2023年有限元介紹

第有限元介紹

有限元分析技術(shù)手機q:63702023

1有限元的概念有限元分析(FEA,FiniteElementAnalysis)是將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的近似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件，從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。

2有限元的應(yīng)用范圍2-1固體力學(xué)，包括強度、穩(wěn)定性、震動和瞬態(tài)問題的分析，線性和非線性分析2-2傳熱學(xué)2-3電磁場2-4流體力學(xué)2-5金屬成形過程的分析2-6焊接殘余應(yīng)力分析2-7熱處理過程的分析

3有限元的基本求解原理3-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)3-2應(yīng)力的概念3-3位移及應(yīng)變，幾何方程，剛體位移3-4應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，物理方程3-5虛功原理及虛功方程3-6單元剛度矩陣3-7整體分析3-8整體剛度矩陣的形式3-9支承條件的處理3-10求解方程

3-1材料力學(xué)與彈性力學(xué)有限單元法—機械工程中所指的是有限單元法在彈性力學(xué)問題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。在此簡單介紹這些概念和方程，了解彈性力學(xué)有限單元法的相關(guān)知識。

彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。

材料力學(xué)

彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。

2、研究的對象：有相同也有區(qū)別。材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉?gòu)件。

彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—3、研究的方法：有較大的區(qū)別。

材料力學(xué)

雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。

材料力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—y

彈性力學(xué)

y

q

q

sxx#188;#205;1-1a

sx0#188;#205;1-1b

x

材料力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—yq

y

彈性力學(xué)q

sy#188;#205;1-2a

sxx#188;#205;1-2b

syx

q

sxsy=q#188;#205;1-2c

sx

材料力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—

彈性力學(xué)

#188;#205;

1-3a

#188;#205;

1-3b

彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—

材料力學(xué)

總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：

彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(1)物體是連續(xù)的，亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。

(2)物體是完全彈性的，亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。

(3)物體是均勻的，也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標而變。

彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(4)物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。

(5)物體的變形是微小的，亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1,這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。

3-2應(yīng)力的概念作用于彈性體的外力(或稱荷載)可能有兩種：表面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成分，用記號、來表示。、

體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分，用記號x、Y、Z表示。

彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。

3-2應(yīng)力的概念彈性體內(nèi)微小的平行六面體PABC,稱為體素PA=dx,PB=dy,PC=dz每一個面上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個坐標軸平行

圖1-4

s剪應(yīng)力正應(yīng)力

正應(yīng)力

s

3-2應(yīng)力的概念

為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個角碼，例如，正應(yīng)力sx是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著x軸方向作用的。剪應(yīng)力

加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。例如，剪應(yīng)力xy是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。

3-2應(yīng)力的概念應(yīng)力的正負如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