固體物理第一章

由于晶面作有規(guī)則地配置，因此晶體在外型上具有一定的對稱性質(zhì)。對稱性不僅表現(xiàn)在幾何外形上，而且反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)中。對稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。與一般幾何圖形的對稱不同，由于晶格周期性的限制，晶體僅具有為數(shù)不多的對稱類型。晶體具有各種宏觀對稱性的原因在于原子的規(guī)則排列。

對稱性的本質(zhì)是指系統(tǒng)中的一些要素是等價(jià)的。對稱性越高的系統(tǒng)，描述起來就越簡單，需要獨(dú)立地表征的系統(tǒng)要素就越少。

§1.6晶體的對稱性

對稱性固體物理第一章*

對稱性：經(jīng)過某種動(dòng)作后，晶體能夠自身重合的特性。*對稱操作：使晶體自身重合的動(dòng)作。*對稱素：對稱操作所依賴的幾何要素。如：點(diǎn)、線、面。幾個(gè)定義*點(diǎn)操作對應(yīng)于數(shù)學(xué)上的正交變換（也叫線性變換），在點(diǎn)操作前后，任意兩點(diǎn)的距離保持不變。*

滿足布拉菲格子周期性要求的變換操作，稱為平移操作。固體物理第一章

點(diǎn)陣對稱操作假設(shè)在某一個(gè)操作過后，點(diǎn)陣不變，也就是每個(gè)格點(diǎn)的位置都得到重復(fù)，那么這個(gè)平移、旋轉(zhuǎn)或鏡反射操作就叫一個(gè)點(diǎn)陣對稱操作。按照空間群理論，晶體的對稱類型是由少數(shù)基本的對稱操作(8種)組合而成。對點(diǎn)陣對稱性的精確數(shù)學(xué)描述，需要用點(diǎn)群和空間群的概念。如果基本對稱操作中不包括平移，則組成32種宏觀對稱類型，稱為點(diǎn)群。如果包括平移，就構(gòu)成230種微觀的對稱性，稱為空間群。

能使一個(gè)圖像復(fù)原的全部不等同操作，形成一個(gè)對稱操作群。固體物理第一章

線性變換式中

晶體的對稱性:晶體經(jīng)過某種操作后恢復(fù)原狀的性質(zhì)在操作前后應(yīng)不改變晶體中任意兩點(diǎn)間的距離如用數(shù)學(xué)表示，這些操作就是熟知的線性變換

在數(shù)學(xué)上，等也可認(rèn)為是空間同一點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即

設(shè)經(jīng)過某個(gè)操作，把晶格中任一點(diǎn)X變?yōu)閄’，這操作可表示為線性變換：固體物理第一章用矩陣表示，(1)式可表示為：操作前后，兩點(diǎn)間的距離應(yīng)保持不變，這要求：

轉(zhuǎn)置運(yùn)算：反序定律

為的轉(zhuǎn)置矩陣，即行列互換所得矩陣。因此要求固體物理第一章(1)若A是正交矩陣，則|A|=±1(2)設(shè)A、B是正交矩陣，則AB也是正交矩陣(3)正交矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是正交矩陣。(4)正交矩陣是可逆矩陣，且正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣。下面介紹幾種簡單操作的變換關(guān)系：即A為正交矩陣正交矩陣的其它性質(zhì)：固體物理第一章一、轉(zhuǎn)動(dòng)將某圖形繞x1軸轉(zhuǎn)過θ角，該圖形中任一點(diǎn)變化關(guān)系如下：則變換關(guān)系是固體物理第一章取中心為原點(diǎn)，經(jīng)中心反演后，圖形中任一點(diǎn)：也就是

如經(jīng)此操作后，晶體與自身重合則為具有中心反演對稱，常用字母i代表。二、中心反演（i）固體物理第一章三、鏡象（鏡面）我們注意到上面所考慮的幾何變換（旋轉(zhuǎn)和反射）都是正交變換（保持兩點(diǎn)距離不變的變換）。

