第二節(jié)平面簡諧波的波動方程

第二節(jié)平面簡諧波的波動方程第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一波動的形式是多種多樣的，一般可分為：機械波：機械振動在彈性介質中的傳播。電磁波：電磁振動在空間的傳播。物質波：運動物體伴隨的波動。各種類型的波有其特殊性，例如:聲波需要介質才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作粒子—光子的運動，但各種類型的波也有普遍的共性。第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一彈性介質和波源——（機械波產生的條件）縱波和橫波：(1)

質元并未“隨波逐流”

波的傳播不是媒質質元的傳播(2)“上游”的質元依次帶動“下游”的質元振動(3)某時刻某質元的振動狀態(tài)將在較晚時刻于“下游”某處出現---波是振動狀態(tài)的傳播波長、頻率、和波速之間的關系第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一平面簡諧波的波函數一、波函數（定量描述波在空間的傳播）數學函數式表示介質中質點的振動狀態(tài)隨時間變化的關系.二、平面簡諧波的波函數平面簡諧波：波面為平面的簡諧波.xy

平面簡諧波傳播時，介質中各質點都作同一頻率的簡諧振動，在任一時刻，各點的振動相位一般不同，它們的位移也不相同。據波陣面的定義可知，任一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相同的位移。第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一typO點處質點的振動表達式為：P處質點在時刻t的位移為：

波動表式：描述介質中各質點的位移隨時間的變化關系.第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一P處質點在時刻t的位移為：

因此，波線上任一點在任一時刻的位移都能由上式給出。此即所求的沿x軸正方向前進的平面簡諧波的波函數。

波函數沿x軸負方向傳播的平面簡諧波的波函數：第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一沿x軸正方向傳播沿x軸負方向傳播P點落后o點P點超前o點時間時間波函數為：

第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一上述過程給出了一個寫出簡諧波方程的步驟：⑴已知某點的振動方程（不一定是波源）⑵根據波的傳播方向，判斷各點振動的先后次序,找出時間差(>0)⑶將時間差代入已知振動方程，即可得波動方程：(P先振)(P后振)第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一波函數其它形式角波數：表示單位長度上波的相位變化

利用關系式，得和第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一波動表式的意義：

上式代表x1處質點在其平衡位置附近以角頻率w作簡諧運動。即x

一定：令x=x1，則質點位移y

僅是時間t

的函數。第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一即

以y為縱坐標、x為橫坐標，得到一條余弦曲線，它是t1時刻波線上各個質點偏離各自平衡位置的位移所構成的波形曲線(波形圖)。t一定:令t=t1，則質點位移y

僅是x

的函數。第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一沿波線方向，任意兩點x1、x2的簡諧運動相位差為：x、t都變化:實線：t1時刻波形；虛線：t2時刻波形第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一當t=t1時，當t2=t1+Δt時，

在t1和t1+Δt時刻，對應的質點平衡位置用x1和x2表示，則第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

令，得

在Δt時間內,整個波形向波的傳播方向移動了，波速u是整個波形向前傳播的速度。第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例1頻率為的平面余弦波沿細長的金屬棒傳播，波速為如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質點振動的振幅為試求：（1）原點處質點的振動表達式；（2）波函數（向右傳播）；（3）離原點10cm處質點的振動表達式；（4）離原點20cm和30cm處質點的振動相位差；（5）在原點振動0.0021s時的波形；第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一解：由題意波長周期（1）原點處質點的振動表達式（2）波函數第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一（3）原點10cm處質點的振動表達式（4）兩點間距離相位差y第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一（5）時的波形y第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

例2一橫波沿一弦線傳播。設已知t=0時的波形曲線如下圖中的虛線所示。波速u為12m/s，求(1)振幅；(2)波長；(3)波的周期；(4)弦上任一質點的最大速率；(5)圖中a、b兩點的相位差；(6)3T/4時的波形曲線.（a、b兩點的對應的橫坐標分別為15和35cm）

t

=0第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一解:由波形曲線圖可看出：(2)=40cm；(1)A=0.5cm；(3)波的周期

t

=0第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一(4)質點的最大速率

(5)a、b兩點相隔半個波長，b點處質點比a點處質點的相位落后

。

(6)3T/4時的波形如下圖中實線所示，波峰M1和M2已分別右移

而到達

和

處。

t=3T/4第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例3：如圖是一平面余弦橫波在時刻t=0的波形。此波形以v=0.08m/s的速度沿ox軸正向傳播。求：(1)a、b兩點振動方向;(2)O點振動方程;(3)波動表式解：⑴由于波沿x正向傳播，因此任意時刻任意點都將重復其前的點（圖中左側點）的振動，由此可知：這個問題也可以由下一時刻的波形曲線得到，如左圖黃線示，而且比較直觀。

此外：a點將向下振動；b點將向上振動。第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一⑵由已知圖可得：⑶至此可寫出波動方程為：｛第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

例4：一列沿ox正向傳播的簡諧波，在時刻t1=0,t2=0.25s的兩個波形如圖所示。求：(1)P的振動表達式，(2)此波的波動表式，(3)畫出O點的振動曲線。解：⑴由已知圖分析可得：當t=0時,對P點有：第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一⑵任意位置x與P點的距離為(x-OP)由圖可知：⑶當t=0時，O點有：（或不判斷初相而直接由原圖分析）則有O點振動曲線如下:第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例5：平面簡諧波某時刻波形如圖。求：OP點距離。設此波向右傳播解：由圖易得：波向右傳播，則得圖示時刻有（見下圖）：O:P:設波表達式第26頁，共29頁，2