噶米常微分方程模型及其數(shù)值解

噶米常微分方程模型及其數(shù)值解11、不為五斗米折腰。12、芳菊開林耀，青松冠巖列。懷此貞秀姿，卓為霜下杰。13、歸去來兮，田蜀將蕪胡不歸。14、酒能祛百慮，菊為制頹齡。15、春蠶收長絲，秋熟靡王稅。噶米常微分方程模型及其數(shù)值解噶米常微分方程模型及其數(shù)值解11、不為五斗米折腰。12、芳菊開林耀，青松冠巖列。懷此貞秀姿，卓為霜下杰。13、歸去來兮，田蜀將蕪胡不歸。14、酒能祛百慮，菊為制頹齡。15、春蠶收長絲，秋熟靡王稅。常微分方程數(shù)值解楊瑞琰0、導(dǎo)在許多實(shí)際問題中,例如物理中的速率問題,人的增長問題,放射性衰變問題,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊阿問題等,常常涉及到兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律微分方程是研究上述問題的一種機(jī)理分析方法,它在科技、工程、生態(tài)、環(huán)境、人口以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中有著十分廠泛的應(yīng)用。在應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題時(shí),必須經(jīng)過兩個(gè)階段。一是微分方程的建立,建立一個(gè)微分方程的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建函數(shù)、自變量以及函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)之間的一種平衡關(guān)系。而正確地構(gòu)建這種平衡關(guān)系,需要對(duì)實(shí)際問題的深入淺出的刻畫,根據(jù)物理的和非物理的原理、定律或定理,作出合理的假設(shè)和簡化并將它升華成數(shù)學(xué)問題。在農(nóng)村中學(xué)從事?Z文教學(xué)多年，我憂慮最深的是作文教學(xué)的現(xiàn)狀，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效果不佳。我認(rèn)為，創(chuàng)新是農(nóng)村語文教學(xué)的生命線，創(chuàng)新是農(nóng)村作文教學(xué)的力量之源。1農(nóng)村初中作文教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問題作為農(nóng)村初中的語文教師，結(jié)合20多年的作文教學(xué)實(shí)踐，我對(duì)農(nóng)村初中作文教學(xué)的現(xiàn)狀有著一種比較清醒的認(rèn)識(shí)。雖然有不少語文教師對(duì)作文教學(xué)進(jìn)行了不同程度的探索、嘗試和改革，在快速作文、自能作文等方面取得了一些成績，對(duì)學(xué)生寫作能力的培養(yǎng)發(fā)揮了很大的作用，但由于農(nóng)村地域經(jīng)濟(jì)的滯后和學(xué)校基礎(chǔ)條件的薄弱以及環(huán)境條件的制約，作文教學(xué)依然走不出誤區(qū)。學(xué)生的寫作水平總是提不高，往往為作文而作文，更談不上素質(zhì)的培養(yǎng)與提高。認(rèn)真分析農(nóng)村初中作文教學(xué)的滯后根源，主要表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)。1.1缺乏系統(tǒng)、全面的素質(zhì)教育之作文教學(xué)理論的指導(dǎo)和培訓(xùn)，走不出應(yīng)試教育的窠臼。近年師范院校的畢業(yè)生，還是有著數(shù)十年教齡的經(jīng)驗(yàn)豐富的老教師或中青年骨干教師，他們絕大多數(shù)人都是從應(yīng)試教育走出來的，觀念陳舊、教法呆板，加之受質(zhì)量壓力的影響，作文教學(xué)往往只是重復(fù)于大量的寫、練、評(píng)，局限于審題、立意、選材的講評(píng)和記敘、說明、議論、抒情等多種表達(dá)方式的應(yīng)試訓(xùn)練而已。如此的訓(xùn)練，自然只能培養(yǎng)機(jī)械的作文，為了考試而作文，談不上能力和素質(zhì)的提高，更談不上創(chuàng)新。1.2經(jīng)濟(jì)滯后，基礎(chǔ)條件差，現(xiàn)代信息技術(shù)教育和閱讀教學(xué)跟不上時(shí)代步伐，難以滿足作文教學(xué)的要求。要么圖書陳舊，要么適應(yīng)性差，圖書室、閱覽室開出率低，而學(xué)生也因家庭經(jīng)濟(jì)條件差，很難添置滿足閱讀需要的書刊。