離散數(shù)學(xué)課件第十一章半群與群

離散數(shù)學(xué)課件第十一章半群與群第1頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本章內(nèi)容11.1半群與獨(dú)異點(diǎn)11.2群的定義與性質(zhì)11.3子群11.4陪集與拉格朗日定理11.5正規(guī)子群與商群11.6群的同態(tài)與同構(gòu)11.7循環(huán)群與置換群本章總結(jié)例題選講作業(yè)第2頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11.1半群與獨(dú)異點(diǎn)半群與獨(dú)異點(diǎn)都是具有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)。半群與獨(dú)異點(diǎn)的定義，及其子代數(shù)的說(shuō)明。半群與獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算。半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)映射。第3頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一半群與獨(dú)異點(diǎn)定義11.1

(1)設(shè)V＝<S,>是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算，如果運(yùn)算是可結(jié)合的，則稱V為半群（semigroup）。(2)設(shè)V＝<S,>是半群,若e∈S是關(guān)于運(yùn)算的單位元,則稱V是含幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn)（monoid）。有時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V記作V＝<S，，e>。第4頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一半群與獨(dú)異點(diǎn)的實(shí)例<Z+,+>，<N,+>，<Z,+>，<Q,+>，<R,+>都是半群,+是普通加法。這些半群中除<Z+,+>外都是獨(dú)異點(diǎn)。設(shè)n是大于1的正整數(shù),<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都是獨(dú)異點(diǎn),其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法。<P(B),>為半群,也是獨(dú)異點(diǎn),其中為集合的對(duì)稱差運(yùn)算。<Zn,>為半群,也是獨(dú)異點(diǎn),其中Zn＝{0,1,…,n-1},為模n加法。<AA,>為半群,也是獨(dú)異點(diǎn),其中為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。<R,>為半群,其中R為非零實(shí)數(shù)集合,運(yùn)算定義如下：

x,y∈R,xy＝y(tǒng)第5頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一半群中元素的冪由于半群V＝<S,>中的運(yùn)算是可結(jié)合的,可以定義元素的冪,對(duì)任意x∈S,規(guī)定： x1＝x

xn+1＝xnx,n∈Z+

用數(shù)學(xué)歸納法不難證明x的冪遵從以下運(yùn)算規(guī)則： xn

xm＝xn+m (xn)m＝xnmm,n∈Z+普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等都遵從這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則。第6頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一獨(dú)異點(diǎn)中的冪

獨(dú)異點(diǎn)是特殊的半群，可以把半群的冪運(yùn)算推廣到獨(dú)異點(diǎn)中去。 由于獨(dú)異點(diǎn)V中含有單位元e，對(duì)于任意的x∈S,可以定義x的零次冪,即x0＝exn+1＝xnxn∈N不難證明，獨(dú)異點(diǎn)的冪運(yùn)算也遵從半群的冪運(yùn)算規(guī)則，只不過(guò)m和n不一定限于正整數(shù)，只要是自然數(shù)就成立。第7頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子半群與子獨(dú)異點(diǎn)半群的子代數(shù)叫做子半群。獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn)。根據(jù)子代數(shù)的定義不難看出：如果V＝<S,>是半群,TS，要T對(duì)V中的運(yùn)算封閉，那么<T,>就是V的子半群。對(duì)獨(dú)異點(diǎn)V＝<S,,e>來(lái)說(shuō)，TS，不僅T要對(duì)V中的運(yùn)算封閉,而且e∈T，這時(shí)<T,,e>才構(gòu)成V的子獨(dú)異點(diǎn)。第8頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.2例11.2

設(shè)半群V1＝<S,>，獨(dú)異點(diǎn)V2＝<S,,e>。其中為矩陣乘法，e為2階單位矩陣

令則TS，且T對(duì)矩陣乘法是封閉的，所以<T,>是V1＝<S,>的子半群。但它不是V2=<S,,e>的子獨(dú)異點(diǎn)，因?yàn)閂2中的單位元

e=T。易見(jiàn)在<T,>中存在著自己的單位元，所以<T,,>也構(gòu)成一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)。第9頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一半群與獨(dú)異點(diǎn)的直積定義11.2

設(shè)V1＝<S1,>，V2＝<S2,*>是半群(或獨(dú)異點(diǎn)),

令S＝S1×S2,定義S上的·運(yùn)算如下： <a,b>,<c,d>∈S,

<a,b><c,d>＝<ac,b*d>

稱<S,>為V1和V2的直積，記作V1×V2?？梢宰C明V1×V2是半群。若V1和V2是獨(dú)異點(diǎn)，其單位元分別為e1和e2，則<e1,e2>是V1×V2中的單位元，因此V1×V2也是獨(dú)異點(diǎn)。第10頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一半群與獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)映射定義11.3

(1)設(shè)V1＝<S1,>,V2＝<S2,>是半群,:S1→S2。 若對(duì)任意的x,y∈S1有

(xy)＝(x)(y)

則稱為半群V1到V2的同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱同態(tài)(homomorphism)。(2)設(shè)V1＝<S1,,e1>,V2＝<S2,,e2>是獨(dú)異點(diǎn),:S1→S2.

