自然演繹邏輯導(dǎo)論第七周

自然演繹邏輯導(dǎo)論華南師大公管學(xué)院尹維坤1、邏輯學(xué)的對象2、邏輯學(xué)的性質(zhì)3、邏輯學(xué)的分類4、邏輯學(xué)的研究方法5、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)的作用邏輯學(xué)概觀14四月20233“邏輯”的含義：“邏輯”是一個外來詞，它是英文Logic的音譯，而英文Logic又源于希臘文λσγοs（邏各斯），其原意是指思想、言辭、理性、規(guī)律性等。“邏輯”常見的四種含義：1、指客觀事物的規(guī)律。例如：“搗蛋，失敗，再搗蛋，再失敗，直至滅亡——這是帝國主義和世界上一切反動派對待人民事業(yè)的邏輯。”2、指某種特殊的理論、觀點或看問題的方法。例如：“侵略者奉行的是強盜邏輯”3、指思維的規(guī)律、規(guī)則。例如：“寫文章要講邏輯”，“概念要明確，判斷要恰當，推理要合乎邏輯。”4、指邏輯學(xué)這門科學(xué)。例如：“大學(xué)生要學(xué)點邏輯”1、邏輯學(xué)的對象14四月20234思維的三種類型：詞項、命題、推論。狹義的邏輯：指研究推論形式的科學(xué)。廣義的邏輯：就是研究思維的形式及其規(guī)律以及邏輯方法的科學(xué)。廣義的邏輯除研究推理形式外，也研究與推理形式相關(guān)的各種命題形式、詞項及其種類、關(guān)系、定義、劃分等；還研究認識現(xiàn)實的一些邏輯方法以及邏輯理論的應(yīng)用。思維是認識的理性階段，在這個階段，人們在感性認識的基礎(chǔ)上，形成概念（詞項），并用其構(gòu)成判斷（命題）、推論。思維的內(nèi)容與形式：思維包括內(nèi)容和形式兩個方面。思維的內(nèi)容：當事物及其性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律反映在思維之中，就構(gòu)成了思維的內(nèi)容。例如：“貨幣”具有“固定充當一般等價物的商品”的性質(zhì)，就形成了“貨幣是固定充當一般等價物的商品”這一命題的內(nèi)容。思維的形式：思維在抽象掉具體內(nèi)容之后所具有的共同結(jié)構(gòu)，思維的形式又叫思維的邏輯形式。下面的三個命題，內(nèi)容各不相同：所以：不同的思維內(nèi)容可以有相同的思維形式。邏輯學(xué)重點研究的是思維的邏輯形式。72、邏輯學(xué)的性質(zhì)邏輯學(xué)的性質(zhì)全人類性基礎(chǔ)性工具性規(guī)范性各民族的語言所表達的思維形式，特別是推理形式是相同的，推出關(guān)系遵循的規(guī)律是相同的。這種性質(zhì)決定了邏輯學(xué)具有全人類性。任何學(xué)科都必須使用邏輯學(xué)，邏輯學(xué)是一門基礎(chǔ)性學(xué)科。二十世紀八十年代，聯(lián)合國教科文組織把邏輯學(xué)列為七大基礎(chǔ)學(xué)科之一。邏輯學(xué)提供的關(guān)于詞項、命題、推理、論辯、邏輯方法的理論，為人們學(xué)習(xí)、理解、掌握和研究其他科學(xué)提供了有力工具。邏輯學(xué)研究思維的形式結(jié)構(gòu)，具有很強的規(guī)范性。邏輯規(guī)律或規(guī)則，是人們進行正確思維和成功交際必須遵循的規(guī)范。3、邏輯學(xué)的分類14四月20239非形式化的方法邏輯學(xué)的研究方法形式化的方法公理化方法自然演繹方法4、邏輯學(xué)的研究方法10形式化方法形式化方法的作用:主要是能克服自然語言的歧義性。形式化方法的內(nèi)容:

