的估計方法緊密相關(guān)。

一、線性回歸模型的基本假設(shè)

假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量；

假設(shè)2、隨機誤差項μ具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：

E(μi)=0i=1,2,…,nVar(μi)=σμ2i=1,2,…,n

Cov(μi,

μj)=0

i≠j

i,j=

1,2,

…,n假設(shè)3、隨機誤差項μ與解釋變量X之間不相關(guān)：

Cov(Xi,

μi)=0

i=1,2,

…,n假設(shè)4、μ服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布

μi~N(0,

σμ2)

i=1,2,

…,n注意：1、如果假設(shè)1、2滿足，則假設(shè)3也滿足;2、如果假設(shè)4滿足，則假設(shè)2也滿足。

以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（Classical

Linear

Regression

Model,

CLRM）。

另外，在進行模型回歸時，還有兩個暗含的 假設(shè)：

假設(shè)5：隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即∑n→∞(Xi?X)2/n→Q,

假設(shè)6：回歸模型是正確設(shè)定的

假設(shè)5旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spurious

regression

problem）。 假設(shè)6也被稱為模型沒有設(shè)定偏誤（specification

error）∑∑+?=?=iiiiXYYYQ210))??(()?(ββ二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）給定一組樣本觀測值（Xi,

Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值.普通最小二乘法（Ordinary

least

squares,

OLS）給出的判斷標準是：二者之差的平方和nn211最小。方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normal

equations）。記(∑Xi)21n∑xi2=∑(Xi?X)2=∑Xi2?∑Xi∑Yi1n∑xiyi=∑(Xi?X)(Yi?Y)=∑XiYi??????

上述參數(shù)估計量可以寫成：?β=Σxiyi

12

?β0=Y?β1X稱為OLS估計量的離差形式（deviation

form）。 由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量（ordinary

least

squares

estimators）。順便指出，記y?i=Y?i?Y則有y?i=(β?0+β?1Xi)?(β?0+β?1X+e)

=β?1(Xi?X)?1n∑ei可得y?i=β?1xi（**）

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。注意：

在計量經(jīng)濟學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差。三、參數(shù)估計的最大或然法(ML)最大或然法(Maximum

Likelihood,簡稱ML)，也稱最大似然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)?；驹恚簩τ谧畲蠡蛉环ǎ?dāng)從模型總體隨機抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。

在滿足基本假設(shè)條件下，對一元線性回歸模型：

Yi=β0+β1Xi+μi隨機抽取n組樣本觀測值（Xi,

Yi）（i=1,2,…n）。 假如模型的參數(shù)估計量已經(jīng)求得，為 那么Yi服從如下的正態(tài)分布：

Yi~N(β?0+β?1Xi,σ2)

于是，Y的概率函數(shù)為2e

12σ

1σ2π(Yi?β?0?β?1Xi)2?P(Yi)=（i=1,2,…n）(2π)σn因為Yi是相互獨立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即或然函數(shù)(likelihoodfunction)為：

L(β?0,β?1,σ2)=P(Y1,Y2,???,Yn)21

n

2e

12σΣ(Yi?β?0?β?1Xi)2?=

將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量。=?nln(2πσ)?

由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價的，所以，取對數(shù)或然函數(shù)如下：

L*=ln(L)Σ(Yi?β?0?β?1Xi)2

12σ2?ΣΣ?ΣΣ2?iiiiiXYXYX?=0β?ΣΣ?Σ?iiiiXYXYnβ=1解得模型的參數(shù)估計量為：??nΣXi2?(ΣXi)2??nΣXi2?(ΣXi)2

可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計量與普通最小二乘估計量是相同的。

例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表2.2.1進行。表2.2.1參數(shù)估計的計算表XiYixiyixiyixi2yi2Xi2Yi21800594-135021100638-1050-97313140901822500947508-9299758701102500863784

6400003528361210000407044314001122-750-44533405056250019838119600001258884-412185580202500170074-159239102250025408 28414022500762 402180720202500161283 5113829505625002607121018106848011025001035510 96312995101822500926599 576930074250004590020

28900001334025 40000001982464 52900002544025 67600003876961 841000043180841024000066822251225000064009005365000029157448

417001155-450 520001408-150 623001595150 726001969450 829002078750 9320025851050 10350025301350求和2150015674平均21501567∑x57693007425000=0.777=i∑xiy

2

iβ?1=

β?0=Y?β?0X=1567?0.777×2150=?103.172因此，由該樣本估計的回歸方程為：

Y?i=?103.172+0.777Xi四、最小二乘估計量的性質(zhì)