如果一個(gè)物體在某一正交變換下不變，我們就稱這個(gè)變換為物體的一個(gè)對稱操作，顯然，一個(gè)物體的對稱操作愈多，就表明它的對稱性愈高。如以x3＝0作為鏡面，鏡象對稱操作是將圖形的任何一點(diǎn)變?yōu)楣腆w物理第一章

小貓?jiān)谘芯跨R面操作固體物理第一章

山和水在玩鏡面操作固體物理第一章

山和水在玩鏡面操作固體物理第一章

人和牛在玩投影固體物理第一章1、不包括平移的基本對稱操作四、基本的對稱操作

(a)n度旋轉(zhuǎn)對稱軸假設(shè)紙面上有一列格點(diǎn)，通過A點(diǎn)有一垂直于紙面的對稱軸，當(dāng)晶體繞其轉(zhuǎn)動(dòng)φ

后與自身重合。在此對稱操作作用下，B點(diǎn)轉(zhuǎn)至B‘位置。由于晶格的周期性，B點(diǎn)應(yīng)與A點(diǎn)等價(jià)，因此在B點(diǎn)必須也存在一轉(zhuǎn)角為φ的垂直對稱轉(zhuǎn)軸，而且繞此軸轉(zhuǎn)動(dòng)（－φ）角也必然是一對稱操作。在此操作作用下，A點(diǎn)變至A’點(diǎn)。固體物理第一章由幾何關(guān)系得知

因而，晶體周期性必然要求A‘B’為AB的整數(shù)倍，因?yàn)锳B為此方向上格點(diǎn)排列的周期。但從圖可見因此式中m為整數(shù)。由于，可得到當(dāng)m為－1、0、1、2、3時(shí)，φ分別為固體物理第一章即，晶體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對稱操作的轉(zhuǎn)角只可能是而n必須是1、2、3、4、和6，i為任意整數(shù)。常將這一類轉(zhuǎn)動(dòng)對稱軸稱作n度旋轉(zhuǎn)軸，晶體周期性結(jié)構(gòu)限制了只能存在2度、3度、4度和6度對稱軸。

n=1相當(dāng)于不變，即不施加任何操作，通常也看作一個(gè)對稱操作。分別用數(shù)字2、3、4、6或符號▲■代表一個(gè)n度轉(zhuǎn)軸。固體物理第一章例如：（1）表示方解石菱面體的3度轉(zhuǎn)軸；

因此，立方體有三個(gè)4度軸，六個(gè)2度軸和四個(gè)3度軸。（3）表示硅酸鉀晶體的6度及2度轉(zhuǎn)軸。（2）表示巖鹽立方體的4度、3度及2度轉(zhuǎn)軸。對于立方體而言，對面中心的連線為4度軸，不在同一立方面上的平行棱邊中點(diǎn)的連線為2度軸，而體對角線為3度軸。固體物理第一章(c)n度旋轉(zhuǎn)反演軸

晶體經(jīng)繞軸作n度旋轉(zhuǎn)與中心反演的復(fù)合操作后與自身重合則稱其具有n度旋轉(zhuǎn)反演軸對稱。使坐標(biāo)r變成-r的操作稱對原點(diǎn)的中心反演。經(jīng)此操作后，晶體與自身重合則為具有中心反演對稱，常用字母i代表。(b)

中心反演晶體由于受周期性的制約，也只可能有2、3、4、與6度旋轉(zhuǎn)反演軸，分別用數(shù)字符號2、3、4、6表示。固體物理第一章n度旋轉(zhuǎn)反演軸的對稱性（操作的總效果一樣）固體物理第一章由圖可見

金剛石結(jié)構(gòu)或閃鋅礦結(jié)構(gòu)具有4度旋轉(zhuǎn)反演軸。等價(jià)于一條3次軸加上對稱心，即等價(jià)于3次軸加上垂直于該軸的對稱面，即

