第八講最優(yōu)控制模型及理論

第八講最優(yōu)控制模型及理論第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一最優(yōu)控制模型

基本原理

計算問題主要內(nèi)容第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一

最優(yōu)化問題的實質(zhì)就是利用數(shù)學工具在容許控制集中尋找一個最優(yōu)控制函數(shù)或者最優(yōu)控制方案，使所研究的系統(tǒng)能夠最優(yōu)地達到預期的目標。最優(yōu)化問題

靜態(tài)與動態(tài)，離散與連續(xù)第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一最優(yōu)化問題病毒的傳播模型；海洋生態(tài)平衡模型；交通流量的控制模型；導彈運行最佳軌跡?！?頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一建立數(shù)學模型分為三步驟：最優(yōu)化問題（1）需要確定狀態(tài)變量、控制變量、約束、目標；（2）對問題具體分析、數(shù)學描述和研究；（3）研究算法，并對算法的收斂性、誤差、有效性作出評價。第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1）狀態(tài)方程組最優(yōu)控制模型的數(shù)學描述2）容許控制集第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一3）邊界條件與目標集最優(yōu)控制模型的數(shù)學描述

動力系統(tǒng)的運動過程，就是系統(tǒng)從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)的過程，在狀態(tài)空間中其運動軌跡將形成曲線x(t).邊界值：初始狀態(tài)x(t0),終端狀態(tài)x(tf)終端時刻和狀態(tài)可以是自由的，也可以是給定的。目標集：第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一4）目標函數(shù)最優(yōu)控制模型的數(shù)學描述

控制變量用于控制狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程，效果的好壞取決于u(t)，效果——性能指標.最少燃料、最少時間，最小能耗等控制問題。第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一4）目標函數(shù)最優(yōu)控制模型的數(shù)學描述(1)Bolza(2)

Lagrange第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一能控性和能觀測性的概念1960年卡爾曼最先提出能控性和能觀測性的概念。對于一個控制系統(tǒng)，特別是多變量控制系統(tǒng)，必須要回答的兩個問題是：（1）能控性：在有限的時間內(nèi)，控制作用能否使得系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？（2）能觀測性：在有限的時間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)的輸出的測定來評估系統(tǒng)的初始狀態(tài)？第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一山羊放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟效益實例1草原放牧生態(tài)系統(tǒng)模型：放牧總利潤：第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一計算機病毒傳播的最優(yōu)控制模型實例2計算機應用研究[J],28(8),2011狀態(tài)變量當前以后S(數(shù)量)沒有感染可能感染C(數(shù)量)沾染病毒發(fā)現(xiàn)I(數(shù)量)感染傳播A(數(shù)量)不被感染不被感染參數(shù)含義α沾染率β1，ω免疫率β2感染率u(t)殺毒率狀態(tài)轉(zhuǎn)移因子第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一計算機病毒傳播的最優(yōu)控制模型實例2狀態(tài)方程組：狀態(tài)隨時間的變化率機理分析第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一計算機病毒傳播的最優(yōu)控制模型實例2控制集：目標泛函：初始條件：感染數(shù)量系統(tǒng)消耗min第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一路徑選擇的交通流量的最優(yōu)控制模型實例3城市機動車擁有量以及各種交通需求量急劇上升，城市道路所承受的負荷不斷增長，給城市管理和人民生活都帶來了巨大的考驗．大連交通大學學報[J],31(6),2010第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一動態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實例3

智能交通運輸系統(tǒng)(以下簡稱ITS)具有先進的檢測、通信、計算機系統(tǒng)集成控制技術(shù)，它能最大限度地發(fā)揮現(xiàn)有交通基礎(chǔ)設(shè)施的潛力，提高運輸效率，改進交通安全，緩解城市交通擁擠，節(jié)約能源的消耗，保護周圍環(huán)境，……．第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一動態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實例3（1）基本約束第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一動態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實例3（2）非負約束邊界條件：（3）流量守恒約束第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一動態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實例3（4）先進先出原則不考慮超車現(xiàn)象（5）流量傳播約束假定交通流為連續(xù)流第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一動態(tài)路徑選擇的交通系統(tǒng)最優(yōu)控制模型實例3交通流的總量達最小第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略實例4(1)著陸準備軌道(2)主減速段(3)快速調(diào)整段(4)粗避障段(5)精避障段(6)緩速下降階段燃料消耗達最小第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略實例4(2)主減速段第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略實例4(3)快速調(diào)整階段的最優(yōu)控制策略根據(jù)牛頓第二定律，建立飛行器水平方向上的動力學方程設(shè)計控制參數(shù)k1，k2，使第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1.最優(yōu)控制中的變分法（無約束）最優(yōu)控制模型的基本原理

在動態(tài)最優(yōu)化問題中，目標函數(shù)通常是一個泛函。泛函可以簡單地理解為“函數(shù)的函數(shù)”。第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1.最優(yōu)控制中的變分法（無約束）最優(yōu)控制模型的基本原理定理1連續(xù)泛函的變分，等于泛函對的導數(shù)在的值。即定理2如果可微泛函在上達到極大或極小，則第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1）固定端點的變分問題最優(yōu)控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極值曲線

滿足歐拉方程邊界條件：第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一2）可變端點的變分問題最優(yōu)控制模型的基本原理取極值的必要條件是容許極值曲線

滿足歐拉方程始端邊界條件和終端橫截條件：第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一2.最優(yōu)控制問題求解（有約束）最優(yōu)控制模型的基本原理

把具有狀態(tài)方程約束的變分問題轉(zhuǎn)化為無約束變分問題。即轉(zhuǎn)換為哈密頓函數(shù)的極值問題。第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1）固定端點的最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制模型的基本原理狀態(tài)方程：泛函指標：構(gòu)造哈密頓函數(shù)：第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一1）固定端點的最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制模型的基本原理正則方程：控制方程：邊界條件：最優(yōu)解滿足以下方程和條件：第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一第一步構(gòu)造哈密頓函數(shù)一般的計算步驟第二步將最優(yōu)控制變量代入正則方程中第三步回代，得到第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一山羊放牧系統(tǒng)中的最優(yōu)控制模型及生態(tài)經(jīng)濟效益實例1草原放牧生態(tài)系統(tǒng)模型：放牧總利潤：哈密頓函數(shù)：第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一實例1哈密頓函數(shù)：正則方程：控制方程：第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一實例1聯(lián)立求解，可得：如果已知（1）代入（1）式，得到第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一實例1與之對應的最優(yōu)控制為：第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一例2計算機病毒傳播的控制問題狀態(tài)方程目標泛函初始條件第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一例2計算機病毒傳播的控制問題哈密頓函數(shù)第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一例2計算機病毒傳播的控制問題最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)滿足如下正則方程組：橫截條件第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一例2計算機病毒傳播的控制問題控制方程：最優(yōu)控制：第39頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一例2計算機病毒傳播的控制問題數(shù)值仿真初始條件參數(shù)選取采用Runge-Kutta四階微分方程數(shù)值求解法。第40頁，共41頁，2023年，2月20日，星期一例2計算機病毒傳播的控制問題參考程序(matlab)(1)建立M函數(shù)文件functiondx=fish(t,x)r=2;s=1