若對(duì)任意的x,y∈S1有

(xy)＝(x)(y)且(e1)＝e2,

則稱為獨(dú)異點(diǎn)V1到V2的同態(tài)映射,簡(jiǎn)稱同態(tài)。第11頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一省略表達(dá)為了書寫的簡(jiǎn)便，有時(shí)經(jīng)常省略上述表達(dá)式中的算符和，而簡(jiǎn)記為

(xy)＝(x)(y)應(yīng)該記住，該表達(dá)式中左邊的xy是在V1中的運(yùn)算，而右邊的(x)(y)是在V2中的運(yùn)算。第12頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一同態(tài)舉例對(duì)于例11.2中的半群和獨(dú)異點(diǎn),令:S→S,則對(duì)任意的有即第13頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一自同態(tài)

因此，是半群V1到自身的同態(tài)，稱為V1的自同態(tài)。 但不是獨(dú)異點(diǎn)V2的自同態(tài),因?yàn)樗鼪](méi)有將V2的單位元映到V2的單位元。 注意：而不是V2的單位元。第14頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本節(jié)的主要內(nèi)容集合S和運(yùn)算構(gòu)成半群的條件（封閉性、結(jié)合律）。集合S和運(yùn)算構(gòu)成獨(dú)異點(diǎn)的條件（封閉性、結(jié)合律、單位元）。半群與獨(dú)異點(diǎn)的兩條冪運(yùn)算規(guī)則：xnxm＝xn+m，(xn)m＝xnm

。半群S的非空子集A構(gòu)成子半群的條件（A對(duì)于S中運(yùn)算封閉）。獨(dú)異點(diǎn)S的非空子集A構(gòu)成子獨(dú)異點(diǎn)的條件（A對(duì)于S中運(yùn)算封閉，單位元屬于A）。通過(guò)笛卡爾積構(gòu)造直積

。同態(tài)映射的判別：(xy)＝(x)(y)

對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)要加上(e)＝e。第15頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定義11.2說(shuō)明任取<a,b>,<c,d>,<u,v>S(<a,b><c,d>)<u,v>=<ac,b*d><u,v>=<(ac)u,(b*d)*v>=<acu,b*d*v>

<a,b>(<c,d><u,v>)=<a,b>(<cu,d*v>)=<a(cu),b*(d*v)>=<acu,b*d*v>第16頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11.2群的定義與性質(zhì)群是特殊的半群和獨(dú)異點(diǎn)。群論中常用的概念或術(shù)語(yǔ)： 有限群、無(wú)限群、平凡群、交換群、元素的冪和階。群的運(yùn)算規(guī)則。第17頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群的定義定義11.4

設(shè)<G,>是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運(yùn)算。如果運(yùn)算是可結(jié)合的，存在單位元e∈G，并且對(duì)G中的任何元素x都有x-1∈G,則稱G為群（group）。舉例（考慮例11.1），(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。(2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因?yàn)椴⒎撬械膎階實(shí)矩陣都有逆陣。(3)<P(B),>是群，因?yàn)閷?duì)任何B的子集A，A的逆元就是A自身。(4)<Zn,>是群。0是Zn中的單位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就是0，若x≠0，則n-x是x的逆元。(5)<AA,>，當(dāng)|A|≥2時(shí)不是群。第18頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Klein四元群設(shè)G＝{a,b,c,d}，為G上的二元運(yùn)算，見(jiàn)下表。eabceeabcaaecbbbceaccbaeG是一個(gè)群：e為G中的單位元；運(yùn)算是可結(jié)合的；運(yùn)算是可交換的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三個(gè)元素中,任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素。稱這個(gè)群為Klein四元群,簡(jiǎn)稱四元群。第19頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群的直積設(shè)<G1,>,<G2,*>是群，在G1G2上定義二元運(yùn)算如下：<a,b>,<c,d>∈G1×G2,<a,b><c,d>＝<ac,b*d>稱<G1×G2,>是G1與G2的直積。上一節(jié)已經(jīng)證明：<G1G2,>是獨(dú)異點(diǎn)，可以證明對(duì)任意的<a,b>∈G1G2,<a-1,b-1>是<a,b>的逆元，因此G1×G2關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。第20頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群論中常用的概念或術(shù)語(yǔ)定義11.5(1)若群G是有窮集,則稱G是有限群，否則稱為無(wú)限群。

群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|。(2)只含單位元的群稱為平凡群。(3)若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群。

第21頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例<Z,+>,<R,+>是無(wú)限群。<Zn,>是有限群，也是n階群。Klein四元群是4階群。<{0},+>是平凡群。上述所有的群都是交換群。但n階(n≥2)實(shí)可逆矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。第22頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群中元素的n次冪定義11.6

設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪與半群和獨(dú)異點(diǎn)不同的是：群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪。在<Z3,>中有

2-3＝(2-1)3＝13＝111＝0在<Z,+>中有

3-5＝(3-1)5＝(-3)5＝(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)＝-15第23頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群中元素的階定義11.7

設(shè)G是群，a∈G，使得等式

ak＝e

成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|＝k，這時(shí)也稱a為k階元。若不存在這樣的正整數(shù)k,則稱a為無(wú)限階元。舉例在<Z6,>中，2和4是3階元，3是2階元，而1和5是6階元，0是1階元。在<Z,+>中，0是1階元，其它的整數(shù)都是無(wú)限階元。在Klein四元群中，e為1階元，其它元素都是2階元。第24頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群的性質(zhì)—群的冪運(yùn)算規(guī)則

定理11.1

設(shè)G為群,則G中的冪運(yùn)算滿足：(1)a∈G,(a-1)-1＝a。(2)a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。(3)a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。(4)a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。(5)若G為交換群，則(ab)n＝anbn。分析：(1)和(2)可以根據(jù)定義證明。(3)、(4)、(5)中的等式,先利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于自然數(shù)n和m證出相應(yīng)的結(jié)果，然后討論n或m為負(fù)數(shù)的情況。第25頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.1的證明(1)a∈G,(a-1)-1＝a。

(a-1)-1是a-1的逆元，a也是a-1的逆元。 （或者：a-1是a的逆元，a也是a-1的逆元。） 根據(jù)逆元的唯一性，(a-1)-1＝a。(2)a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。