在信息教育方面，也因農(nóng)村環(huán)境差，網(wǎng)上閱讀，遙遙無期，自然限制了學(xué)生的文學(xué)鑒賞能力的提高和信息的獲取與儲(chǔ)備。1.3生活空間狹隘，視野狹窄，立意、選材難以出新。農(nóng)村師生生活在鄉(xiāng)村，出門少、閱歷淺、視野窄，對(duì)外面的精彩世界缺乏了解，無法感知日新月異的周圍世界和新人新事。其結(jié)果，導(dǎo)致學(xué)生作文的素材貧乏，只能局限于校園師生或?qū)W生之間或家庭之中。基于此，也只能完成一些《師生情》或《父母情》等這樣的限題作文，對(duì)社會(huì)新聞只能望洋興嘆，無動(dòng)于衷。1.4教學(xué)粗放，訓(xùn)練呆板，缺乏對(duì)學(xué)生思維能力的綜合訓(xùn)練。學(xué)生作文難以提高個(gè)性化和創(chuàng)新能力。由于長期受應(yīng)試教育的影響，作文教學(xué)必然圍繞考試這個(gè)綱，加大命題作文和話題作文的訓(xùn)練力度。在教學(xué)中往往是對(duì)同一題材或體裁作文的反復(fù)訓(xùn)練，以求在多練中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、以多取勝。在技巧的訓(xùn)練中，也只能蜻蜻點(diǎn)水，點(diǎn)到為止，如扣題、點(diǎn)題、議論、抒情等。學(xué)生長期受累于“技巧點(diǎn)撥式”的訓(xùn)練之中，受制于教師的點(diǎn)撥，缺乏自主性和創(chuàng)造性，只能機(jī)械作文或填鴨式作文，根本談不上自主作文，失去了作文教學(xué)的實(shí)踐性和創(chuàng)新性。重形式，不重內(nèi)容；重環(huán)節(jié)訓(xùn)練，不重寫作積累；重技巧訓(xùn)練，不重基礎(chǔ)訓(xùn)練，甚至連標(biāo)點(diǎn)符號(hào)也不能正確使用，語言貧乏，缺乏形象性、生動(dòng)性和美感。2作文教學(xué)的重點(diǎn)和幾點(diǎn)教學(xué)實(shí)踐嘗試透視農(nóng)村初中作文教學(xué)和學(xué)生作文能力的現(xiàn)狀，對(duì)照課程說明的相關(guān)要求，不難看出農(nóng)村初中作文教學(xué)的重點(diǎn)除進(jìn)行常規(guī)的程式訓(xùn)練和技巧點(diǎn)撥、指導(dǎo)之外，而應(yīng)把學(xué)生素材的積累、思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練方式的改革作為教學(xué)重點(diǎn)，籍此解決學(xué)生作文視野狹窄、材料陳腐不新、思維呆板、作文結(jié)構(gòu)形式不新、課外訓(xùn)練少、課堂教學(xué)效益差等弊端。在農(nóng)村初中，也有不少語文教師在作文教學(xué)中作了一定的探索和研究。他們因地制宜、因材施教，以不同形式激發(fā)學(xué)生情趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的作文靈性，變機(jī)械作文為自主作文，做出了有益的嘗試。2.1自能作文法。通過提高學(xué)生感悟能力的方式來加強(qiáng)學(xué)生課堂內(nèi)外文學(xué)作品的閱讀量，進(jìn)而提高文學(xué)鑒賞能力。學(xué)生文學(xué)鑒賞能力的提高，自然促成了學(xué)生作文能力的提高，作文的自覺性、主動(dòng)性增強(qiáng)，變教師的程式化作文訓(xùn)練為自能作文。2.2走出校園天地寬，以強(qiáng)化學(xué)生素材積累的方式擴(kuò)大學(xué)生視野，解決學(xué)生作文內(nèi)容空洞的根本問題。由于學(xué)生長時(shí)間封閉或半封閉生存于校園，除了學(xué)習(xí)時(shí)間，很少與外界有關(guān)系，接觸生活少，感知生活少，孤陋寡聞，自然缺乏生活積累。解決素材來源顯得極為重要。更重要的是提高了學(xué)生的創(chuàng)意，即創(chuàng)新能力。2.3學(xué)生發(fā)散思維和逆向思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生作文平淡，構(gòu)思不靈巧，選材不典型，立意不深刻，還有―個(gè)癥結(jié)便是對(duì)學(xué)生思維能力缺乏系統(tǒng)的訓(xùn)練。學(xué)生遇見作文題目或相關(guān)要求，往往只從一個(gè)角度或―個(gè)方面去理解、認(rèn)識(shí)、思考，進(jìn)而構(gòu)思作文，而不從多個(gè)角度或逆向去理解、認(rèn)識(shí)、思考，往往造成立意單純、選材一般、記敘泛泛，或大材小用，或理解偏頗，言不達(dá)意，缺乏充分的說服力和感染力，其結(jié)構(gòu)形式也只是程式化而已。