當(dāng)模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性：（1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)；（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。這三個準則也稱作估計量的小樣本性質(zhì)。

擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量（best

liner

unbiased

estimator,

BLUE）。當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時，需進一步考察估計量的大樣本或漸近性質(zhì)：（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。高斯—馬爾可夫定理(Gauss‐Markovtheorem)在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量?！苮2、無偏性，即估計量β?0、β?1的均值（期望）等于總體回歸參數(shù)真值β0與β1

證：β?1=∑kiYi=∑ki(β0+β1Xi+μi)=β0∑ki+β1∑kiXi+∑kiμi易知=0∑xi

2

i∑ki==1i∑kiX故β?1=β1+∑kiμi

E(β?1)=E(β1+∑kiμi)=β1+∑kiE(μi)=β1同樣地，容易得出

E(β?0)=E(β0+∑wiμi)=E(β0)+∑wiE(μi)=β0?xi=∑???σ=??1?n?2?σ=?∑x+nXn∑x∑X=∑????2?2?1Xki+Xki?σ=???2X???n∑x∑ki+X∑?x2????σ2??3、有效性（最小方差性），即在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量β?0、β?1具有最小方差。

(1)先求β?0與β?1的方差

var(β?1)=var(∑kiYi)=∑ki2var(β0+β1Xi+μi)=∑ki2var(μi)?22i?i

σ2∑x2?xi?∑x2var((β?0)=var((∑wiYi)=∑wi2var((β0+β1Xi+μi)=∑(1/n?Xki)2σ22222??????nn1n??1?2??n??∑i2σ2σ2=?=?+ ?2i

2i

2

i2i

X2∑xi2（2）證明最小方差性假設(shè)β?1*是其他估計方法得到的關(guān)于β1的線性無偏估計量：

β?1*=∑ciYi

其中，ci=ki+di，di為不全為零的常數(shù) 則容易證明

var((β?1*)≥var((β?1)

同理，可證明β0的最小二乘估計量β?0具有最的小方差

普通最小二乘估計量（ordinary

least

Squares

Estimators）稱為最佳線性無偏估計量（best

linear

unbiased

estimator,

BLUE）Plim(∑xiμi/n)Plim(∑xi2/n)

由于最小二乘估計量擁有一個“好”的估計量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。?∑xiμi)

∑x2iPlim(β1)=Plim(β1+∑kiμi)=Plim(β1)+Plim(=β1+=β1=β1+=β1+

0QCov(X,μ)

Qn∑x

五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計1、參數(shù)估計量β?0和β?1的概率分布)β?1~N(β1,σ2)∑Xi2

2i

σ2∑xβ?0~N(β0,

2i?iσβ1=σ2/∑x2?σ2∑Xi2

n∑xi2σβ0=

2、隨機誤差項μ的方差σ2的估計

σ2又稱為總體方差。 由于隨機項μi不可觀測，只能從μi的估計——殘差ei出發(fā)，對總體方差進行估計。

可以證明，σ2的最小二乘估計量為∑e2

n?2iσ?2=它是關(guān)于σ2的無偏估計量。在最大或然估計法中，因此，σ2的最大或然估計量不具無偏性，但卻具有一致性。

2和β?1的方差和標準差的估計量分別是：β?∑1的樣本方差：2??xi2Sβ1=σ2∑???xi2β1的樣本標準差：Sβ1=σβ?0的樣本方差：2??iSβ0=σ2∑Xi2n∑x2∑???Xi2n∑xi2β0的樣本標準差：Sβ0=σ§2.3

一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一、擬合優(yōu)度檢驗二、變量的顯著性檢驗三、參數(shù)的置信區(qū)間?回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總 體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總 體回歸線。?盡管從統(tǒng)計性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重

復(fù)抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等 于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計 值不一定就等于該真值。?那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值 的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進 行統(tǒng)計檢驗。?主要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗

及參數(shù)的區(qū)間估計。一、擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？1、總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線Y?i=β?0+β?1Xiyi=Yi?Y=(Yi?Y?i)+(Y?i?Y)=ei+y?i如果Yi=?i

即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。

對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：記TSS=∑yi2=∑(Yi?Y)2

ESS=∑y?i2=∑(Y?i?Y)2

RSS=∑ei2=∑(Yi?Y?i)2總體平方和（Total

Sum

of

Squares）回歸平方和（Explained

Sum

of

Squares）殘差平方和（Residual

Sum

of

Squares）TSS=ESS+RSS

Y的觀測值圍繞其均值的總離差(total

variation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS2、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量RSSTSSESSTSSR==1?記2

稱R2

為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficient

of

determination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]