(b-1a-1)(ab)＝b-1(a-1a)b＝b-1b＝e (ab)(b-1a-1)＝a(bb-1)a-1＝aa-1＝e

故b-1a-1是ab的逆元。 根據(jù)逆元的唯一性等式得證。

第26頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.1的證明(3)a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。先考慮n,m都是自然數(shù)的情況。任意給定n，對(duì)m進(jìn)行歸納。m＝0，有ana0＝ane＝an＝an+0成立。假設(shè)對(duì)一切m∈N有anam＝an+m成立，則有anam+1＝an(ama)＝(anam)a＝an+ma＝an+m+1由歸納法等式得證。下面考慮存在負(fù)整數(shù)次冪的情況。設(shè)n<0，m≥0，令n＝-t，t∈Z+，則anam＝a-tam＝(a-1)tam＝a-(t-m)＝am-t＝an+m t≥mam-t＝an+m t<m對(duì)于n≥0,m<0以及n<0,m<0的情況同理可證。第27頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.1的證明(5)若G為交換群，則(ab)n＝anbn。當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，對(duì)n進(jìn)行歸納。(ab)n＝(ba)n＝(ba)-m＝((ba)-1)m＝(a-1b-1)m＝(a-1)m(b-1)m＝a-mb-m＝anbnn＝0，有(ab)0＝e＝ee＝a0b0。假設(shè)(ab)k＝akbk，則有(ab)k+1＝(ab)k(ab)＝(akbk)ab＝ak(bka)b＝ak(abk)b＝(aka)(bk)b＝(ak+1)(bk+1)由歸納法等式得證。設(shè)n<0，令n＝-m，m>0，則第28頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.1說(shuō)明定理11.1(2)中的結(jié)果可以推廣到有限多個(gè)元素的情況,即注意上述定理中的最后一個(gè)等式只對(duì)交換群成立。如果G是非交換群,那么只有第29頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群方程存在唯一解

定理11.2G為群，a,b∈G，方程ax＝b和ya＝b在G中有解且僅有唯一解。證明：先證a-1b是方程ax＝b的解。 將a-1b代入方程左邊的x得a(a-1b)＝(aa-1)b＝eb＝b所以a-1b是該方程的解。下面證明唯一性。假設(shè)c是方程ax＝b的解，必有ac＝b，從而有c＝ec＝(a-1a)c＝a-1(ac)＝a-1b同理可證ba-1是方程ya＝b的唯一解。第30頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.5例11.5設(shè)群G＝<P({a,b}),>，其中為集合的對(duì)稱差運(yùn)算。解下列群方程：

(1){a}X＝

(2)Y{a,b}＝解答：(1)X＝{a}-1

＝{a}＝{a}(2)Y＝{a,b}-1＝{a,b}＝{a}第31頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一消去律

定理11.3G為群,則G中適合消去律，即對(duì)任意a,b,c∈G有(1)若ab＝ac，則b＝c。(2)若ba＝ca，則b＝c。證明：(1)ab＝ac

a-1(ab)＝a-1(ac)

(a-1a)b＝(a-1a)c

eb＝ec

b＝c

(2)略第32頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.6例11.6

設(shè)G為群，a,b∈G,k∈Z+，證明 （a-1ba)k＝a-1babk＝b證明：充分性 （a-1ba)k＝(a-1ba)(a-1ba)(a-1ba)…(a-1ba)k個(gè)a-1ba

＝a-1b(aa-1)b(aa-1)b…(aa-1)ba

＝a-1bka

＝a-1ba(因?yàn)閎k＝b)

必要性由（a-1ba)k＝a-1ba得

(a-1ba)(a-1ba)…(a-1ba)＝a-1ba

化簡(jiǎn)得a-1bka＝a-1ba

由消去律得bk＝b。第33頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.7例11.7

設(shè)G為群，a,b∈G，且(ab)2＝a2b2，證明ab＝ba。證明：

由(ab)2＝a2b2得

abab＝aabb

根據(jù)群中的消去律，得ba＝ab， 即ab＝ba。第34頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.8例11.8設(shè)G＝{a1,a2,…,an}是n階群，令

aiG＝{aiaj|j=1,2,…,n}

證明aiG＝G。證明：由群中運(yùn)算的封閉性有aiGG。 假設(shè)aiGG，即|aiG|<n。 必有aj,ak∈G使得

aiaj＝aiak

（j≠k） 由消去律得aj=ak,

與|G|＝n矛盾。第35頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一群中元素的階的性質(zhì)定理11.4G為群，a∈G且|a|＝r。設(shè)k是整數(shù),則

(1)ak＝e當(dāng)且僅當(dāng)r|k (2)|a|＝|a-1|證明：(1)充分性。 由于r|k，必存在整數(shù)m使得k＝mr，所以有ak＝amr＝(ar)m＝em＝e。必要性。根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得

k＝mr+i，0≤i≤r-1從而有e＝ak＝amr+i＝(ar)mai＝eai＝ai因?yàn)閨a|＝r,必有i＝0。這就證明了r|k。第36頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.4(2)證明(2)|a|＝|a-1|由(a-1)r＝(ar)-1＝e-1＝e，可知a-1的階存在。令|a-1|＝t，根據(jù)上面的證明有t|r。這說(shuō)明a的逆元的階是a的階r的因子。而a又是a-1的逆元，根據(jù)條件有|a-1|＝|(a-1)-1|＝|a|，所以a的階也是a-1的階的因子，故有r|t。從而證明了r＝t,即|a|＝|a-1|。第37頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一證明元素的階相等的方法證明|x|＝|y|的方法： 令|x|＝r，|y|＝s

驗(yàn)證(x)s＝er|s

驗(yàn)證(y)r＝es|r

因此r＝s，即|x|＝|y|。第38頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.9例11.9

設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元。證明

(1)|b-1ab|＝|a| (2)|ab|＝|ba|證明：(1)設(shè)|a|＝r,|b-1ab|＝t，則有

(b-1ab)r＝(b-1ab)(b-1ab)……(b-1ab)(r個(gè)b-1ab)＝b-1arb＝b-1eb＝e根據(jù)定理11.4，可知b-1ab的階是a的階的因子，即t|r。另一方面，a＝b(b-1ab)b-1＝(b-1)-1(b-1ab)b-1

可知,(b-1)-1(b-1ab)b-1的階是b-1ab的階的因子，即r|t。從而有|b-1ab|=|a|。第39頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.9(2)證明(2)|ab|＝|ba|

設(shè)|ab|＝r,|ba|＝t，則有

(ab)t+1＝(ab)(ab)……(ab) t+1個(gè)ab

＝a(ba)(ba)……(ba)b t個(gè)ba

＝a(ba)tb

＝aeb

＝ab

由消去律得(ab)t＝e，從而可知，r|t.

