中考數(shù)學(xué)壓軸題二次函數(shù)與圓

本文格式為Word版，下載可任意編輯——中考數(shù)學(xué)壓軸題二次函數(shù)與圓第四講：二次函數(shù)與圓綜合

中考要求

板塊

A級要求1.能根據(jù)實際情境了解二次函數(shù)的意義；2.會利用描點法畫出二次函數(shù)的圖像；考試要求B級要求1.能通過對實際問題中的情境分析確定二次函數(shù)的表達式；2.能從函數(shù)圖像上認識函數(shù)的性質(zhì)；3.會確定圖像的頂點、對稱軸和開口方向；4.會利用二次函數(shù)的圖像求出二次方程的近似解；C級要求1.能用二次函數(shù)解決簡單的實際問題；2.能解決二次函數(shù)與其他知識結(jié)合的有關(guān)問題；二次函數(shù)例題精講

一、二次函數(shù)與圓綜合

已知：拋物線M:y?x2?(m?1)x?(m?2)與x軸相交于A(x1，，0)B(x2，0)兩點，

且x1?x2．

（Ⅰ）若x1x2?0，且m為正整數(shù)，求拋物線M的解析式；

（Ⅱ）若x1?1，x2?1，求m的取值范圍；

（Ⅲ）試判斷是否存在m，使經(jīng)過點A和點B的圓與y軸相切于點C(0，2)，若存在，求出

M:y?x2?(m?1)x?(m?2)的值；若不存在，試說明理由；

（Ⅳ）若直線l:y?kx?b過點F(0，7)，與（Ⅰ）中的拋物線M相交于P，Q兩點，且使

解析式．

（Ⅰ）解法一：由題意得，x1x2?m?2?0．

解得，m?2．

m為正整數(shù)，∴m?1．∴y?x2?1．

PF1?，求直線l的FQ2解法二：由題意知，當x?0時，y?02?(m?1)?0?(m?2)?0．（以下同解法一）

解法三：??(m?1)2?4(m?2)?(m?3)2，

?(m?1)?(m?3)?x?，?x1??1，x2?2?m．

2又x1x2?0，（以下同解法一．）?x2?2?m?0．∴m?2．解法四：令y?0，即x2?(m?1)x?(m?2)?0，(x?1)(x?m?2)?0，∴．（以下同解法三．）x1??1，x2?2?m（Ⅱ）解法一：

x1?1，x2?1，?x1?1?0，x2?1?0．

，即x1x2?(x1?x2)?1?0．x1?x2??(m?1)，x1x2?m?2，

∴(m?2)?(m?1)?1?0．解得：m?1．∴m的取值范圍是m?1．解法二：由題意知，當x?1時，y?1?(m?1)?(m?2)?0．

解得：m?1．

∴m的取值范圍是m?1．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x1??1，x2?2?m．∴2?m?1x1?1，x2?1，∴m?1．∴m的取值范圍是m?1．

yyQ2O'DABOxC(0,2)QFP27PP1OQ1x

（Ⅲ）存在．

解法一：由于過A2)，所以A，B兩點的圓與y軸相切于點C(0，，B兩點在y軸的同側(cè)，∴x1x2?0．

由切割線定理知，OC2?OAOB，即22?x1x2．∴x1x2?4，∴x1x2?4.∴m?2?4.?m?6．

解法二：連接O?B，O?C．圓心所在直線x??設(shè)直線x?

bm?11?m，???2a221?m與x軸交于點D，圓心為O?，21?m則O?D?OC?2，O?C?OD?．

2AB，AB?x2?x1?(m?3)2?m?3，BD?2m?3∴BD?

2在Rt△O?DB中，O?D2?DB2?O?B2．?m?3??1?m?即22??????．解得m?6．

22????2?1．（Ⅳ）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1?x12?1，y2?x2220)Q(x2，0)．則PP過P，Q分別向x軸引垂線，垂足分別為P1(x1，，1∥FO∥1．

POPF所以由平行線分線段成比例定理知，1?．

OQ1FQ0?x11?，即x2??2x1．因此，

x2?02過P，Q分別向y軸引垂線，垂足分別為P2(0，y1)，Q2(0，y2)，

則PP2∥2．所以△FP2P∽△FQ2Q．?P2FFP．?FQ2FQ2?21?2(x12?1)?x2?1.7?y11??．?21?2y1?y2．

y2?72?23?2x12?4x12?1.?x12?4，?x1?2，或x1??2．

當x1?2時，點P(2，3)．直線l過P(2，，3)F(0，7)，?7?k?0?b，?b?7，??解得?3?k?2?b.k??2.??當x1??2時，點P(?2，3)．直線l過P(?2，，3)F(0，7)，?7?k?0?b，?b?7，??解得?

