等差數(shù)列求和

小學(xué)四年級奧數(shù)在過去的三百多年里，人們分別在下列時間里觀測到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能預(yù)測出下一次的大致時間嗎？2062相差76你能根據(jù)規(guī)律在（）內(nèi)填上合適的數(shù)嗎？(3)1,4，9，16,（），36，…(4)1,2，3,5，8,13，21，（）…（1）3,4,5,6,7,8,9,()…(2)1,2,4,8,16,32,64,()…253412810

象這樣按照一定的規(guī)律排列的一組數(shù),我們稱為數(shù)列,其中每個數(shù)都叫做數(shù)列的項,排在第一列的叫第一項,(也叫首項)一般用a

1

表示,第二列的叫第二項,用a

2表示,……排在第N個的數(shù)叫第N項,用an表示.+1+1+1+1+1+1×2×2×2×2×2×21×12×23×34×4等差數(shù)列等比數(shù)列斐波拉契數(shù)列平方數(shù)列數(shù)列的分類1、按數(shù)列中項的個數(shù)來分類：有限數(shù)列：如：0，1，1，2，4，7，13，24，44無限數(shù)列：如：1，3，5，7，9，11，13，……數(shù)列的分類2、按數(shù)列中項的變化規(guī)律來分類：遞增數(shù)列：如：1，2，3，4，5，6，……，100遞減數(shù)列：如：100，99，98，97，……，2，1常數(shù)列：如：1，1，1，1，1，1，……，1數(shù)列的分類3、按數(shù)列中項的性質(zhì)特點來分類：等差數(shù)列：如：0，1，2，3，4，5，6，……（自然數(shù)列）遞推數(shù)列：如：1，1，2，3，5，8，13，21，……周期數(shù)列：如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，……實戰(zhàn)演練1觀察與分析下面各列數(shù)的排列規(guī)律，然后填空。（1）5，9，13，17，

，

。（2）1，4，9，16，

，

。（3）4，5，7，11，19，

，

。212525363567找出下列各數(shù)列的規(guī)律，在橫線上，填出適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）5，15，45，135，

，

。（2）60，63，68，75，

，

。（3）180，155，131，108，

，

。（4）0，1，1，2，3，5，

，

。405121584958665813實戰(zhàn)演練2小故事

一位教師布置了一道很繁雜的計算題，要求學(xué)生把1到100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，一位小男孩即刻把寫著答案的小石板交了上去。

1+2+3+4+......+98+99+100=?

老師起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于那個男孩時，才大吃一驚。

而更使人吃驚的是男孩的算法......

小故事

老師發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)加最后一個數(shù)是101，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)的和也是101，……共有50對這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計算等級數(shù)的方法，高斯的才華使老師——彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教這位男孩的了?？枴じダ锏吕锵！じ咚?/p>

此男孩叫高斯，是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。四則運算（等差數(shù)列求和）（一）等差數(shù)列的主要內(nèi)容1、等差數(shù)列的基本知識2、等差數(shù)列的項3、等差數(shù)列的和一、等差數(shù)列的基本知識（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

像這樣按照一定規(guī)律排列成的一列數(shù)我們稱它為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項；第1項稱為首項；最后1項稱為末項；在第幾個位置上的數(shù)就叫第幾項；有多少項稱為項數(shù)；（一）數(shù)列的基本知識（二）等差數(shù)列的基本知識（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30

（公差=1）（公差=2）（公差=5）

通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)上面的每一個數(shù)列中，從第二項開始，后項與前項的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個差稱為這個數(shù)列的公差。

從第二項開始，后項與前項的差都相等的，具有這樣特征的數(shù)列稱為等差數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中共有的項的個數(shù)叫做項數(shù)。等差數(shù)列的特點就是任意相鄰兩項的差都相等，我們把這個差叫做公差。a1表示第一項，d表示公差，排在第N個的數(shù)叫第N項,用an表示.一、定義：例1：觀察下列數(shù)列是否是等差數(shù)列：等差數(shù)列一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，后一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那麼這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。