同理可證t|r。 因此，|ab|＝|ba|。第40頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.10例11.10

設(shè)G為有限群，則G中階大于2的元素有偶數(shù)個(gè)。證明：根據(jù)定理11.4可知，對(duì)于任意a∈G，有

a2＝e|a|＝1或|a|＝2

若a2＝e，則有a-1a2＝a-1e，即a＝a-1。 反之，若a＝a-1， 則有a2＝aa＝aa-1＝e，這就推出a2＝ea＝a-1。 綜合上述可知，對(duì)G中階大于2的元素a，必有a≠a-1。 又由于|a|＝|a-1|，所以G中階大于2的元素一定成對(duì)出現(xiàn)。

G中若含有階大于2的元素，一定是偶數(shù)個(gè)。 若G中不含階大于2的元素，而0也是偶數(shù)。第41頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.11例11.11

設(shè)G為群，a,b∈G，且ab＝ba。如果|a|=n,|b|=m,且n與m互質(zhì)，證明|ab|＝nm。證明:

設(shè)|ab|＝d。由ab＝ba可知(ab)nm＝(an)m(bm)n＝emen＝e。從而有d|nm。又由adbd＝(ab)d＝e，可知ad＝b-d，即|ad|＝|b-d|＝|bd|。再根據(jù)(ad)n＝(an)d＝ed＝e得|ad||n。同理有|bd||m。從而知道|ad|是n和m的公因子。因?yàn)閚與m互質(zhì)，所以|ad|＝1。這就證明了ad＝e，從而n|d。同理可證m|d，即d是n和m的公倍數(shù)。由于n與m互質(zhì)，必有nm|d。綜合前邊的結(jié)果得d＝nm。即|ab|＝nm。第42頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本節(jié)主要內(nèi)容集合G和二元運(yùn)算構(gòu)成群的條件（封閉性、結(jié)合律、單位元、每個(gè)元素有逆元）。

特殊群的定義（有限與無(wú)限群、Abel群、平凡群）與群的階。

元素的冪與元素的階群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則、消去律、群方程的唯一解、有關(guān)元素的階的性質(zhì)。

第43頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11.3子群子群就是群的子代數(shù)子群的定義子群的三個(gè)判定方法重要子群的實(shí)例生成群、中心找到有限群的全部子群的方法第44頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子群的定義定義11.8

設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群(subgroup)，記作H≤G。 若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群(proper

subgroup)，記作H＜G。說(shuō)明：對(duì)任何群G都存在子群。

G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群(trivial

subgroup)

。舉例：

nZ（n是自然數(shù)）是整數(shù)加群〈Z,+〉的子群。 當(dāng)n≠1時(shí),nZ是Z的真子群。第45頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子群的判定定理一定理11.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立：

(1)a,b∈H，有ab∈H。

(2)a∈H，有a-1∈H。證明：必要性是顯然的。 為證明充分性，只需證明e∈H。（為什么？） 因?yàn)镠非空，必存在a∈H。 由條件(2)可知，a-1∈H， 再使用條件(1)有aa-1∈H，即e∈H。第46頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子群的判定定理二定理11.6（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab-1∈H。證明：必要性。 任取a,b∈H，由于H是G的子群，必有b-1∈H， 由封閉性有ab-1∈H。

充分性。 因?yàn)镠非空，必存在a∈H。 根據(jù)給定條件得aa-1∈H，即e∈H。 任取a∈H，由e,a∈H得ea-1∈H，即a-1∈H。 任取a,b∈H，由剛才的證明知b-1∈H。 再利用給定條件得a(b-1)-1∈H，即ab∈H。 綜合所述，根據(jù)判定定理一，可知H是G的子群。第47頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子群的判定定理三定理11.7(判定定理三)

設(shè)G為群，H是G的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab∈H。證明：必要性是顯然的。

充分性。只需證明a∈H有a-1∈H。 任取a∈H，若a＝e，則a-1＝e-1＝e∈H。 若a≠e,令S＝{a,a2,…}，則SH。 由于H是有窮集，必有ai＝aj（i<j）。 根據(jù)G中的消去律得aj-i＝e， 由a≠e可知，j-i>1，由此得aj-i-1a＝e和aaj-i-1＝e

從而證明了a-1＝aj-i-1∈H。第48頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子群實(shí)例—生成子群

例11.12

設(shè)G為群，a∈G，令H＝{ak|k∈Z}，即a的所有的冪構(gòu)成的集合，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>。證明：由a∈<a>知道，<a>≠。任取am,al∈<a>，則am(al)-1＝ama-l＝am-l∈<a>

根據(jù)判定定理二可知<a>≤G。舉例

(1)整數(shù)加群，由2生成的子群是

<2>＝{2k|k∈Z}＝2Z (2)群<Z6,>中，由2生成的子群由

20＝0，21＝2，22＝4，23=0，…構(gòu)成， 即<2>＝{0,2,4}

(3)Klein四元群G＝{e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>＝{e}，<a>＝{e,a}，<b>＝{e,b}，<c>＝{e,c}。第49頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一子群實(shí)例—中心例11.13設(shè)G為群，令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即

C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)}

則C是G的子群，稱為G的中心。證明：由e與G中所有元素的交換性可知，e∈C。C是G的非空子集。 任取a,b∈C，為證明ab-1∈C，只需證明ab-1與G中所有的元素都可交換。x∈G，有(ab-1)x＝ab-1x＝ab-1(x-1)-1＝a(x-1b)-1＝a(bx-1)-1＝a(xb-1)＝(ax)b-1＝(xa)b-1＝x(ab-1)由判定定理二可知，C≤G。第50頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一中心的說(shuō)明對(duì)于阿貝爾群G，因?yàn)镚中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G。但是對(duì)某些非交換群G，它的中心是{e}。第51頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.14例11.14