2.4作文批閱方式的多樣性。許多老師采用了老師改與學(xué)生改、全收全改與部分收改、通篇改與片段改、學(xué)生互改等方式，力求提高學(xué)生的自我認(rèn)識(shí)能力與寫作水平。作文教學(xué)是語文教學(xué)的重要組成部分，其綜合性、實(shí)踐性、創(chuàng)造性和創(chuàng)新性極強(qiáng)，是培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的主要途徑之一。成功的作文教學(xué)能為培養(yǎng)高素質(zhì)的人才打下堅(jiān)實(shí)的寫作基礎(chǔ)，失敗的作文教學(xué)不利于人才素質(zhì)的培養(yǎng)，必然失去語文課程的奠基作用。因此，我們要認(rèn)真對(duì)農(nóng)村初中作文教學(xué)進(jìn)行調(diào)查分析研究，不斷實(shí)踐嘗試，積累經(jīng)驗(yàn)，努力提高作文教學(xué)質(zhì)量。減負(fù)和增效是當(dāng)前教育改革中既對(duì)立又統(tǒng)一的命題。減負(fù)的目的是增效，增效離不開減負(fù)。想減負(fù)增效，就得好好利用課堂教學(xué)這個(gè)主陣地，使課堂40分鐘能取得良好的教學(xué)效果。在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，減負(fù)和增效既是對(duì)教法的新要求、也是對(duì)教師素質(zhì)的新考驗(yàn)。一、重視教師素養(yǎng)――減負(fù)增效的前提小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重和教育有關(guān)，也和社會(huì)問題有關(guān)，需采取多種措施才能解決。作為教育的實(shí)施者，只有深化教育教學(xué)改革，才能全面提高教學(xué)質(zhì)量。必須“重視教師素養(yǎng)，竭力培養(yǎng)一支素質(zhì)高的教師隊(duì)伍”。這才是減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)的前提。首先，教師要加強(qiáng)師德修養(yǎng)，增強(qiáng)責(zé)任感和使命感。中國自古以來就有尊師重教的傳統(tǒng)。教師職業(yè)是太陽光下最神圣最偉大的職業(yè)，這說明教師職業(yè)地位的高尚，也突出了社會(huì)對(duì)教師的要求。教師要像工程師一樣去幫助學(xué)生締造健全的道德人格。其次，教師要堅(jiān)持終身學(xué)習(xí)，具備扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)。以前人們常說，教師要給學(xué)生一碗水，自己必須有一桶水，這“一桶水”就是學(xué)生真正能夠得到“一碗水”的保證。在新課改的今天，教師要能夠超越書本知識(shí)，給予學(xué)生更多的學(xué)科發(fā)展前沿的新知識(shí)、新信息，就必須不斷關(guān)注學(xué)科發(fā)展的新動(dòng)向，并投身于科學(xué)研究，用最新的科研成果支撐教學(xué)，提高教學(xué)水平，使自己的這桶水成為常新的活水。漢代劉向說過：“少而好學(xué)如日出之陽；壯而好學(xué)，如日中之光；老而好學(xué)，如炳燭之明?！边@不失為教師堅(jiān)持終身學(xué)習(xí)的有益借鑒。有了豐厚的知識(shí)，教師就能得心應(yīng)手地教學(xué)，從而提高教學(xué)效率。二、追求教學(xué)方法――減負(fù)增效的核心要真正減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，教師就必須追求隨藝術(shù)的教學(xué)方法，使教學(xué)過程達(dá)到資源優(yōu)化，達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”的理想境界。首先要?jiǎng)?chuàng)新課堂教學(xué)方式，為減負(fù)增效提供源動(dòng)力。啟發(fā)激趣，可以萌發(fā)創(chuàng)新意識(shí)。愛因斯坦說：“興趣是最好的老師。”