1，4，7，10，13，16，…1,3,5,7,9,2,4,6,8,10…5，5，5，5，5，5，…1,3,5,7,10,13,16,19…

公差=第二項－首項評注：習(xí):按規(guī)律把下列數(shù)列補充完整,并且指出那些是等差數(shù)列.1,3,6,8,16,18,(),(),76,7881,64,49,36,(),()35,28,22,17,(),()1,2,4,7,11,16,()2,3,5,8,12,17,()2,3,5,8,13,()1,3,7,15,()45,55,66,78,(),()二、等差數(shù)列的項等差數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項；第1項稱為首項；最后1項稱為末項；在第幾個位置上的數(shù)就叫第幾項；有多少項稱為項數(shù)；4、10、16、22、28、34、40、46、52等差數(shù)列：1、3、5、7、9、11……第2項：3=1+2首項+公差×1（2-1）第3項：5=1+2×2首項+公差×2（3-1）第4項：7=1+2×3首項+公差×3（4-1）第5項：9=1+2×4首項+公差×4（5-1）第6項：11=1+2×5首項+公差×5（6-1）a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3da5=a1+4d=1+2=3=1+2×2=5=1+3×2=1+4×2=7=9解:已知a1=1,d

=2,a10=？求a21,a34,a57,a66a10=a1+9d=1+9×2=19a34=a1+33da21=a1+20da57=a1+56d=1+56×2=1+33×2=1+20×2=113=67=41等差數(shù)列的通項公式：等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）an=a1+d×（n-1）等差數(shù)列的首項=末項-公差×（項數(shù)-1）適用條件：該數(shù)列一定要為等差數(shù)列等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）例1已知數(shù)列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10項是多少？（2）它的第98項是多少？（3）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？分析：首項=2公差=3解：（1）第10項：2+3×（10-1）=29

（2）第98項：2+3×（98-1）=293

等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）例1已知數(shù)列2、5、8、11、14……求：（3）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？

分析：

被除數(shù)=余數(shù)+除數(shù)×商等差數(shù)列的某一項=2+3×（項數(shù)-1）規(guī)律：等差數(shù)列的某一項與被除數(shù)相對應(yīng)，首項與余數(shù)相對應(yīng)，公差與除數(shù)相對應(yīng)，（項數(shù)-1）與商相對應(yīng)。這個數(shù)列每1項除以3都余2。

等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。答：這個數(shù)列第10項是29；第98項是293；這個數(shù)列各項除以3余數(shù)相同。

根據(jù)已知求項數(shù)1，2，3，4……97，98，99，100這一數(shù)列有幾項呢？1001，3，5，7……99

這一數(shù)列有幾項呢？50那5，6，7，8，9，……45這一數(shù)列又有幾項呢？例2已知數(shù)列2、5、8、11、14、17，這個數(shù)列有多少項。分析：第2項比首項多1個公差，第3項比首項多2個公差，第4項比首項多3個公差……，那第n項比首項多（n-1)個公差。規(guī)律：末項比首項多的公差的個數(shù)，再加上1，就得到這個數(shù)列的項數(shù)。

等差數(shù)列的項數(shù)=公差個數(shù)

+1=（末項-首項）÷公差+1這個數(shù)列的項數(shù)=（17-2）÷3+1=6小結(jié)：等差數(shù)列項的有關(guān)規(guī)律等差數(shù)列的某一項=首項+公差×（項數(shù)-1）等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。等差數(shù)列的項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1練習(xí)1、一串?dāng)?shù)：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21項是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個？2、一串?dāng)?shù)：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25項是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個？3、一串?dāng)?shù)：101、102、103、104、……199。（1）它的第30項是多少?（2）這串?dāng)?shù)共有多少個？4、一串?dāng)?shù)：7、12、17、22……。（1）它的第60項是多少?（2）這個數(shù)列各項被幾除有相同的余數(shù)？練習(xí)答案：1、它的第21項=1+2×（21-1）=41；這個數(shù)列的項數(shù)=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25項=2+2×（25-1）=50；這個數(shù)列的項數(shù)=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30項=101+1×（30-1）=130；這個數(shù)列的項數(shù)=（199-101）÷1+1=994、它的第60項=7+5×（60-1）=302；這個數(shù)列各項被5除有相同的余數(shù)。（提示：等差數(shù)列的每1項除以它的公差，余數(shù)相同。）二、等差數(shù)列的和例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：這是一個等差數(shù)列；首項=6，末項=38，公差=4原數(shù)列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒過來的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6

444444444444444444兩數(shù)列之和=（6+38）×9解：原數(shù)列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198

等差數(shù)列的和=（首項+末項）×項數(shù)÷2例：計算1+6+11+16+21+26+......+276分析：這是一個等差數(shù)列；首項=1，末項=276，公差=5

等差數(shù)列的和=（首項+末項）×項數(shù)÷2

？等差數(shù)列的項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1解：等差數(shù)列的項數(shù)：（276-1）÷5+1=56（項）

原數(shù)列之和=（1+276）×56÷2

=277×28

=7756練習(xí)1、計算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+....