1、把自然語言符號化，抽象和概括為形式語言。形式語言由兩部分組成：初始符號和形成規(guī)則。

2、對直觀意義的推理關(guān)系進行語形和語義的雙重刻畫。

3、證明對推理關(guān)系的雙重刻畫的重合性。

形式化方法是指用一套特制的符號,去表示詞項、命題、推理，從而對詞項、命題、推理的形式的研究，轉(zhuǎn)化為對形式符號表達式系統(tǒng)的研究的方法。11公理化方法公理系統(tǒng)是從一些公理出發(fā)，根據(jù)一定的規(guī)則，推演出一系列定理，它由初始概念、公理、定義、推理規(guī)則和定理構(gòu)成的演繹系統(tǒng)。建立公理化系統(tǒng)的具體步驟：1、把一組概念作為不加定義的初始概念，而其余概念叫導(dǎo)出概念，它們都由初始概念通過定義引入。2、從一組不加證明的公理出發(fā)，通過邏輯推理規(guī)則可推演出一系列的命題，這些命題叫定理，其推理過程叫證明。公理化方法是從初始概念和公理出發(fā)，利用它們定義其它一切概念以及推演出其它一切定理的演繹方法，也就是運用形式化手段建立公理系統(tǒng)的方法。12自然演繹方法自然演繹方法與公理化方法的不同點：（1）沒有公理；（2）只有推演規(guī)則；（3）系統(tǒng)的建立以接近日常推理為考慮的重點。自然演繹方法是一種強調(diào)推理規(guī)則的重要性，既可以從真前提推出真語句，也可從假設(shè)得出推斷的形式化方法。5、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)的作用處理方式：或者砍頭；或者絞死。選擇方法：被行刑人說一句話（短時即能判定真假），如果這句話是真話，那么處以絞刑；如果這句話是假的，就砍頭。

如果是你，你將說什么話？14四月202313“你將砍我的頭。”（1）如果你砍下我的頭，那么違背了你原來的決定。（2）如果你將我絞死，這也違背了你原來的決定。（3）或者你砍我的頭；或者你絞死我。（4）總之，都違背了你原來的決定。14四月2023141、提供認識客觀世界的工具和手段。

歸納邏輯（自然科學(xué)）；演繹邏輯（數(shù)學(xué)）

思維方法兩要素：邏輯和直覺；邏輯能教，直覺不能教。2、使思維和語言更有條理性和論證性。

自相矛盾的喻言；萬能上帝的爭論3、為各門學(xué)科提供基礎(chǔ)。

學(xué)科是系統(tǒng)的知識，系統(tǒng)是邏輯聯(lián)系起來的結(jié)構(gòu)5、學(xué)習(xí)邏輯學(xué)的作用14四月202317

莎士比亞在《威尼斯商人》里說，有一位品貌出眾的富家姑娘叫鮑西霞，許多王孫公子為之傾倒，但她遵循已故父親的遺囑，必須猜匣為婚。鮑西霞身邊有金、銀、鉛三只匣子，其中只有一只匣子里放著她的肖像，這三只匣上面各刻著一句話：金匣子上刻的是“肖像不在此匣中”，銀匣子上刻了“肖像在金匣中”，鉛匣子上刻了“肖像不在此匣中”，這三句話只有一句是真話。誰能根據(jù)這些情況猜中肖像放在哪只匣子里，她就嫁給誰。這里，如果誰能準確地運用排中思維，那他就是漂亮賢淑的鮑西霞的夫婿了。因為，金匣上刻的話就是說肖像不在金匣中，這與銀匣上刻的“肖像在金匣中”正好構(gòu)成矛盾關(guān)系，兩者必有一真。為了確保只有一句真話，那么鉛匣上的“肖像不在此匣中”必須是假話，由此可以判定鮑西霞的肖像就在鉛匣中。

第一章緒論181.1詞項、命題和推論1.1.1詞項詞項是具有意義（表達概念）的語詞。詞項的外延：該詞項所指稱的一類對象；詞項的內(nèi)涵：該詞項所指謂的一種屬性，并且這種屬性能夠把一類對象與他類對象區(qū)別開來。人是能夠制造和使用工具的動物；人是有思維、有語言的動物。詞項的內(nèi)涵與外延并不總是對應(yīng)的，有些詞項有內(nèi)涵無外延；有些詞項外延相同但內(nèi)涵不同。19詞項的分類從詞項的外延看：空詞項、單獨詞項、普遍詞項；

