第三節(jié)相似矩陣與方陣的對角化

第三節(jié)相似矩陣與方陣的對角化第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一一、相似矩陣與相似變換的概念第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一1.等價(jià)關(guān)系相似矩陣與相似變換的性質(zhì)第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一證明第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一推論

若n階方陣A與對角陣定理4.5若n階方陣A與B相似，則A與B的秩相同，即

第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一二、利用相似變換將方陣對角化第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一說明推論如果階矩陣的個(gè)特征值互不相等，則與對角陣相似．如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對角化，但如果能找到個(gè)線性無關(guān)的特征向量，還是能對角化．第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣？解第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解之得基礎(chǔ)解系第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一求得基礎(chǔ)解系第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對角矩陣.第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一A能否對角化？若能對角例2解第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解之得基礎(chǔ)解系第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一所以可對角化.第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一定理4.7實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實(shí)對稱矩陣．一個(gè)n階方陣具備什么條件才能對角化,這是一個(gè)較復(fù)雜的問題,我們不作一般性討論,僅討論A為實(shí)對稱陣的情形。三、實(shí)對稱矩陣的相似對角化

定理4.7的意義第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一

推論1n階實(shí)對稱矩陣必有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

推論2實(shí)對稱矩陣一定與對角陣相似.

第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一證明它們的重?cái)?shù)依次為根據(jù)定理4.7（對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理4.9(

如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一由定理4.8知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個(gè).故這個(gè)單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，則第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解例

對下列各實(shí)對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解之得基礎(chǔ)解系

解之得基礎(chǔ)解系第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一于是得正交矩陣第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一三、小結(jié)１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對角矩陣，再對對角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運(yùn)算．相似變換是對方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣．第29頁，共30頁，2023年，2月20日，星期一3.對稱矩陣的性質(zhì)：(1)特征值為實(shí)數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且