設(shè)G是群，H,K是G的子群。證明

(1)H∩K也是G的子群。

(2)H∪K是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)HK或KH。證明：(1)由e∈H∩K知H∩K非空。 任取a,b∈H∩K，則a∈H，a∈K，b∈H，b∈K。 由于H和K是G的子群，必有ab-1∈H和ab-1∈K， 從而推出ab-1∈H∩K。 根據(jù)判定定理二，命題得證。第52頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.14（2）(2)H∪K是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)HK或KH。充分性是顯然的。必要性，用反證法。假設(shè)HK且KH，那么存在h和k使得

h∈H∧hK

并且

k∈K∧kH這就推出hkH。若不然，由h-1∈H可得k＝h-1(hk)∈H，與假設(shè)矛盾。同理可證，hkK。從而得到hkH∪K。這與H∪K是子群矛盾。第53頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如何找到有限群的全部子群第0層：{e}是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0層。第1層：任取aG，ae，則<a>是a由生成的子群。 如果<a>≠G且不存在<b>是<a>的真子群，則將<a>放在第1層。如果G中所有的非單位元生成的子群都等于G，則構(gòu)造結(jié)束，

并將G放在第1層。如果a,bG，a≠b，但<a>＝<b>，這時(shí)取<a>（或<b>）。第2層：如果<a>在第1層，并且G中存在其它元素b滿足<a><b>，同時(shí)不存在元素c使得<a><c><b>，那么<b>放在第2層。此外，第2層還包含有第1層的子群的并集生成的更大的子群。第54頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如何找到有限群的全部子群任取第1層的兩個(gè)子群H1,H2，令B＝H1∪H2，如果H1H2，H1H2,那么H1∪H2不是G的子群，而只是G的子集，將G的所有包含B的子群的交記作<B>，即<B>＝∩{H|BH∧H≤G}。易見(jiàn)<B>是G的子群，稱為由B生成的子群，<B>中的元素恰為如下形式：a1a2…ak,k∈Z+其中ai是B中元素或B中元素的逆元。不難證明，<B>是包含了H1和H2的最小子群。按照這樣的方法，構(gòu)造<H1∪H2>，如果<H1∪H2>≠G且第2層不存在其他子群是<H1∪H2>的真子群，則將<H1∪H2>放在第2層。從而由第1層的子群生成第2層的所有子群。當(dāng)然，不同的子群可能會(huì)生成相同的新子群。按照這種辦法繼續(xù)下去，每層構(gòu)造時(shí)先檢查是否還有單元素生成的新子群，然后利用前一層子群的并集生成新子群。由于G是有限群，經(jīng)過(guò)有限步生成后，總可得到最高層的唯一的平凡子群G，這時(shí)構(gòu)造過(guò)程結(jié)束。第55頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如何找到有限群的全部子群例如：G＝{e,a,b,c}是Klein四元群，根據(jù)上述的構(gòu)造性方法得到G的全部子群如下： 第2層G

第1層<a>＝{e,a},<b>＝{e,b},<c>＝{e,c}

第0層{e}例如：G＝Z6＝{0,1,2,3,4,5}，模6加群。則G的全部子群如下： 第2層G

第1層<2>＝<4>＝{0,2,4},<3>＝{0,3}

第0層{0}第56頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如何找到有限群的全部子群設(shè)G為群，令S＝{H|H是G的子群}，在S上定義關(guān)系R如下： A,BS,ARBA是B的子群那么<S,R>構(gòu)成偏序集，稱為群G的子群格。Klein四元群G與模12加群Z12的子群格如圖所示。第57頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本節(jié)主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求

主要內(nèi)容子群的定義。

子群的三個(gè)判定定理及其應(yīng)用。典型子群：由元素生成的子群<a>,群G的中心C，若干個(gè)子群的交集。學(xué)習(xí)要求會(huì)證明群的子集是子群。了解幾個(gè)典型子群的定義。

第58頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11.4陪集與拉格朗日定理本節(jié)主要討論群的分解陪集的定義、實(shí)例、性質(zhì)拉格朗日定理第59頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一陪集定義11.9

設(shè)H是G的子群，a∈G。令

Ha＝{ha|h∈H}

稱Ha是子群H在G中的右陪集(rightcoset)。稱a為Ha的代表元素。實(shí)例：設(shè)G＝{e,a,b,c}是Klein四元群，H＝{e,a}是G的子群。

H所有的右陪集是： He＝{e,a}＝H Ha＝{a,e}＝H Hb＝{b,c} Hc＝{c,b}

不同的右陪集只有兩個(gè)，即H和{b,c}。第60頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一陪集的實(shí)例設(shè)A＝{1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù)。其中f1＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>}f2＝{<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3＝{<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4＝{<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5＝{<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6＝{<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G＝{f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群?？紤]G的子群H＝{f1,f2}。做出H的全體右陪集如右面所示：Hf1＝{f1f1,f2f1}＝{f1,f2}＝HHf2＝{f1f2,f2f2}＝{f2,f1}＝HHf3＝{f1f3,f2f3}＝{f3,f5}Hf4＝{f1f4,f2f4}＝{f4,f6}Hf5＝{f1f5,f2f5}＝{f5,f3}Hf6＝{f1f6,f2f6}＝{f6,f4}易見(jiàn)，不同的右陪集只有三個(gè)，每個(gè)右陪集都是G的子集。第61頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一陪集的基本性質(zhì)定理11.8

設(shè)H是群G的子群，則

(1)He＝H。

(2)a∈G有a∈Ha。證明：(1)He＝{he|h∈H}＝{h|h∈H}＝H

(2)任取a∈G，由a＝ea和ea∈Ha得a∈Ha。第62頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.9定理11.9