（論域）

（一名多人）從詞項的作用看：個體詞項、屬性詞項、邏輯詞項；一種特殊（只能放在命題中進行）的分類：集合詞項，詞項的含義不能分配到其外延的成員上；非集合詞項，詞項的含義可以分配到其外延的成員上。（一般說來，集合概念前面不能加全稱量詞“所有”；而非集合概念和普遍概念都可以加全稱量詞。）（中國人是勤勞的；我是中國人；所以我是勤勞的。）集合與非集合詞項的劃分要考慮語境。2014四月202321詞項也是表達概念的語詞。大學(xué)生們是否繞松鼠走了一圈？14四月20232214四月2023231.1.2定義定義的作用在于規(guī)定或說明一個詞項的意義。分為內(nèi)涵定義和外延定義；內(nèi)涵定義：規(guī)定或說明一個詞項的意義。最常用的的內(nèi)涵定義方法：屬加種差（最好是臨近的種差）天文學(xué)是研究天體演化及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。（活動）人是具有語言和思維能力的動物。（事物）24內(nèi)涵和外延之間的反變關(guān)系具有屬種關(guān)系的兩個詞項（概念），如果一個詞項的外延大則其內(nèi)涵少；如果其內(nèi)涵多則外延小?？紤]這樣一個語句序列：“活著的人”﹑“有脊梁骨的活著的人”﹑“有脊梁骨而小于一千歲的活著的人”﹑“有脊梁骨又小于一千歲且還沒有把國會圖書館所有的書都讀完的人”。詞項的限制：增加詞項的內(nèi)涵以縮小其外延，從而形成一個新的概念。程式：屬→種；極限是單獨概念詞項的概括：減少詞項的內(nèi)涵以擴大其外延。程式：種→屬；極限是哲學(xué)范疇14四月202325定義的規(guī)則：一、定義項與被定義項的外延必須相等（不能犯定義過寬或過窄的錯誤）。例：1、三角形是由三條直線構(gòu)成的平面圖形。2、商品是用貨幣進行交換的勞動產(chǎn)品。二、定義項不得直接或間接地包含被定義項（不能循環(huán)定義）。例：1、麻醉就是麻醉劑所起的作用。2、原因就是引起結(jié)果的事件。14四月202326三、

定義不能使用含混的言辭或比喻“生命：內(nèi)在關(guān)系對外在關(guān)系的不斷適應(yīng)與反應(yīng)?！保ㄋ官e塞）“建筑是凝固的音樂?！彼摹?/p>

定義一般不用否定句或負概念例外惰性氣體：不能與其他元素化合的氣體孤兒：就是無依無靠父母雙亡的兒童14四月202327外延定義的作用在于規(guī)定或說明一個詞項的外延。它包括枚舉定義、劃分定義和實指定義。例：1、太陽系的行星包括水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星。（定義的約定性，2006年世界天文學(xué)大會投票決定開出冥王星的行星資格）2、脊椎動物包括哺乳動物、爬行動物、鳥類、魚類和兩棲動物。實指定義是避免循環(huán)定義或無窮倒退的定義形式281.1.3命題命題就是具有真假性質(zhì)（表達判斷）的語句。語句的真和假統(tǒng)稱為語句的真值。一般來講，陳述句都是命題，大多數(shù)疑問句、感嘆句和祈使句不是命題。例：1、誰說女子不如男？2、你能不能不這么懶?。?、雷鋒多么偉大啊！4、模糊語句（父在母先亡。下雨天留客天天留我不留。）29同一命題可在不同語句中被斷定。天在下雨。（中文）Itisraining.（英語）Estalloviendo.（西班牙語）Ilpleut.（法語）Esregent.（德語）《紅樓夢》的作者是曹雪芹曹雪芹是《紅樓夢》的作者14四月202330語句與命題并非一一對應(yīng)同一語句可以表達不同的命題美國最大的州曾經(jīng)是一個獨立的共和國。這個語句在二十世紀上半葉說出，就是做了關(guān)于德克薩斯州的一個真命題；而在現(xiàn)在說出就做了關(guān)于阿拉斯加州的一個假命題。顯然，時間語境的變化可以使完全相同的語句斷定非常不同的命題。14四月2023312.命題的種類及其形式簡單命題是不包含其他命題的命題。復(fù)合命題是由其他命題構(gòu)成的命題。在復(fù)合命題中，構(gòu)成復(fù)合命題的簡單命題叫“肢命題”，聯(lián)結(jié)肢命題的語詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞，通常簡稱為“聯(lián)結(jié)詞”。根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的不同，復(fù)合命題又可以分為合?。?lián)言）、析?。ㄟx言）、蘊涵（假言）命題和否定（負）命題。14四月20233214四月2023331.1.4推論推論：是一個至少由兩個命題組成的序列，其中一個命題是根據(jù)其他命題得出的。例：我爸做飯，我媽做菜，我看電視。推論的特征：推論指示詞（因為、所以、可見、因此等）省略推論：例：1、他學(xué)習(xí)好，因為他既聰明又勤奮。2、我們的事業(yè)是正義的事業(yè)；正義的事業(yè)一定勝利。（我們的事業(yè)一定勝利）