R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。?∑xi2?∑y2??2∑x2R=β?1∑yi在實際計算可決系數(shù)時，在β?1已經(jīng)估計出后：??R2=β?12? ?i在例2.1.1的收入‐消費支出例中，(0.777)2×7425000 459002022=0.9766=

注：可決系數(shù)是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對可決系數(shù)的統(tǒng)計可靠性也應(yīng)進行檢驗，這將在第3章中進行。二、變量的顯著性檢驗回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。變量的顯著性檢驗所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗。計量經(jīng)計學(xué)中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。1、假設(shè)檢驗?所謂假設(shè)檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。?假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。

先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。?判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的σ∑x2、變量的顯著性檢驗)β?1~N(β1,

2i

σ2∑x?=~t(n?2)t=

2iβ?1?β1

Sβ1β?1?β1 2

檢驗步驟：（1）對總體參數(shù)提出假設(shè)H0：β1=0，H1：β1≠0（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值?

β?1Sβ1t=（3）給定顯著性水平α，查t分布表，得臨界值t

α/2(n‐2)

(4)

比較，判斷 若|t|>

t

α/2(n‐2)，則拒絕H0，接受H1；

若|t|≤t

α/2(n‐2)，則拒絕H1，接受H0；∑Xn∑x∑e

對于一元線性回歸方程中的β0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗：?2=~t(n?2)t=

β?0Sβ0σ?β?0?β0 22

ii在上述收入-消費支出例中，首先計算σ2的估計值2=134024590020?0.7772×7425000 10?2===∑y2i

2

in?2

?β?12∑xi2n?2σ???∑xi2=13402/7425000=0.0018=0.0425Sβ1=σ2??iSβ0=σ2∑Xi2n∑x2=13402×53650000/10×7425000=98.41t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為：????t1=β1Sβ1=0.7770.0425=18.29t0=β0Sβ0=?103.1798.41=?1.048給定顯著性水平α=0.05，查t分布表得臨界值t

0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，說明家庭可支配收入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；|t2|<2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。三、參數(shù)的置信區(qū)間

假設(shè)檢驗可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。

要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計。P(β??δ≤β≤β?+δ)=1?α如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；1‐α稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），α稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。一元線性模型中，βi(i=1，2）的置信區(qū)間:

在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：?~t(n?2)t=β?i?βi

sβi（1-是(1-

意味著，如果給定置信度（α），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-tα/2,tα/2)的概率是(α)。表示為：

P(?tα<t<tα)=1?α22即$$βi?βi

sβiP(?tα<

2<tα)=1?α

2$$$$22P(βi?tα×sβi<βi<βi+tα×sβi)=1?α到:(1-下,

于是得到:(1α)的置信度下βi的置信區(qū)間是

ii

22

在上述收入-消費支出例中，如果給定α=0.01，查表得：

tα(n?2)=t0.005(8)=3.355

2由于?Sβ1=0.042?Sβ0=98.41于是，β1、β0的置信區(qū)間分別為： （0.6345,0.9195)

（-433.32,226.98）

由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。要縮小置信區(qū)間，需

（1）增大樣本容量n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越?。煌瑫r，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減?。?/p>

（2）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小?！?2.44

一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測問題一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個值Y0的一個無偏估計二、總體條件均值與個值預(yù)測值的置信區(qū)間對于一元線性回歸模型Y?i=β?0+β?1Xi給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測值?

0，可以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個近似估計。注意：嚴格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值，而不是預(yù)測值。原因因:（1）參數(shù)估計量不確定；（2）隨機項的影響

一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個值Y0的一個無偏估計

對總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=β0+β1X，X=X0時

E(Y|X=X0)=β0+β1X0

Y?0=β?0+β?1X0于是E(Y?0)=E(β?0+β?1X0)=E(β?0)+X0E(β?1)=β0+β1X0可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計。對總體回歸模型Y=β0+β1X+μ，當(dāng)X=X0時Y0=β0+β1X0+μ于是E(Y0)=E(β0+β1X0+μ)=β0+β1X0+E(μ)=β0+β1X0E(Y?0)=E(β?0+β?1X0)=E(β?0)+X0E(β?1)=β0+β1X0?β~N(β,σ∑xi∑Xn∑x

二、總體條件均值與個值預(yù)測值的置信區(qū)間

1、總體均值預(yù)測值的置信區(qū)間由于Y?0=β?0+β?1X02)112,σ2)2i

2

iβ?0~N(β0

于是可以證明

E(Y?0)=E(β?0)+X0E(β?1)=β0+β1X0Var(Y?0)=Var(β?0)+2X0Cov(β?0,β?1)+X02Var(β?1)