設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hbab-1∈HHa＝Hb證明：先證a∈Hbab-1∈H。a∈Hbh(h∈H∧a＝hb)h(h∈H∧ab-1＝h)ab-1∈H第63頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.9反之，任取h1b∈Hb，則有再證：a∈HbHa＝Hb。充分性。若Ha＝Hb，由a∈Ha可知，必有a∈Hb。必要性。由a∈Hb可知，存在h∈H使得a＝hb，即b＝h-1a。任取h1a∈Ha，則有h1a＝h1(hb)＝(h1h)b∈Hb從而得到HaHb。h1b＝h1(h-1a)＝(h1h-1)a∈Ha從而得到HbHa。綜上所述，Ha＝Hb得證。第64頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.9的說(shuō)明該定理給出了兩個(gè)右陪集相等的充分必要條件，并且說(shuō)明在右陪集中的任何元素都可以作為它的代表元素。在例11.15中，H＝{f1,f2} f3＝{<1,3>,<2,2>,<3,1>} f5＝{<1,2>,<2,3>,<3,1>} Hf3＝{f1f3,f2f3}＝{f3,f5} Hf5＝{f1f5,f2f5}＝{f5,f3}

可以看出 f3∈Hf5，所以Hf3＝Hf5。 同時(shí)有 f3f5-1＝f3f6＝f2∈H第65頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.10定理11.10

設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：a,b∈G，

<a,b>∈Rab-1∈H

則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且[a]R＝Ha。證明：先證明R為G上的等價(jià)關(guān)系。 任取a∈G,由 aa-1＝e∈H<a,a>∈R

可知R在G上是自反的。 任取a,b∈G，則<a,b>∈Rab-1∈H(ab-1)-1∈Hba-1∈H

<b,a>∈R所以R是對(duì)稱的。第66頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.10b∈[a]R任取a,b,c∈G，則<a,b>∈R∧<b,c>∈Rab-1∈H∧bc-1∈Hac-1∈R<a,c>∈R所以R是傳遞的。綜上所述，R是G上的等價(jià)關(guān)系。下面證明：a∈G,[a]R＝Ha。任取b∈G，則有

<a,b>∈Rab-1∈H根據(jù)定理11.9有ab-1∈HHa＝Hbb∈Ha這就推出b∈[a]R

b∈Ha，從而證明了[a]R＝Ha。(ab-1)(bc-1)∈H第67頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.10推論推論設(shè)H是群G的子群，則

(1)任取a,b∈G，Ha＝Hb或Ha∩Hb＝

(2)∪{Ha|a∈G}＝G證明：由定理11.10和7.14可得。重要結(jié)果：給定群G的一個(gè)子群H，H的所有右陪集的集合{Ha|a∈G}恰好構(gòu)成G的一個(gè)劃分。舉例：考慮Klein四元群G＝{e,a,b,c}，H＝{e,a}是G的子群。

H在G中的右陪集是H和Hb，其中Hb＝{b,c}。 那么{H,Hb}構(gòu)成了G的一個(gè)劃分。第68頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.11定理11.11

設(shè)H是群G的子群，則

a∈G，H≈Ha證明：令f:H→Ha，f(x)＝xa。任取ha∈Ha，h∈H，使得f(h)＝ha，因而f是滿射的。假設(shè)f(h1)＝f(h2)，那么有h1a＝h2a。根據(jù)消去律得h1＝h2，因而f是單射的。因此，H≈Ha。第69頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一右陪集H的右陪集定義，即

Ha＝{ha|h∈H}，a∈G右陪集的性質(zhì)：1.He＝H2.a∈G，a∈Ha3.a,b∈G，a∈Hbab-1∈H Ha＝Hb4.若在G上定義二元關(guān)系R，

a,b∈G,<a,b>∈Rab-1∈H

則R是G上的等價(jià)關(guān)系， 且[a]R＝Ha。5.a∈G，H≈Ha。H的左陪集定義，即

aH＝{ah|h∈H}，a∈G左陪集的性質(zhì)：1.eH＝H2.a∈G，a∈aH3.a,b∈G，a∈bHb-1a∈H aH＝bH4.若在G上定義二元關(guān)系R，

a,b∈G,<a,b>∈Rb-1a∈H

則R是G上的等價(jià)關(guān)系， 且[a]R＝aH。5.a∈G，H≈aH。左陪集第70頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一左陪集舉例群G＝{f1,f2,…,f6}。令H＝{f1,f2}，則H在G中的全體左陪集如下：f1H＝{f1f1,f1f2}＝{f1,f2}＝Hf2H＝{f1f2,f2f2}＝{f2,f1}＝Hf3H＝{f3f1,f3f2}＝{f3,f6}f4H＝{f4f1,f4f2}＝{f4,f5}f5H＝{f5f1,f5f2}＝{f5,f4}f6H＝{f6f1,f6f2}＝{f6,f3}

和H的右陪集相比較,不難看出有

Hf1＝f1H，Hf2＝f2H，Hf3≠f3H，Hf4≠f4H，Hf5≠f5H，Hf6≠f6H結(jié)論：一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于群G的每個(gè)子群H不能保證有Ha＝aH。但是對(duì)某些特殊的子群H，a∈G都有Ha＝aH，稱這些子群為G的正規(guī)子群。Hf1＝{f1f1,f2f1}＝{f1,f2}＝HHf2＝{f1f2,f2f2}＝{f2,f1}＝HHf3＝{f1f3,f2f3}＝{f3,f5}Hf4＝{f1f4,f2f4}＝{f4,f6}Hf5＝{f1f5,f2f5}＝{f5,f3}Hf6＝{f1f6,f2f6}＝{f6,f4}第71頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一左右陪集個(gè)數(shù)相等令S＝{Ha|aG}T＝{aH|aG}分別表示H的右陪集和左陪集的集合，定義：