只有對(duì)某事物產(chǎn)生興趣，才能調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，樂于實(shí)踐，敢于探索，勤于鉆研，從而樹立創(chuàng)新意識(shí)，而在創(chuàng)新過程中生出許多的興趣，又促進(jìn)創(chuàng)新，最終創(chuàng)造出奇跡；質(zhì)疑交流，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同見解，培養(yǎng)獨(dú)立思考、解決實(shí)際問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生由被動(dòng)地接受變?yōu)橹鲃?dòng)要學(xué)，學(xué)習(xí)的效果肯定會(huì)提高；讓學(xué)生進(jìn)行合作探究，使他們都積極主動(dòng)地去探索、去學(xué)習(xí)，并加強(qiáng)合作交流，少走彎路。教師的任務(wù)就是當(dāng)好導(dǎo)師，及時(shí)點(diǎn)撥和引導(dǎo)。其次，創(chuàng)新教學(xué)手段，為減負(fù)增效提供外部動(dòng)力。現(xiàn)代化的教學(xué)手段具有聲像并茂、視聽結(jié)合的特點(diǎn)，可有效引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生興趣，抓住學(xué)生的興奮點(diǎn)，提高教學(xué)效率。可謂是“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”。例如教學(xué)《草船借箭》，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀看錄像《三國演義》中草船借箭的片段，通過觀看，錄像中精彩的情節(jié)使學(xué)生進(jìn)入角色，學(xué)生猶如置身于借箭的環(huán)境之中，他們?cè)谝曈X刺激下，真切地看到用草船借箭的情景，提高了學(xué)習(xí)興趣，從而更加佩服諸葛亮有膽有識(shí)，才智過人。三、提高學(xué)生能力――減負(fù)增效的關(guān)鍵減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生能力為前提。筆者認(rèn)為要做到“三重三輕”。重思維培養(yǎng)，輕題海戰(zhàn)術(shù)：這里的重點(diǎn)是要培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，讓學(xué)生懂得要有根據(jù)、有條理地進(jìn)行思考，要重視獲取知識(shí)的思維過程，鼓勵(lì)質(zhì)疑問難，而不能不考慮質(zhì)量與效率一味進(jìn)行大量的練習(xí)；重能力考查，輕頻繁考試：經(jīng)?？荚嚂?huì)給學(xué)生帶來壓力，增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，應(yīng)重視學(xué)生的能力培養(yǎng)，這樣教師教學(xué)不會(huì)覺得沉重，學(xué)生也學(xué)得愜意；重書本基礎(chǔ)，輕課外雜書。在教學(xué)中，還是要以書本為基礎(chǔ)。現(xiàn)在學(xué)生的書包里有很多課外雜書，這些課外雜書在編撰方面有的有缺陷，若花大量時(shí)間去研究這些雜書，會(huì)增加負(fù)擔(dān)。所以應(yīng)書本為基礎(chǔ)，吃透教材教透教材，學(xué)透教材。除了審定與確定的教材，最好不要組織學(xué)生統(tǒng)一購買各種教輔材料、圖書、報(bào)刊等?？傊瑸榱藴p輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)效率，必須重視教師的素養(yǎng)，追求教學(xué)方法，提高學(xué)生能力，從而使素質(zhì)教育向著健康有序的方向發(fā)展！常微分方程數(shù)值解楊瑞琰0、導(dǎo)在許多實(shí)際問題中,例如物理中的速率問題,人的增長問題,放射性衰變問題,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊阿問題等,常常涉及到兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律微分方程是研究上述問題的一種機(jī)理分析方法,它在科技、工程、生態(tài)、環(huán)境、人口以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中有著十分廠泛的應(yīng)用。在應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題時(shí),必須經(jīng)過兩個(gè)階段。一是微分方程的建立,建立一個(gè)微分方程的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建函數(shù)、自變量以及函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)之間的一種平衡關(guān)系。