341.1.5演繹推論與歸納推論演繹推論：具有必然性；前提為真時，結(jié)論一定真。例：所有金屬都導(dǎo)電；所以凡是不導(dǎo)電的都不是金屬。歸納推論：具有或然性，前提為真時，結(jié)論可能真，但不一定真。例：太陽在過去的每天都從東方升起，所以，明天太陽從東方升起。注意：完全歸納與不完全歸納的區(qū)別14四月2023351.2推論的有效性和可靠性1.2.1推論形式、變項和常項推論所具有的共同結(jié)構(gòu)就是推論的形式。例：1、我說錯了或者你聽錯了；我沒說錯；所以你聽錯了。2、甲隊勝或者乙隊勝；甲隊沒勝；所以乙隊勝。14四月202336變項就是沒有確定含義的符號。

（命題變項、個體變項）常項是具有確定意義的詞項或符號。（謂詞常項、量詞常項、個體常項和命題常項）常項和變項是構(gòu)成推論形式的基本要素。14四月2023371.2.2推論的有效性一個演繹推論是有效的是指當該推論的所有前提為真時，其結(jié)論不可能為假。例：所有爬行動物是用肺呼吸的；

蛇是爬行動物；

所以，蛇是用肺呼吸的。14四月202338上述推論例子的推論形式：

所有M是P；

所有S是M；

所以，所有S是Ｐ。例：所有動物是用肺呼吸的；魚是動物；所以，魚是用肺呼吸的。一個推論的有效性取決于這個推論的形式，而不是具體的推論內(nèi)容。具體的推論是推論形式的一個替換例子。14四月202339一個推論形式是有效的，當且僅當，該推論形式的所有替換例子并非所有前提為真而結(jié)論為假。一個推論是有效的，當且僅當，它是一個有效推論形式的替換例子。這兩個定義是否存在問題？存在什么問題？不循環(huán)，但也不具可操作性。推論形式的有效性最終來自直覺，雖然它不能證實，但卻可通過反例得到檢驗。14四月202340１.２.３反例要確定一個推論形式是無效的相對容易，因為只需找到該推論形式的一個替換例子，該替換例子的所有前提為真而結(jié)論為假。這樣的替換例子就叫作該推論形式的反例。例:有些知識分子不是教師；

有些科學(xué)家是知識分子；

所以，有些科學(xué)家不是教師。（有效嗎？）14四月202341上述推論的形式：（“有些”的邏輯意義是至少有一，日常意義是只有一部分）

有些M不是P；

有些S是M；

所以，有些S不是P。反例：有些動物不是鳥；

有些麻雀是動物；

所以，有些麻雀不是鳥。注意：并非一個無效推論形式的所有替換例子都是前提為真而結(jié)論為假。42例2：p或者q；p；所以非q。（有效嗎？）“或者”的兩種理解：

相容的理解可以允許兩個支命題同時為真

不相容的理解不允許兩個支命題同時為真反例：牛頓精通數(shù)學(xué)或者牛頓精通物理學(xué)；

牛頓精通物理學(xué)；

所以，并非牛頓精通數(shù)學(xué)。14四月2023431.2.4推論的可靠性就前提和結(jié)論的真假而言，推論有四種形式：（1）所有前提真并且結(jié)論真；（2）所有前提真并且結(jié)論假；（3）至少有一前提假并且結(jié)論真；（4）至少有一前提假并且結(jié)論假。有效推論的例子只會出現(xiàn)在（1）（3）（4）中；無效推論的例子會出現(xiàn)在上述四種情形中。也就是說，有效推論的例子不會出現(xiàn)在（2）的情形。14四月202344一個推論是可靠的，當且僅當，該推論是有效的并且它的所有前提都是真的。有效性是可靠性的必要條件；可靠性是有效性的充分條件。作業(yè)：習(xí)題1.2，二、四。14四月2023451.3論證1.3.1證明與反駁論證是推論的實際應(yīng)用。包括證明和反駁證明是確定一個命題真實性的推論。反駁是確定對方的證明不成立的推論。14四月202346推論證明反駁結(jié)論論題反駁論題前提論據(jù)反駁論據(jù)推論形式證明方式反駁證明方式14四月202347例：1、證明月球上沒有生命。2、反駁至善萬能的上帝存在。

