高中數(shù)學(xué)-2.3.1　數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與分析1.教學(xué)基本流程復(fù)習(xí)引入入手復(fù)習(xí)引入入手形象認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納原理數(shù)學(xué)歸納法典型事例分析數(shù)學(xué)歸納法的定義多米諾骨牌形象給出數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)（通過(guò)例1）說(shuō)出數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程練習(xí)交流反饋鞏固學(xué)生歸納小結(jié)教師評(píng)價(jià)2、教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境引入新課

6分鐘初步探索概念形成17分鐘

概念深化

延伸拓展7分鐘證法探究小結(jié)評(píng)價(jià)作業(yè)創(chuàng)新5分鐘提出問(wèn)題：從前有一位畫(huà)家，為了測(cè)試他的三個(gè)徒弟對(duì)繪畫(huà)奧妙的掌握程度，就把他們叫來(lái)，讓他們用最少的筆墨，畫(huà)出最多的馬．第一個(gè)徒弟在卷子上密密麻麻地畫(huà)了一群馬；第二個(gè)徒弟為了節(jié)省筆墨，只畫(huà)出許多馬頭；第三個(gè)徒弟在紙上用筆勾畫(huà)出兩座山峰，再?gòu)纳焦戎凶叱鲆黄ヱR，后面還有一匹只露出半截身子的馬．

多媒體：三張畫(huà)稿交上去，評(píng)判結(jié)果是最后一幅畫(huà)被認(rèn)定為佳作，構(gòu)思巧妙，筆墨經(jīng)濟(jì)，以少勝多！問(wèn)題一：這第三張畫(huà)稿只畫(huà)了一匹半馬，為何能勝過(guò)一群馬呢？你知道其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)推理嗎？

這里面蘊(yùn)含了歸納推理的思想。歸納推理的結(jié)果不一定正確。可是也不能說(shuō)它是錯(cuò)誤的。第三幅話你能想到有很多馬，也可能猜測(cè)。就2匹馬，可是這都不得而知。要弄清楚它正確與否?？梢越o出證明。于是有人就設(shè)計(jì)了這樣的證明過(guò)程。提出問(wèn)題：如何說(shuō)明歸納猜想的正確性？案例分析：

問(wèn)題二：能否用自己的理解說(shuō)說(shuō)以上證明的正確性？為什么？問(wèn)題三：以上證明方法有幾個(gè)步驟？分三步：1.確定初始值。2.找到遞推關(guān)系。

3.說(shuō)明結(jié)論的正確性。

教師：展示。展示以上等式的證明過(guò)程。

進(jìn)一步提問(wèn):如何判斷證明思考梳理數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟跟蹤練習(xí)：（學(xué)生思考，處理數(shù)學(xué)歸納法的證明，討論得到正確的答案。數(shù)學(xué)思維展示臺(tái)展示）觀察給出結(jié)論那與本節(jié)課的內(nèi)容有什么關(guān)系呢？觀察思考，例子中的基本數(shù)學(xué)原理觀察案例，能夠判斷其正確性。并能說(shuō)明正確的原理?；仡櫟玫降脑硪约笆崂碜C明。完成課堂反饋此環(huán)節(jié)為創(chuàng)設(shè)情境。用學(xué)生存在的實(shí)際問(wèn)題入手，更能抓住學(xué)生的注意力，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。抓住這一點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了這節(jié)課的引例，切合實(shí)際，讓學(xué)生有種親切感，第二，再給出證明歸納才洗猜想的事例實(shí)際問(wèn)題入手，再過(guò)渡到數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)歸納法問(wèn)題問(wèn)題，從而引出課題，數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是數(shù)學(xué)歸納法環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上，從學(xué)生熟知的入手，從對(duì)案例認(rèn)識(shí)過(guò)渡到數(shù)學(xué)歸納法證明的直觀感受。通過(guò)練習(xí)，完善感性認(rèn)識(shí)。通過(guò)啟發(fā)式提問(wèn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“案例分析到一般的過(guò)程

在此還提出數(shù)學(xué)歸納法注意的問(wèn)題掃清障礙通過(guò)上面的問(wèn)題，學(xué)生已經(jīng)從描述性語(yǔ)言過(guò)渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言。而對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)生還缺乏準(zhǔn)確理解，因此在這里通過(guò)問(wèn)題深入研討加深學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的理解。

強(qiáng)調(diào)返璞歸真”因此本題不再?gòu)淖C明角度，而是讓學(xué)生再次從定義出發(fā)，尋求方法，并體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在問(wèn)題四的背景下解決本題，體會(huì)在運(yùn)動(dòng)中滿足任意性使學(xué)生對(duì)概念的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程有清晰的認(rèn)識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念形成的主要三個(gè)階段：直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義

作業(yè)實(shí)現(xiàn)分層，滿足學(xué)生需求學(xué)情分析1.