f:S→T，f(Ha)＝a-1H，aG可以證明f是S到T的雙射函數(shù)。對(duì)a，bG有Ha＝Hbab-1∈H(ab-1)-1∈H(b-1)-1a-1∈Ha-1H＝b-1H這說(shuō)明對(duì)于任意的Ha∈S，必有唯一的f(Ha)∈T與之對(duì)應(yīng)，即f是函數(shù)。同時(shí)可知：若f(Ha)＝f(Hb)，必有Ha＝Hb，即f是單射。任取bH∈T，則Hb-1∈S，且有f(Hb-1)＝(b-1)-1H＝bH從而證明了f的滿射性。因此S≈T。第72頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一關(guān)于陪集的進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)于子群H和元素a，它的左陪集aH與右陪集Ha一般說(shuō)來(lái)是不等的。H的左陪集個(gè)數(shù)與右陪集個(gè)數(shù)是相等的，因?yàn)榭梢宰C明f(Ha)＝a-1H，f在H的右陪集和左陪集之間建立了一一對(duì)應(yīng)。今后不再區(qū)分H的右陪集數(shù)和左陪集數(shù)，統(tǒng)稱為H在G中的陪集數(shù)，也叫做H在G中的指數(shù)，記作[G:H]。對(duì)于有限群G，H在G中的指數(shù)[G:H]和|G|,|H|有密切的關(guān)系，這就是著名的拉格朗日定理。第73頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一拉格朗日定理定理11.12

設(shè)G是有限群，H是G的子群，則|G|＝|H|·[G:H]證明：

設(shè)[G:H]＝r，a1,a2,…,ar分別是H的r個(gè)右陪集的代表元素。 根據(jù)定理11.10的推論有

G＝Ha1∪Ha2∪…∪Har

由于這r個(gè)右陪集是兩兩不交的，所以有

|G|＝|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|

由定理11.11可知，|Hai|＝|H|，i＝1,2,…,r。 將這些等式代入上式得

|G|＝|H|·r＝|H|·[G:H]第74頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一拉格朗日定理的推論1

推論1

設(shè)G是n階群，則a∈G，|a|是n的因子，且有an＝e。證明 任取a∈G，則<a>是G的子群。 由拉格朗日定理可知，<a>的階是n的因子。 另一方面，<a>是由a生成的子群，若|a|=r，則

<a>＝{a0＝e,a1,a2,…,ar-1}

這說(shuō)明<a>的階與|a|相等， 所以|a|是n的因子。 根據(jù)定理11.4(1)，必有an＝e。第75頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一拉格朗日定理的推論2推論2

對(duì)階為素?cái)?shù)的群G，必存在a∈G，使得G＝<a>。證明 設(shè)|G|＝p，p是素?cái)?shù)。 由p≥2可知，G中必存在非單位元。 任取a∈G，a≠e，則<a>是G的子群。 根據(jù)拉格朗日定理，<a>的階是p的因子， 即<a>的階是p或1，顯然<a>的階不是1， 這就推出G＝<a>。說(shuō)明拉格朗日定理對(duì)分析有限群中元素的階很有用。這個(gè)定理的逆命題并不為真。有時(shí)候r是n的因子，但n階群G中不一定含有r階元。

可以驗(yàn)證例11.15中的群G={f1,f2,…,f6}中并沒(méi)有6階元。第76頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一拉格朗日定理的應(yīng)用實(shí)例命題：如果群G只含1階和2階元，則G是Abel群。證明：設(shè)a為G中任意元素，根據(jù)題意，有a1＝e或a2＝e， 即有a-1＝a。 任取x,y∈G，則xy＝(xy)-1＝y(tǒng)-1x-1＝y(tǒng)x。因此G是Abel群。第77頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.16例11.16

證明6階群中必含有3階元。證明：設(shè)G是6階群，由拉格朗日定理的推論1可知G中的元 素只能是1階、2階、3階或6階元。 若G中含有6階元，設(shè)這個(gè)6階元是a，則a2是3階元。 若G中不含6階元，下面證明G中必含有3階元。 如若不然，G中只含1階和2階元， 即a∈G，有a2＝e，由命題可知G是阿貝爾群。 取G中兩個(gè)不同的2階元a和b，令

H＝{e,a,b,ab}

易證H是G的子群， 但|H|=4，|G|=6，與拉格朗日定理矛盾。第78頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.17例11.17

證明階小于6的群都是阿貝爾群。證明：1階群是平凡的，顯然是阿貝爾群。

2,3和5都是素?cái)?shù)。由拉格朗日定理的推論2可知2階,3階和5階群都是由一個(gè)元素生成的群。它們都是阿貝爾群。 （因?yàn)閍i,aj∈G，有aiaj＝ai+j＝aj+i＝ajai。） 設(shè)G是4階群。若G中含有4階元，比如說(shuō)a，則G＝<a>， 由剛才的分析可知G是阿貝爾群。 若G中不含4階元，根據(jù)拉格朗日定理，G中只含1階和2階元。 由命題可知G也是阿貝爾群。第79頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一本節(jié)內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求主要內(nèi)容陪集的定義及實(shí)例。陪集及其代表元素之間的關(guān)系。陪集的四條性質(zhì)。有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|[G:H])及兩個(gè)推論。學(xué)習(xí)要求在群G中會(huì)求已知子群H的右（或左）陪集。

了解陪集的性質(zhì)，特別是兩個(gè)陪集相等的充要條件。

了解群G的陪集分解是怎樣與G上的等價(jià)關(guān)系相對(duì)應(yīng)的。

掌握拉格朗日定理及其推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

第80頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一11.5正規(guī)子群與商群正規(guī)子群的定義及實(shí)例正規(guī)子群的兩個(gè)判別定理以及相應(yīng)的四種判別方法

商群的定義及其實(shí)例。

第81頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一正規(guī)子群的定義及實(shí)例定義11.10設(shè)H是群G的子群。如果a∈G都有Ha＝aH,則稱H是G的正規(guī)子群(normalsubgroup)或不變子群，記作H≤|G。注意條件Ha＝aH僅僅表示兩個(gè)集合aH和Ha相等。錯(cuò)誤的理解：由aH＝Ha可推出ah＝ha對(duì)H中所有的元素h都成立。正確的理解：對(duì)h∈H，存在h1∈H，使ah＝h1a。說(shuō)明任何群G都有正規(guī)子群，因?yàn)镚的兩個(gè)平凡子群，即G和{e}，都是G的正規(guī)子群。如果G是阿貝爾群，G的所有子群都是正規(guī)子群。第82頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一正規(guī)子群的實(shí)例例11.18