如果至善萬能的上帝存在，那么世界上沒有邪惡；

如果世界上沒有邪惡，那么世界上沒有戰(zhàn)爭；

世界上有戰(zhàn)爭

；

所以，至善萬能的上帝不存在。14四月202348例3：有如下推論：有的科學(xué)家是教師；有的藝術(shù)家是教師；所以，有些藝術(shù)家是科學(xué)家。（這個推論正確嗎？不正確的話如何反駁？）有的K是J；有的Y是J；所以，有的Y是K。反例：K：男人；J富人；Y：女人注意：對方的論證方式被反駁，并不意味對方的論題同時被反駁。對方的論證方式不正確僅僅意味著對方的論據(jù)不能支持對方的論題，這不表明對方的論題是假的。14四月202349反駁最常用的的方法是歸謬法。它的基本思想是：以被反駁的命題作為前提，推出荒謬的結(jié)論；這荒謬的結(jié)論或者與已知為真的知識相矛盾，或者自相矛盾。例：反駁如下命題：1，A：“所有女人都干不成大事?！?、B：“這個命題是假的。”14四月2023501.3.2論證的基本規(guī)則1、矛盾律（A和非A必有一假）2、排中律（A和非A必有一真）3、同一律（A和A同真或者同假）4、充足理由律（A真是因為B真，并且由B可以推出A）14四月2023511.3.3二難推論例：“自相矛盾”、“全能的上帝是否可以創(chuàng)造一塊自己都不能搬動的石頭？”14四月2023521.3.4幾種不正當?shù)霓q論手法1、人身攻擊2、濫用權(quán)威3、強詞奪理4、復(fù)雜問語第二章命題邏輯：

符號化和真值表14四月2023532.1一些基本概念2.1.1真值函項復(fù)合命題和真值函項聯(lián)結(jié)詞命題邏輯以命題為最小單位，研究命題之間的邏輯關(guān)系。簡單命題是不包括其他命題的命題。復(fù)合命題是包括其他命題的命題，它包含支命題和聯(lián)結(jié)詞兩個要素。14四月202354真值函項復(fù)合命題是其真值完全取決于支命題的真值的復(fù)合命題。例：1、老王吃飯并且老王喝茶。2、老王吃飯在喝茶之前。3、老王懷疑劉某是個罪犯。真值函項聯(lián)結(jié)詞是被真值函項使用的聯(lián)結(jié)詞，這樣使用的聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真值完全地取決于它的支命題的真值。14四月2023552.1.2合取詞和合取命題14四月202356FFTFFTTTp∧qqp從上表可以得出聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)：當p、q同時為真時，p∧q才為真；只要p、q其中一個為假，則p∧q為假。2.1.2合取詞和合取命題例：地球自轉(zhuǎn)并且地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)。

P∧Q注意“并且”的日常用法與邏輯用法的區(qū)別1、他睡覺并且他開始打呼嚕。2、他開始打呼嚕并且他睡覺。14四月202357合取詞∧的真值表14四月202358FFFFTFFFTTTTP∧QQP從上表可以得出聯(lián)言命題的邏輯性質(zhì)：當P、Q同時為真時，P∧Q才為真；只要P、Q其中一個為假，則P∧Q為假。2.1.3析取詞和析取命題例：北京大學(xué)或者以文科著稱或者以理科著稱。

P∨Q析取命題分為“相容析取命題”和“不相容析取命題”兩種。相容析取命題的析取支可以同時為真，如：(1)小王或者是班干部，或者是學(xué)生會干部(二者可以得兼)。(2)這份統(tǒng)計材料，或者是原始材料有錯誤，或者是計算有錯誤，或者兩種情況都存在。而不相容析取命題的析取支不能同時為真，如：(1)魚，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。(2)要么選老王當村長，要么選小李當村長。5914四月202360FFFTTFTFTTTTP∨QQP析取詞∨的真值表2.1.4否定詞和否定命題（一項聯(lián)結(jié)詞）否定命題的形式:?P。?的真值表：14四月202361否定命題的邏輯性質(zhì)：否定命題的真假與被否定的命題的真假是相反的。FTFTFT??P?PP2.1.5蘊涵詞和蘊涵命題例：如果物體被加熱，那么它的體積會膨脹。