Cov(β?0,β?1)=?σ2X/∑xi2∑xi?σ2??∑Xi?nX∑x?n+X?2X0X+X???+(X0?X)2)=σ(+∑xiY?0~N(β0+β1X0,σ(+∑xi=σ?(+因此+?Var(Y?0)=2X0Xσ2 2X02σ2∑xi2σ2∑Xi2

n∑xi2?=022222i(

2i=)(X0?X)2 221

n∑x n

σ2∑x

2i故))(X0?X)2 221

n?~t(n?2)t=Y?0?(β0+β1X0)

SY0)?i(X0?X)2

∑x221

nSY0其中????于是，在1‐α的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

Y0?tα×SY0<E(Y|X0)<Y0+tα×SY0 22Y?0?Y0~N(0,σ(1+∑xi=σ?(1+2、總體個值預(yù)測值的預(yù)測區(qū)間由Y0=β0+β1X0+μ知:

Y0~N(β0+β1X0,σ2)于是))2+(X0?X)2 21n?~t(n?2)t=Y?0?Y0

SY0?Y0式中:)2?+i(X0?X)2

∑x21nSY0?Y0????從而在1‐α的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

Y0?tα

×SY0?Y0<Y0<Y0+tα×SY0?Y0 22Var(Y?0)=13402??=3727.29?在上述收入‐消費支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為

Y?i=?103.172+0.777Xi則在X0=1000處，?0=

–103.172+0.777×1000=673.84而?1?10(1000?2150)2?

7425000+

S(Y?0)=61.05

因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：673.84‐2.306×61.05<

E(Y|X=1000)<673.84+2.306×61.05或（533.05,

814.62）同樣地，對于Y在X=1000的個體值，其95%的置信區(qū)間為：

673.84

‐2.306×61.05<Yx=1000<673.84

+

2.306×61.05或(372.03,

975.65)

?總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidence

band）?個體的置信帶（域）對于Y的總體均值E(Y|X)與個體值的預(yù)測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測精度越高，反之預(yù)測精度越低；（2）樣本容量一定時，置信帶的寬度當(dāng)在X均值處最小，其附近進行預(yù)測（插值預(yù)測）精度越大；X越遠離其均值，置信帶越寬，預(yù)測可信度下降?！?2.55

實例：時間序列問題一、中國居民人均消費模型二、時間序列問題

一、中國居民人均消費模型

例2.5.1考察中國居民收入與消費支出的關(guān)系。GDPP：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（1990年不變價）CONSP：人均居民消費（以居民消費價格指數(shù)（1990=100）縮減）。

表2.5.1中國居民人均消費支出與人均GDP（元/人）年份19781979198019811982198319841985198619871988人均居民消費

CONSP 395.8 437.0 464.1 501.9 533.5 572.8 635.6 716.0 746.5 788.3 836.4人均GDP GDPP 675.1 716.9 763.7 792.4 851.1 931.4 1059.2 1185.2 1269.6 1393.6 1527.0年份19901991199219931994199519961997199819992000人均居民消費

CONSP 797.1 861.4 966.6 1048.6 1108.7 1213.1 1322.8 1380.9 1460.6 1564.4 1690.8人均GDP GDPP 1602.3 1727.2 1949.8 2187.9 2436.1 2663.7 2889.1 3111.9 3323.1 3529.3 3789.71989779.71565.9該兩組數(shù)據(jù)是1978~2000年的時間序列數(shù)據(jù)（timeseriesdata）；前述收入‐消費支出例中的數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)（cross‐sectional

data）。1、建立模型擬建立如下一元回歸模型CONSP=C+βGDPP+μ采用Eviews軟件進行回歸分析的結(jié)果見下表

表2.5.2中國居民人均消費支出對人均GDP的回歸（1978~2000）LS//DependentVariableisCONSPSample:19782000Includedobservations:23VariableCGDPP1Coefficient 201.1071 0.386187Std.Error14.88514 0.007222t-Statistic13.5106053.47182

Prob.0.00000.0000R-squared0.992709AdjustedR-squared0.992362MeandependentvarS.D.dependentvar

905.3331380.6428S.E.ofregression33.26711Akaikeinfocriterion7.092079Sumsquaredresid23240.71Loglikelihood-112.1945SchwarzcriterionF-statistic7.1908182859.235Durbin-Watsonstat0.550288Prob(F-statistic)0.000000一般可寫出如下回歸分析結(jié)果：

(13.51)

(53.47) R2=0.9927

F=2859.23

DW=0.5503

2、模型檢驗R2=0.9927T值：C：13.51，GDPP：53.47

臨界值:

t0.05/2(21)=2.08斜率項：0<0.3862<1，符合絕對收入假說3、預(yù)測2001年：GDPP=4033.1（元）（90年不變價）點估計：CONSP2001=201.107