就是對稱心i，即

就是垂直于該軸的對稱鏡面，記為m，即鏡面對稱：鏡面對稱是晶體的一類很重要的對稱性，用m表示。固體物理第一章具有n度旋轉(zhuǎn)反演軸對稱的晶體不一定具有n度轉(zhuǎn)軸與中心反演這兩種對稱性即具有復(fù)合操作對稱性不一定意味著同時(shí)具備構(gòu)成復(fù)合的操作的對稱性。但是，如具有單一操作的對稱性，必具有由它們復(fù)合構(gòu)成的操作的對稱性。必須注意的是：固體物理第一章綜上所述，晶體的宏觀對稱性中有以下八種基本的對稱操作，即

這些基本的對稱操作可按一定的規(guī)律組合起來，就得到32種不包括平移的宏觀對稱類型。

這種組合有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是其中所有的對稱操作都使晶體中的某一點(diǎn)固定不動(dòng)，因此常稱這種組合為點(diǎn)對稱性群，簡稱點(diǎn)群。固體物理第一章第一章晶體結(jié)構(gòu)和X射線衍射

固體物理第一章

固體物理第一章對稱素對稱操作（48）名稱每個(gè)對稱元素的操作數(shù)目三條4次軸＜100＞旋轉(zhuǎn)90,180,2709四條3次軸＜111＞旋轉(zhuǎn)120,2408六條2次軸＜110＞旋轉(zhuǎn)1806不動(dòng)1i對稱心以上操作加反演24立方對稱的48個(gè)對稱操作稱為立方點(diǎn)群Oh固體物理第一章2、包括平移的基本對稱操作

從微觀結(jié)構(gòu)上看，如按照操作后使晶體與自身重合的定義，晶體中還有螺旋軸與滑移面兩類對稱性。在這兩類操作作用下，晶體中不再有任何固定不變的點(diǎn)存在，因而它們不屬于點(diǎn)群操作。

T為轉(zhuǎn)軸方向的晶格周期，l為某小于n的整數(shù)。晶體只能有1度、2度、3度、4度、6度螺旋軸。(1)n度螺旋軸復(fù)合操作:如經(jīng)繞某軸作n度旋轉(zhuǎn)+再沿轉(zhuǎn)軸方向平移t

晶體與自身重合,稱此復(fù)合操作為n度螺旋軸。固體物理第一章

金剛石結(jié)構(gòu)具有4度螺旋軸對稱

1/201/201/201/2003/41/43/41/4

取原胞（如圖）上下底面心到該面一個(gè)棱的垂線的中點(diǎn)，聯(lián)接這兩中點(diǎn)的直線就是個(gè)4度螺旋軸；晶體繞該軸轉(zhuǎn)90度后，再沿該軸平移a/4，能自相重合。圖中分?jǐn)?shù)值表示以立方體邊長為單位，其各個(gè)原子處在基面上方的高度。注意：分?jǐn)?shù)值0和分?jǐn)?shù)值1對應(yīng)的原子位置在垂直基面的方向共線。固體物理第一章金剛石結(jié)構(gòu)具有4度螺旋軸對稱固體物理第一章

(2)滑移反映面

這是對某一平面作鏡像操作后，再沿平行于鏡面的某方向平移T/n周期的對稱操作。（T是該方向上的周期矢量，n為2或4），操作后，晶體中的原子和相同的原子重合。

固體物理第一章

應(yīng)當(dāng)說明的是,對于宏觀晶體而言：

n度螺旋軸與n度旋轉(zhuǎn)軸是等價(jià)的滑移面與鏡面也是等價(jià)的，因?yàn)樵诤暧^的范圍通常觀察不到原子間距數(shù)量級的平移。

將32種宏觀點(diǎn)群再加上以上二類帶平移的對稱操作,結(jié)合起來就可以導(dǎo)出230種微觀空間群。

它們可以描寫晶體所有可能的對稱性，每種空間群對應(yīng)于一種特殊的晶格結(jié)構(gòu)。晶體之星固體物理第一章

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固體物理第一章§1.7晶體結(jié)構(gòu)的分類我們已經(jīng)知道布喇菲格子可以由的格矢表示。

