《研究生 數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第五章大數(shù)定律和中心極限定理

第一節(jié)大數(shù)定律編輯ppt概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.編輯ppt

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律編輯ppt大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率……編輯ppt幾個(gè)常見的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即Var(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對任意的ε>0，編輯ppt切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望偏差很小的概率接近于1.隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述編輯ppt證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對于任給>0,編輯ppt作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.定理2（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，Var(Xi)=，i=1,2,…,則對任給

>0,編輯ppt下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理2的一種特例.貝努里設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,…,n則是事件A發(fā)生的頻率編輯ppt于是有下面的定理：設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的ε>0，定理3（貝努里大數(shù)定律）或貝努里編輯ppt貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法.任給ε>0，貝努里大數(shù)定律請看演示編輯ppt下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律辛欽請看演示編輯ppt例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).編輯ppt這一講我們介紹了大數(shù)定律大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了