P→Q14四月202362→的真值表14四月202363蘊含命題的邏輯性質(zhì)：除了前件為真而后件為假時命題是假的以外,在其它三種情況下,命題都是真的。蘊含怪論：假命題蘊含一切命題。例：1、如果太陽從西邊出來，那么我頭朝下走路。2、如果2+2=5，那么羅素跟某主教是同一個人。蘊含通常有兩種：實質(zhì)蘊含與嚴格蘊含。例：1、如果雪是白的，那么中國的首都是北京。2、如果你堅持鍛煉，你的身體就會康復(fù)。14四月2023642.1.6等值詞和等值命題（實質(zhì)）例：1、一個人是中國公民，當且僅當他具有中國國籍。2、愛因斯坦是男人，當且僅當華南師大在廣州。

PQ的真值表14四月202366的邏輯性質(zhì)：當P和Q的真值相同時，PQ的真值為真；當P和Q的真值不相同時，PQ的真值為假。TFFFTFFFTTTTP

QQP2.2命題的符號化2.2.1什么是命題的符號化命題的符號化就是用人為規(guī)定的符號來表達一個命題。包括命題常項的符號化和邏輯邏輯常項的符號化。命題常項用A—Z的大寫字母來表示，為防止字母不夠用，這些字母可帶或不帶正整數(shù)下標。14四月2023672.2.2一些常見的復(fù)合命題的符號化1、盡管你對我有誤解（J），但是我還是愿意與你合作（H）。2、既然你不原諒我（Y），那么我就離開你（L）。3、小張業(yè)余時間不是唱歌（C），就是跳舞（T）。4、小張不是出生在北京（B），就是出生在上海（S）。14四月2023685、只有合理施肥（F），莊稼才能長得好（Z）。6、如果不合理施肥，那么莊稼長不好。a是b的充分條件，當且僅當，有a必有b，無a未必無b。a是b的必要條件，當且僅當，無a必無b，有a未必有b。a是b的充要條件，當且僅當，有a必有b，無a必無b。7、一個平面圖形是正方形（Z），僅當它是四邊形（S）。“僅當”、“只有”做后件的標志。8、如果并且只有一個數(shù)被2整除（C），它才是一個偶數(shù)（O）。692.2.3包含多個聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題

的符號化1、如果小明參加比賽（B）并且獲獎（H），那么小明興奮（F）并且外出旅游（Y）。2、小張不是看書（S）就是寫字（Z），并且他不喝酒（H）也不吸煙（X）。3、如果一個人是勤奮的（Q），并且他聰明（C）或者健康（J），那么他是有能力的（N）；如果一個人既不聰明又不健康，那么他沒能力。（作業(yè)：習(xí)題2.2的一、6、7、8、9，二、）702.3命題的真值表及其邏輯性質(zhì)2.3.1真值表的構(gòu)造真值指派：對一個命題的所有命題常項的真值賦值。K=2n例：1、F→C∨H2、（P∧Q→R）（P→（Q→R））如果明天刮風(fēng)并且明天下雨，那么明天降溫；當且僅當如果明天刮風(fēng)，那么，如果明天下雨，那么明天降溫。712.3.2重言式、矛盾式和偶然式一個命題是重言式，當且僅當，該命題在所有的真值指派下都是真的。一個命題是矛盾式，當且僅當，該命題在所有的真值指派下都是假的。一個命題是偶然式，當且僅當，該命題在有些真值指派下是真的，在另一些真值指派下是假的。14四月202372例：1、A∧B→A∨B（強→弱）如果明天刮風(fēng)并且下雨，那么明天刮風(fēng)或者明天下雨。2、（M??P）∧（M∧P）3、（J→K）→（K→J）J：天上下雨；K：地上潮濕；J：一個數(shù)被2整除；K：它是整數(shù)。14四月2023732.3.3重言等值和重言蘊涵兩個命題P和Q是重言等值的，當且僅當P和Q在所有真值指派下都具有相同的真值。例：“并非明天刮風(fēng)或者明天下雨?！保弧懊魈觳还物L(fēng)也不下雨。”；“明天不刮風(fēng)或者明天不下雨?！?（G∨Y）??G∧?Y；還是?（G∨Y）??G∨?Y（