基矢a、b、c之間的關(guān)系，即其長度的異同和彼此間夾角決定了不同的布喇菲格子的類型。

前面我們已經(jīng)看到晶體在宏觀對稱操作作用下，其空間格子必相應(yīng)地變動(dòng)。

因此，布喇菲格子的形式，即三個(gè)基矢之間的關(guān)系必然受到宏觀對稱性的制約。晶格周期性，即空間格子對于對稱性的制約，結(jié)果是只能有32種點(diǎn)群對稱。反過來，點(diǎn)對稱性對于空間格子的周期性即平移對稱性的限制的結(jié)果是只能存在14種布喇菲格子（原胞）。固體物理第一章

這十四種布喇菲點(diǎn)陣按其慣用晶胞的對稱性（基矢長短和夾角大小）特征劃分為七大晶系（初基點(diǎn)陣＋心＝14）：一、七大晶系：

1850年，德國科學(xué)家布喇菲（AugusteBravais1811－1863）首先證明了三維晶格只有14種布喇菲點(diǎn)陣。固體物理第一章四方正交立方六角單斜三斜三角固體物理第一章Crystalsystem晶系Unitcellshape單胞幾何描述Essentialsymmetry對稱性（典型點(diǎn)群）點(diǎn)群的熊夫利符號Spacelattices空間格子Triclinic三斜晶系a≠b≠c

a≠b≠g≠90C1群：只含轉(zhuǎn)角為零的旋轉(zhuǎn)對稱操作P簡單三斜Monoclinic單斜晶系a≠b≠c

a=b=90g≠90C2群：b軸是一個(gè)2度對稱軸PC簡單單斜、底心單斜O(jiān)rthorhombic正交（斜方）晶系a≠b≠c

a=b=g=90D2群：a,b,c3個(gè)軸都是2度對稱軸PIFA(BorC)簡單正交、體心正交、面心正交、底心正交Trigonal三角晶系a=b=c

a=b=g≠90D3群：c軸是3度對稱軸3個(gè)2度對稱軸P簡單Tetragonal四方（四角）晶系a=b≠c

a=b=g=90D4群：c軸是4度對稱軸([001]),4個(gè)2度對稱軸PI簡單四角、體心四角Hexagonal六角晶系A(chǔ)=b≠c

a=g=90b=120D6群：c軸是6度對稱軸6個(gè)2度對稱軸P簡單Cubic立方晶系a=b=c

a=b=g=90O群：擁有3個(gè)4度對稱軸，4個(gè)3度對稱軸及6個(gè)雙重對稱軸PIF簡立方、體心立方、面心立方7個(gè)晶系（crystalClasses）固體物理第一章二、布喇菲點(diǎn)陣符號P（簡單）：每單胞一個(gè)原子。格點(diǎn)位置：000I（體心）：每單胞兩個(gè)原子。格點(diǎn)位置：000，1/21/21/2F（面心)：每單胞四個(gè)原子。格點(diǎn)位置：000，01/21/2，1/201/2，1/21/20A（底心)：每單胞兩個(gè)原子。格點(diǎn)位置：000，01/21/2B（底心)：每單胞兩個(gè)原子。格點(diǎn)位置：000，1/201/2C（底心)：每單胞兩個(gè)原子。格點(diǎn)位置：000，1/21/20（Bravaislatticenotation，簡寫為BLN）：在a,b,c矢量張成的單胞中，加入一個(gè)或幾個(gè)格點(diǎn)以后，仍然是布喇菲點(diǎn)陣。符號為：固體物理第一章三、七種晶系對