用特征根方程法求數(shù)列通項

特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項n+11n1naafxxnnnn2x一7x70xlnJ48 a_12a+3a+4_2a_3_a+11a_1nn55 1n n 一、數(shù)列的一階特征方程(a=pa+q型)nn_1n1nn_1nnnn1_p數(shù)列{a}的通項公式為：a=(a_x)pn_1+x；nn1n1n (參考答案：a=27_)n3n_1nn+1nann+1nn12n+2n+1nnn12n+2n+1nn其根x，x叫做特征方程的特征根。nn111212nn12nn一1n一2n nn1,n+1nn1,n+1n采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為x，則當(dāng)x=a時，a為常數(shù)列，即001na=a;當(dāng)x=a時,a=b+x，其中是以c為公比的等比數(shù)列，即b=bcn一1,b=a一x.n101nn0nn1110cnn0dnnncnn011nn1011nn1nn+13n1n302111101122n3n1323n2n223nn+1n當(dāng)a取何值時，數(shù)列{a}是常數(shù)數(shù)列？1n05n105現(xiàn)在考慮一個分式遞推問題(*).例3．已知數(shù)列{a}滿足性質(zhì)：對于nN,a=,且a=3,求{a}的通項公式.nn12a+31nn將這問題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.定理2.如果數(shù)列{a}滿足下列條件：已知a的值且對n1nnn1b=0時，無窮數(shù)列{a}不存在.0nn0 12nc1nnapr12122證明：先證明定理的第(1)部分.作交換d=a入,nNnnnnn=n①rd+hr入nnrr111nnn當(dāng)d0即a入時，由②、③兩式可得d0,nN.此時可對②式作如下變化：1n1rd+h入rh+入r1rd=nn+1nnn1nnnbn當(dāng)存在nN,使b=0時，a=d+入=+入無意義.故此時，無窮數(shù)列{a}是不存在的.0n0n0n0bn0n0再證明定理的第(2)部分如下：∵特征方程有兩個相異的根入、入，∴其中必有一個特征根不等于a，不妨令入a.于是可作變換12121na入n2n22由第(1)部分的證明過程知x=p不是特征方程的根，故入p,入p.r1r2rnp入r2rxh12122n1p入ra入p入r111122hnrahphqrrhnrahnn述.述解:依定理作特征方程x=x+4,變形得2x2+2x4=0,其根為入=1,入=2.故特征方程有兩個相異的2x+312根，使用定理2的第(2)部分，則有122ncn(1)n11n2+(5)nncn(1)n11n2+(5)n55例4．已知數(shù)列{a}滿足：對于nN,都有a=13a25n.nn+1a+3n 1n1n1n1n1nrnn