基礎(chǔ)水平：一方面，學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)歸納推理的概念，初步認(rèn)識(shí)到歸納這種有一般都特殊的的數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法得到的結(jié)論不確定性。另一方面，學(xué)生在已經(jīng)初步的認(rèn)識(shí)案例中數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程．這些都是建立數(shù)學(xué)歸納法模型的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)．2.

認(rèn)知困難：學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：(1)用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)明確的表達(dá)自己的邏輯思維發(fā)展階段的高二學(xué)生來(lái)講，有一定的學(xué)習(xí)困難．(2)數(shù)學(xué)歸納的的抽象總結(jié)過(guò)程3.習(xí)慣培養(yǎng)：梳理歸納的習(xí)慣。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣。所以在本節(jié)課的教授過(guò)程中，要注重這些習(xí)慣的培養(yǎng)，要給學(xué)生點(diǎn)到指到，還必須做好示范。效果分析數(shù)學(xué)歸納法，自古以來(lái)就是數(shù)學(xué)中一種十分重要的常用的證明方法，人們可以從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。很多老師在上課時(shí)讓學(xué)生把數(shù)學(xué)歸納法想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些；如果你有一排很長(zhǎng)的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：（1）第一張骨牌將要倒下。（2）只要某一個(gè)骨牌倒了,與他相臨的下一個(gè)骨牌也要倒。那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。本節(jié)課利用這個(gè)作為引例不失為一個(gè)十分恰當(dāng)?shù)囊敕椒ㄎ覀冎溃脭?shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的普遍性在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒(méi)有必要再考察幾個(gè)正整數(shù)，即使命題對(duì)這幾個(gè)正整數(shù)都成立，也不能保證命題對(duì)其他正整數(shù)也成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立；證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)，但沒(méi)有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ)。只有把第一步和第二步結(jié)合在一起，才能獲得普遍性的結(jié)論：命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立。用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可。為什么缺一不可呢？要知道，一個(gè)命題，那怕是驗(yàn)算了百次、千次、萬(wàn)次，也只是有限次，并不能肯定這個(gè)命題的普遍正確性。為了證明命題對(duì)于任何一個(gè)正整數(shù)n（n有無(wú)限多），都是正確的，必須滿足數(shù)學(xué)歸納法所要求的第二條。公雞歸納法這類例子就是缺了第二條。同時(shí)，不要以為第一條看似簡(jiǎn)單就不屑一顧。缺了第一條的證明也是錯(cuò)誤的。比如：設(shè)有命題：n2=n2+1。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即k2=k2+1，在此式兩端各加2k+1，則有k2+2k+1=k2+1+2k+1，亦即(k+1)2=(k+1)2+1，這表示，當(dāng)n=k+1時(shí)，此命題也成立?？墒?，當(dāng)n=1時(shí)，左邊是1，右邊是2，命題顯然不成立。這里雖然推演出了第二條，但不符合第一條，這個(gè)證明是錯(cuò)誤的?？梢钥闯?，此式對(duì)任何正整數(shù)都是不成立的,是一個(gè)荒謬的命題。教材分析“數(shù)學(xué)歸納法”既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。它貫通了高中代數(shù)的幾大知識(shí)點(diǎn)：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)??在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)著力解決的內(nèi)容是：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用）。只有真正了解了數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握了證題步驟，學(xué)生才能信之不疑，才能用它靈活證明相關(guān)問(wèn)題。本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，有兩大難點(diǎn)：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中歸納假設(shè)的利用。不突破以上難點(diǎn)，學(xué)生往往會(huì)懷疑數(shù)學(xué)歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會(huì)對(duì)以后的學(xué)習(xí)造成極大的阻礙。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際水平，本節(jié)課采用“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法”和“講練結(jié)合法”。通過(guò)課件的動(dòng)畫(huà)模擬展示，引發(fā)和開(kāi)啟學(xué)生的探究熱情，通過(guò)“師生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深層實(shí)質(zhì)。評(píng)測(cè)練習(xí)教學(xué)反思1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問(wèn)題開(kāi)始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問(wèn)題，讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來(lái)，把本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容置于問(wèn)題之中，在逐漸展開(kāi)中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得知識(shí)體系的更新與拓展．3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時(shí)必須要用到n＝k時(shí)命題成立這個(gè)條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過(guò)程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向．教材分析“數(shù)學(xué)歸納法”既是高中代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。它貫通了高中代數(shù)的幾大知識(shí)點(diǎn)：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)??在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)著力解決的內(nèi)容是：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用）。只有真正了解了數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握了證題步驟，學(xué)生才能信之不疑，才能用它靈活證明相關(guān)問(wèn)題。本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一