+

0.3862×4033.1

=

1758.7（元）2001年實測的CONSP（1990年價）:1782.2元，相對誤差:‐1.32%。2001年人均居民消費的預(yù)測區(qū)間

人均GDP的樣本均值與樣本方差：

E(GDPP)=1823.5

Var(GDPP)=982.042=964410.4

在95%的置信度下，E(CONSP2001)的預(yù)測區(qū)間為：)

123(4033.1?1823.5)2(23?1)×964410.4+×(23240.71 23?21758.7±2.306×=1758

1758.7±40.13或：（1718.6,1798.8） 同樣地，在95%的置信度下，CONSP2001的預(yù)測區(qū)間為：)

123+×(1+1758.7±2.306×(4033.1?1823.5)2(23?1)×964410.423240.71 23?2=1758.7±86.57或（1672.1,

1845.3）二、時間序列問題上述實例表明，時間序列完全可以進行類似于截面數(shù)據(jù)的回歸分析。然而，在時間序列回歸分析中，有兩個需注意的問題：第一，關(guān)于抽樣分布的理解問題。能把表2.5.1中的數(shù)據(jù)理解為是從某個總體中抽出的一個樣本嗎？第二，關(guān)于“偽回歸問題”（spuriousregressionproblem）。可決系數(shù)R2，考察被解釋變量Y的變化中可由解釋變量X的變化“解釋”的部分。這里“解釋”能否換為“引起”?

在現(xiàn)實經(jīng)濟問題中，對時間序列數(shù)據(jù)作回歸，即使兩個變量間沒有任何的實際聯(lián)系，也往往會得到較高的可決系數(shù)，尤其對于具有相同變化趨勢（同時上升或下降）的變量，更是如此。 這種現(xiàn)象被稱為“偽回歸”或“虛假回歸”。第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：多 元回歸多元線性回歸模型多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型的預(yù)測回歸模型的其他形式回歸模型的參數(shù)約束??????§33.11

多元線性回歸模型一、多元線性回歸模型二、多元線性回歸模型的基本假定

一、多元線性回歸模型

多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式：Yi=β0+β1X1i+β2X2i+???+βkXki+μii=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，βj稱為回歸參數(shù)（regression

coefficient）。 習(xí)慣上：把常數(shù)項看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣：

模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）Yi=β0+β1X1i+β2X2i+???+βkXki+μi也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機表達形式。它的非隨機表達式為:E(Yi|X1i,X2i,LXki)=β0+β1X1i+β2X2i+???+βkXki方程表示：各變量X值固定時Y的平均響應(yīng)。βj也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;或者說βj給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。?1?MM??β??μ??M?μn?n×1總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式為

Y=Xβ+μ

其中

?1X=? ? ?1

Xk1?Xk2?? ?Xkn?n×(k+1)X21X22

MX2nX11X12

MX1nLLL

?β0? ?1?β=?β2? ?? ?M? ??βk??(k+1)×1

?μ1?μ=?2? ?? ??β?0?β=??e1?e=?

樣本回歸函數(shù)：用來估計總體回歸函數(shù)

Y?i=β?0+β?1X1i+β?2X2i+L+β?kiXki其隨機表示式:

Yi=β?0+β?1X1i+β?2X2i+L+β?kkiXkki+ei

ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總 體回歸函數(shù)中隨機擾動項μi的近似替代。

樣本回歸函數(shù)的矩陣表達:??Y=Xβ或Y=Xβ+e?其中：?

????β1? ? ?M? ?βk?????????e2??M??en?

二、多元線性回歸模型的基本假定

假設(shè)1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。

假設(shè)2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性

E(μi)=0Var(μi)=E(μi2)=σ2i≠ji,j=1,2,L,n

Cov(μi,μj)=E(μiμj)=0假設(shè)3，解釋變量與隨機項不相關(guān)j=1,2L,k

Cov(Xji,μi)=0假設(shè)4，隨機項滿足正態(tài)分布

μi~N(0,σ2)?μ1??E(μ1)???μ1???μ1E(μμ′)=E??M?(μ1Lμn)?=E?M??μ??μμ?n??∑μi???∑X1iμi?M?∑X1iE(μi)?=??=0上述假設(shè)的矩陣符號表示式：

假設(shè)1，n×(k+1)矩陣X是非隨機的，且X的秩ρ=k+1，即X滿秩。假設(shè)2，)????

????E(μ=E?M?=?M?=0

?μn??E(μn)???2?1??????