？）命題P和Q是重言等值的，當且僅當P?Q是一個重言式。74命題P重言蘊涵命題Q，當且僅當，所有真值指派下都不會出現(xiàn)P真而Q假的情形。例：A?B是否重言蘊涵A→B？課堂練習(xí)：習(xí)題2.3，二、1、6、7、8。14四月2023752.4用真值表檢驗推論的有效性2.4.1真值表方法在命題邏輯中，一個推論是有效的，當且僅當在任何真值指派下，它都不會出現(xiàn)所有前提為真而結(jié)論假的情形。也就是說，一個推論是有效的，當且僅當，它的所有前提的合取式重言蘊涵它的結(jié)論。14四月202376推論的一般模式：模式一：P1P2…Pn所以，C（P1，P2，…Pn代表n個前提，C代表結(jié)論）模式二：P1∧P2∧…∧Pn→C在命題邏輯中，一個模式一的推論是有效的，當且僅當，相應(yīng)的模式二的蘊涵式是一個重言式。77例：1、P→Q；?P

所以，?Q

（P→Q）∧?P→?Q是有效的么？2、P→Q；?Q

所以，?P

（P→Q）∧?Q→?P是有效的么？3、如果他有所發(fā)明（F）并取得專利（L），那么他富有（Y）；他不富有；所以他無所發(fā)明。782.4.2短真值表方法回顧真值表方法：如果他有所發(fā)明（F）并且運氣好（Y），那么他富有（D）；他不富有并且運氣好；所以，他無所發(fā)明。用真值表方法檢驗這個推論是否有效。14四月202379真值表檢驗的推論有效性的過程1、首先將所討論的推論符號化為一個蘊涵命題；2、再列出該蘊涵命題的全部真值指派；3、然后計算出該蘊涵命題在每一種真值指派下的真值；4、最后查看是否至少有一種真值指派使得該蘊涵命題的真值為假。沒有；有效。有；無效14四月202380那么，是否有一種方法可以直接尋找某個蘊涵命題為假的真值指派？例：1、P→Q

?Q

所以，?P2、P→Q

?P

所以，?Q3、如果他有所發(fā)明（F）并且運氣好（Y），那么他富有（D）；他不富有并且運氣好；所以，他無所發(fā)明。（與前一種方法比較更簡單）81短真值表方法的一般程序1、寫出所討論推論的蘊涵式；2、假定蘊涵式為假，即假定它的前件真后件假；3、在此假定下，根據(jù)真值函項聯(lián)結(jié)詞的特征推導(dǎo)出命題常項（或命題變項）的真值；4、檢查每一個命題常項（或命題變項）的真值，如果所有相同的命題常項（或命題變項）的真值沒有矛盾，那么所討論的推論是無效的；如果任一命題常項（或命題變項）的真值有矛盾，那么所討論的推論是有效的。14四月202382一個需要注意的例子如果他生?。˙），那么他缺席（Q）；或者他沒生病或者他沒缺席；所以，他缺席當且僅當他生病。14四月202383當對一個蘊涵式應(yīng)用短真值表方法的賦值多于一種可能時，只要在其中一種可能的賦值下沒有導(dǎo)致矛盾，就表明這個蘊涵式不是重言式，從而可以斷定該推論無效。但是，在其中一種可能的賦值下導(dǎo)致矛盾，并不能由此斷定該蘊涵式是重言式，進而斷定相應(yīng)推論有效。要斷定所討論的推論有效，必須在所有可能賦值下都導(dǎo)致矛盾。14四月202384課堂練習(xí)：

習(xí)題2.4：四，1~7。14四月202385第三章命題邏輯：推演在深入討論命題推演之前，來看一個具體推論。例：如果天氣好，那么同學(xué)們打球或者郊游；

天氣好，但同學(xué)們沒有郊游；

所以，同學(xué)們打球。從直覺上看，此推論有效嗎？14四月202386上述推論可以分解為以下簡單推論1、天氣好并且同學(xué)們沒有郊游；天氣好；

所以，同學(xué)們沒有郊游。2、如果天氣好，那么同學(xué)們打球或者郊游；天氣好；

所以，同學(xué)們打球或者郊游。3、同學(xué)們打球或者郊游；同學(xué)們沒有郊游；

所以，同學(xué)們打球。某些簡單推論可以作為推論規(guī)則。873.1八條整推規(guī)則1、肯定前件：P→QP

所以，Q例：下列推論是否是肯定前件的合理應(yīng)用？1、（（A→B）→C）→D

（A→B）→C）

所以，D2、（（A→B）→C）→D

A→B

所以，C→D88整推規(guī)則的定義：用于整個公式，而不能用于部分公式的推論規(guī)則；或者說，用于主聯(lián)結(jié)詞，不能用于非主聯(lián)結(jié)詞的推論規(guī)則。14四月2023892、否定后件P→Q?Q