k?2.3?k?(?2)?b.??故所求直線l的解析式為：y?2x?7，或y??2x?7．

已知拋物線y?ax2?bx?c與y軸的交點為C，頂點為M，直線CM的解析式

y??x?2并且線段CM的長為22（1）求拋物線的解析式。

（2）設(shè)拋物線與x軸有兩個交點A（X1，0）、B（X2，0），且點A在B的左側(cè)，求線段AB的長。（3）若以AB為直徑作⊙N，請你判斷直線CM與⊙N的位置關(guān)系，并說明理由。

（1）解法一：由已知，直線CM：y=－x＋2與y軸交于點C（0,2）拋物線y?ax2?bx?c．過點C（0,2），

?b4ac?b2?,所以c=2，拋物線y?ax?bx?c的頂點M???在直線CM上，2a4a??24a?2?bb所以??2，解得b?0或b??2

4a2a1??1若b?0，點C、M重合，不合題意，舍去，所以b??2．即M?,2??

a??a2CM2?CQ2?QM2過M點作y軸的垂線，垂足為Q，在Rt?CMQ中，111所以，8?()2?[2?(2?)]2，解得，a??。

aa211∴所求拋物線為：y??x2?2x?2或y?x2?2x?2以下同下。

22解法二：由題意得C(0,2),設(shè)點M的坐標為M(x,y)

∵點M在直線y??x?2上，∴y??x?2由勾股定理得CM?x2?(y?2)2，∵CM?22∴x2?(y?2)2=22，即x2?(y?2)2?8?x1??2?x2?2?y??x?2解方程組?2，得，??2y?4y?0x?(y?2)?8??1?2∴M(?2,0)或M(2,0)

當M(?2,4)時，設(shè)拋物線解析式為y?a(x?2)2?4，∵拋物線過(0,2)點，

11∴a??，∴y??x2?2x?2

22當M(2,0)時，設(shè)拋物線解析式為y?a(x?2)2

11∵拋物線過(0,2)點，∴a?，∴y?x2?2x?2

2211∴所求拋物線為：y??x2?2x?2或y?x2?2x?2

22（2）∵拋物線與x軸有兩個交點，

1∴y?x2?2x?2不合題意，舍去。

21∴拋物線應(yīng)為：y??x2?2x?2

21拋物線與x軸有兩個交點且點A在B的左側(cè)，∴由?x2?2x?2?0，得

2AB?x1?x2?42（3）∵AB是⊙N的直徑，∴r=22，N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN=4設(shè)直線y??x?2與x軸交于點D，則D（2，0），∴DN=4，可得MN=DN，∴NG?DN?sin45??22=r?MDN?45?，作NG⊥CM于G，在Rt?NGD中，即圓心到直線CM的距離等于⊙N的半徑．∴直線CM與⊙N相切

已知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y?kx?4k的圖象與x軸交于點A，拋物線y?ax2?bx?c經(jīng)過O，

A兩點．

⑴試用含a的代數(shù)式表示b；

⑵設(shè)拋物線的頂點為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分．若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長及拋物線的解析式；

⑶設(shè)點B是滿足(2)中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得

4∠POA?∠OBA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

3yyPBxD'mOPDAxODAExOEAynDB

⑴解法一：∵一次函數(shù)y?kx?4k的圖象與x軸交于點A

∴點A的坐標為(4，0)

∵拋物線y?ax2?bx?c經(jīng)過O、A兩點∴c?0，16a?4b?0，∴b??4a

解法二：∵一次函數(shù)y?kx?4k的圖象與x軸交于點A∴點A的坐標為(4，0)

∵拋物線y?ax2?bx?c經(jīng)過O、A兩點∴拋物線的對稱軸為直線x?2

b∴x???2，∴b??4a

2a⑵由拋物線的對稱性可知，DO?DA

∴點O在⊙D上，且?DOA??DAO又由(1)知拋物線的解析式為y?ax2?4ax∴點D的坐標為(2，?4a)①當a?0時，

如圖1，設(shè)⊙D被x軸分得的劣弧為OmA，它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA，顯然OnA所在的圓與⊙D關(guān)于x軸對稱，設(shè)它的圓心為D'∴點D'與點D也關(guān)于x軸對稱∵點O在⊙D'上，且OD與⊙D'相切∴點O為切點，∴D'O?OD∴?DOA??D'OA?45?

∴?ADO為等腰直角三角形，∴OD?22∴點D的縱坐標為?2，∴?4a??2

1∴a?，b??4a??2

21∴拋物線的解析式為y?x2?2x

2②當a?0時，同理可得：OD?22

1拋物線的解析式為y??x2?2x

2121x?2x或y??x2?2x224⑶拋物線在x軸上方的部分上存在點P，使得∠POA?∠OBA

3設(shè)點P的坐標為(x,y)，且y?0

1①當點P在拋物線y?x2?2x上時(如圖2)

2∵點B是⊙D的優(yōu)弧上的一點

14∴∠OBA?∠ADO?45?，∴∠POA?∠OBA?60?

23EP過點P作PE?x軸于點E，∴tan∠POE?，

OEy∴?tan60?，∴y?3xx?y?3x???x1?4?23?x2?0，?由?解得：(舍去)?12y?0y?x?2x???y1?6?43?2?2綜上，⊙D