而正確地構(gòu)建這種平衡關(guān)系,需要對(duì)實(shí)際問題的深入淺出的刻畫,根據(jù)物理的和非物理的原理、定律或定理,作出合理的假設(shè)和簡化并將它升華成數(shù)學(xué)問題。另一個(gè)是方程的求解和結(jié)果分析。對(duì)一些常系數(shù)的或特殊函數(shù)形式的微分方程,往往能得到解析解,這對(duì)實(shí)際問題的分析和應(yīng)用都是有利的,但是大多數(shù)變系數(shù)的、非線性函數(shù)形式的徼分方程都是求不出解析解的,此時(shí)就需要應(yīng)用求解微分方程的另一個(gè)重要方法—數(shù)值解法。本章簡要介紹有關(guān)微分方程模型的概念,微分方程的數(shù)值解法和圖解法,主要介紹若干建模實(shí)例,通過它們展示微分方程模型的建模步驟及解決實(shí)際問題的全過程。1、實(shí)例及其數(shù)學(xué)模型·例1海上緝私·問題海防某部緝私艇上的雷達(dá)發(fā)現(xiàn)正東方向c海里處有一艘走私船正以速度a向正北方向行駛,緝私艇立即以最大速度b前往攔截。用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤時(shí),可保持緝私艇的速度方向始終指向走私船。建立任意時(shí)刻緝私艇的位置和緝私艇航線的數(shù)學(xué)模型,討論緝私艇能夠追上走私船的條件,求出追上的時(shí)間。建立直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)在t=0時(shí)刻緝私艇發(fā)現(xiàn)走私船,此時(shí)緝私艇的位置在(O,0),走私船的位置在(c,0)。走私船以速度a平行于y軸正向行駛緝私艇以速度b按指向走私船的方向行駛。在任意時(shí)刻緝私艇位于(x,y)點(diǎn),而走私船到達(dá)Q(C,a點(diǎn),直線PQR(c,y與緝私艇航線(圖中曲線)相切,切線與x軸正向夾角為a緝私艇在x,y方向的速度分別為=hosa=sind,由直角三角形PQR寫出sinc和cosc的表達(dá)式,得到微分方程:dxb(c-x)b(d√c-x)2+an-y)2初始條件為x(O)=0,y(0)=0(2)這就是緝私艇位置(X(,y(t)的數(shù)學(xué)模型。但是由方程(1)無法得到(t),y(的解析解,需要用數(shù)值算法求解。我們將在后面繼續(xù)討論這個(gè)問題例2弱肉強(qiáng)食問題自然界中在同一環(huán)境下的兩個(gè)種群之間存在著幾種不同的生存方式,比如相互競(jìng)爭,即爭奪同樣的食物資源,造成一個(gè)種群趨于滅絕,而另一個(gè)趨向環(huán)境資源容許的最大容量;或者相互依存,即彼此提供部分食物資源,二者和平共處,趨于一種平衡狀態(tài);再有一種關(guān)系可稱之為弱肉強(qiáng)食,即某個(gè)種群甲靠豐富的自然資源生存,而另一種群乙靠捕食種群甲為生,種群甲稱為食餌(Prey),種群乙為捕食者(Predator),二者組成食餌-捕食者系統(tǒng)。海洋中的食用魚和軟骨魚(鯊魚等)、美洲兔和山貓、落葉松和蚜蟲等都是這種生存方式的典型。這樣兩個(gè)種群的數(shù)量是如何演變的呢?近百年來許多數(shù)學(xué)家和生態(tài)學(xué)家對(duì)這系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究,建立了一系列數(shù)學(xué)模型,本節(jié)介紹的是最初的、最簡單的一個(gè)模型,它是意大利數(shù)學(xué)家Volterra在上個(gè)世紀(jì)20年代建立的。模型用X(表示時(shí)刻食餌(如食用魚)的密度,即一定區(qū)域內(nèi)的數(shù)量,表示捕食者(如鯊魚)的密度。假設(shè)食餌獨(dú)立生存時(shí)的(相對(duì))增長率為常數(shù)宀>0,即/x=r而捕食者的存在使食餌的增長率減小,設(shè)減小量與捕食者密度成正比,比例系數(shù)為a0,則式/x=x-ay。捕食者離開食餌無法生存,設(shè)它獨(dú)自存在時(shí)死亡率為常數(shù)0,即y/而食餌的存在為捕食者提供了食物使捕食者的死亡率減小,設(shè)減小量與食餌密度成正比,比例系數(shù)為b>0,則yy=-(d-bx),實(shí)際上,當(dāng)bXd時(shí)捕食者密度將增長給定食餌和捕食者密度的初始值×0,y0,由上可知x(t,y(滿足以下方程r=(r-ay)xr-aryy=4-b)y=-+bxy(3)x(0)=x0,y(0