所以，?P3、否定析取支P∨QP∨Q?Q?P

所以，P所以，Q14四月2023904、化簡P∧QP∧Q

所以，P所以，Q5、合取PQ

所以，P∧Q14四月2023916、假言三段論P→QQ→R

所以，P→R7、二難推論P→QR→SP∨R

所以，Q∨S14四月2023928、附加PQ

所以，P∨Q所以，P∨Q例：下列推論是否附加規(guī)則的正確應(yīng)用？L→KL→K所以，J∨L→K所以，（L→K）∨J14四月202393上例：如果天氣好（T），那么同學(xué)們打球（Q）或者郊游（J）；

天氣好，但同學(xué)們沒有郊游；

所以，同學(xué)們打球。

T→(Q∨J);T∧?J；所以，Q。例2：?R→（H→T）R→HT→SH所以，?H94例3：F∧G→（H→（I?K））H∧IH∨M→F所以，I?K例4：?M→（N→L）J→K?MM∨（N∨J）所以，LK課堂練習(xí)：習(xí)題3.1，三、2、6、8、9、13、14整推規(guī)則的不完善性：例：?D→??

GP→Q?G對比?Q

所以，D所以，?P以及教材P71頁的例子14四月2023963.2置換規(guī)則置換規(guī)則的概念：

對于任何命題P，無論它是以整個命題出現(xiàn)，還是作為一個命題的一部分出現(xiàn)，都可用與它重言等值的命題Q來替換。14四月2023971、交換規(guī)則：P∧Q?Q∧P；Ｐ∨Ｑ?Ｑ∨Ｐ下列公式哪些是對公式（Ｎ→Ｍ）∨（Ｏ∧Ｐ）進行交換的正確結(jié)果？（１）（Ｏ∧Ｐ）∨（Ｎ→Ｍ）（２）（Ｎ→Ｍ）∨（Ｐ∧Ｏ）（３）（Ｐ∧Ｏ）∨（Ｎ→Ｍ）（４）（Ｍ→Ｎ）∨（Ｏ∧Ｐ）14四月2023982、雙重否定

P???P雙重否定規(guī)則的使用例：D∨K所以，??D∨K所以，D∨??K所以，??（D∨K）14四月2023993、德摩根律：?（Ｐ∨Ｑ）??P∧?Q?（P∧Q）??Ｐ∨?Ｑ例：如果學(xué)校食堂的飯菜價廉（L）物美（M），那么學(xué)生喜歡食堂（H）或者學(xué)校附近的餐館生意不好；

然而，學(xué)生不喜歡食堂并且學(xué)校附近的餐館生意好（F）；

所以，學(xué)校食堂的飯菜要么價不廉，要么物不美。14四月20231004、假言異位：（P→Q）?（?Q→?P）應(yīng)用：例1、H∨（?D→I）；所以，H∨（?I→??D）。2、?（A∧B）→?（E?F）；所以，（E?F）→（A∧B）。如果一個數(shù)不大于3，那么它不大于5；這句話的意思是：如果一個數(shù)大于5，那么它大于3.1015、蘊涵：

（P→Q）?（?P∨Q）A∨B能否直接推出?A→B？不能，中間過程??A∨B不能少。如果你離開我，那么我沒法活。重言等值與哪句話？1026、重言：P?P∨P和P?P∧P例，教材【推論15】7、結(jié)合：P∨（Q∨R）?（P∨Q）∨RP∧（Q∧R）?（P∧Q）∧R14四月20231038、分配：P∨（Q∧R）?（P∨Q）∧（P∨R）P∧（Q∨R）?（P∧Q）∨（P∧R）從（A∧B）∨C能夠直接推出（A∨C）∧（B∨C）嗎？同樣，從（A∨B）∧C能夠直接推出（A∧C）∨（B∧C）嗎？分配規(guī)則的簡單應(yīng)用見【推論17】14四月20231049、移出：

（P∧Q→R）?（P→（Q→R））例：如果明天刮風(fēng)并且下雨，那么明天降溫。如果明天刮風(fēng)，那么如果明天下雨，那么明天降溫。10510、等值：