設(shè)A＝{1,2,3},f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù)。其中

f1＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>},

f2＝{<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3＝{<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4＝{<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5＝{<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6＝{<1,3>,<2,1>,<3,2>}

令G＝{f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群。G的全體子群是：

H1＝{f1},

H2＝{f1,f2},

H3＝{f1,f3} H4={f1,f4}, H5＝{f1,f5,f6}, H6＝G

不難驗(yàn)證，H1,H5和H6是G的正規(guī)子群，而H2,H3和H4不是正規(guī)子群。第83頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一正規(guī)子群的判定定理定理11.13

設(shè)N是群G的子群，N是群G的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)任取g∈G，n∈N有g(shù)ng-1∈N。證明

必要性。任取g∈G，n∈N，由gN＝Ng可知，存在n1∈N使得gn＝n1g，從而有g(shù)ng-1＝n1gg-1＝n1∈N。充分性，即證明g∈G有g(shù)N＝Ng。任取gn∈gN，由gng-1∈N可知存在n1∈N使得gng-1＝n1，從而得gn＝n1g∈Ng。這就推出gNNg。反之，任取ng∈Ng，由于g-1∈G必有(g-1)n(g-1)-1∈N，即g-1ng∈N。所以存在n1∈N使得g-1ng＝n1，從而有ng＝gn1∈gN。這就推出NggN。綜合上述，g∈G有g(shù)N＝Ng。第84頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一正規(guī)子群的判定實(shí)例例11.19

設(shè)G是全體n階實(shí)可逆矩陣的集合關(guān)于乘法構(gòu)成的群，其中n≥2。令

H＝{X|X∈G∧detX＝1}

其中detX表示矩陣X的行列式，則H是G的正規(guī)子群。證明 設(shè)E表示n階單位矩陣，則E∈H，H非空。 任取M1,M2∈H，則

det(M1M2-1)＝detM1detM2-1＝1

所以M1M2-1∈H。由子群判別定理可知，H≤G。 下面證明H是正規(guī)的。任取X∈G,M∈H,則det(XMX-1)＝detX·detM·detX-1＝detX·detX-1＝det(XX-1)＝detE＝1所以XMX-1∈H。由判定定理,H是G的正規(guī)子群。第85頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一定理11.14定理11.14設(shè)N是群G的子群，N是G的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)g∈G，有g(shù)Ng-1＝N。證明 任取g∈G有g(shù)Ng-1＝N

(gNg-1)g＝Ng

gN＝Ng由正規(guī)子群定義，定理得證。第86頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.20例11.20

設(shè)N是群G的子群，若G的其他子群都不與N等勢(shì)，則N是G的正規(guī)子群。證明 任取g∈G，則gNg-1是G的子群。 容易證明N≈gNg-1。令

f:N→gNg-1，f(n)＝gng-1，n∈N

則f是N到gNg-1的映射。 假若f(n1)＝f(n2),則有g(shù)n1g-1=gn2g-1， 從而推出n1＝n2，即f是單射。 任取gng-1∈gNg-1，則有n∈N且f(n)＝gng-1， 這就證明f是滿射。從而N≈gNg-1。 根據(jù)已知條件，必有g(shù)Ng-1＝N。 所以N是G的正規(guī)子群。第87頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.21例11.21設(shè)N是群G的子群，若[G:N]＝2，則N是G的正規(guī)子群。證明 由[G:N]＝2可知N存在兩個(gè)右陪集，即

G＝N∪Ng，gN

同理可知， G＝N∪gN，gN

任取g∈G，若g∈N，則有g(shù)N＝N＝Ng。 若gN，則有g(shù)N＝G-N＝Ng。 從而證明了N是G的正規(guī)子群。例11.20和例11.21可作為判別正規(guī)子群的充分條件來(lái)使用?？紤]例11.18中的群G。H1、H5和H6都是G的唯一的1階、3階和6階子群。所以它們都是正規(guī)的。對(duì)于H5,由于[G:H5]＝2，根據(jù)例11.19的結(jié)論也可以判別的它的正規(guī)性。第88頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一商群由群G和G的正規(guī)子群N可以構(gòu)造一個(gè)新的群，就是G的商群G/N。設(shè)G是群，N是G的正規(guī)子群，令G/N是N在G中的全體右陪集（或左陪集）構(gòu)成的集合，即

G/N＝{Ng|g∈G}在G/N上定義二元運(yùn)算如下： Na,Nb∈G/N，

NaNb＝Nab可以證明G/N關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。首先驗(yàn)證運(yùn)算是良定義的，即N的任意兩個(gè)陪集Na、Nb的乘積是唯一的。因?yàn)檫\(yùn)算是涉及到類的運(yùn)算，必須證明該運(yùn)算與類的代表元素的選擇無(wú)關(guān)。換句話說(shuō)，若Na＝Nx,Nb＝Ny,則有NaNb＝NxNy。第89頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一商群任取a,b,x,y∈G，則有

Na＝Nx∧Nb＝Ny n1n2(a＝n1x∧b＝n2y) Nab＝Nn1xn2y＝Nn1n2′xy（由于N是正規(guī)的）

Nab＝Nxy

NaNb＝NxNy易見(jiàn)G/N關(guān)于運(yùn)算是封閉的。第90頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一商群再證明運(yùn)算是可結(jié)合的。任取a,b,c∈G，(NaNb)Nc＝NabNc＝N(ab)c＝NabcNa(NbNc)＝NaNbc＝Na(bc)＝Nabc所以有(NaNb)Nc＝Na(NbNc)。Ne＝N是G/N中關(guān)于運(yùn)算的單位元。Na∈G/N，Na-1是Na的逆元。綜上所述,G/N關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成群。稱為G的商群(quotientgroup)。第91頁(yè)，共150頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例11.22設(shè)<Z,+>是整數(shù)加群，令

3Z＝{3z|