2023年高考數(shù)學(xué)第35講柱、錐、臺(tái)球中的接切向題的解題策略

第35講柱、錐、臺(tái)球中的接切向題的解題策略

一、知識(shí)概要

與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,

確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中

心，正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長

等于球的直徑.球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題;球與多面體的組合，通常通過多面體

的一條側(cè)棱和球心，或'切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖.

二、題型精析

[例1]

如圖3-98所示，正四面體A-BCD棱長為。，內(nèi)接一個(gè)圓柱，使圓柱下底在底面BCD上,上底

與面AB。、面A8C、面ACD相切.

(1)求側(cè)面積最大時(shí)內(nèi)接圓柱側(cè)面積；

(2)在用qGR平面截下的正四面體內(nèi)部作一個(gè)側(cè)面積最大的內(nèi)接的圓柱,如此無限繼續(xù)，求所

有內(nèi)接的圓柱側(cè)面積的和M.

【策略點(diǎn)擊】

正四面體的內(nèi)接圓柱，切點(diǎn)必在特殊位置上，看清這一點(diǎn)就為計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)帶來方便。所求所

有內(nèi)接圓柱側(cè)面積的和。則一系列的內(nèi)接圓柱側(cè)面積必成無窮遞縮等比數(shù)歹心可用公式

【解】⑴如圖3-99所示，作乙BCD的高BE,4CQ的高聯(lián)結(jié)AQ.易證:A。為四面體的

高,。1在AO上.

A

BaQE=BE—B0=2a

36

。為一8C。的中心,C\為圓柱上底圓心,。耳為圓柱上底半徑，設(shè)Of】=x，圓柱高為近

AOE~AOlEl,.\0昌:OE=AOX:AO,

\

即x:—a=[—

a-h:圓…力a%

63620

I37

則圓柱側(cè)面積S=2萬?力=2萬——一4=h：,

(62V2

7

...由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)〃時(shí),耳皿=走〃，即5|=康。2.

(2)<AO==0。=0]0:AO=1:2.

???截下的四面體A-BCB的邊長為

設(shè)截下正四面體內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大值為S?,S?=潟?￡=；S

設(shè)依次截下正四面體內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大值為S「S2,§3,?，顯然依次成公比為:的無窮遞縮等

71

比數(shù)列，則所有內(nèi)接圓柱側(cè)面積之和M=6）=顯兀a1.

1-19

4

【例2】

（2019年高考數(shù)學(xué)全國卷I理科第12題）已知三棱錐P-ABC的4個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上,

PA=PB=PC”ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,PB的中點(diǎn),NCEF=90，則球

。的體積為（）.

A.8限兀

B.4a兀

C.2祈萬

D.娓兀

【策略點(diǎn)擊】

本題考查正三棱錐外接球體積的計(jì)算，也即求球的半徑.由題意得三棱錐P-ABC是底面邊長為

2的正三角形且側(cè)棱相等，于是可得此三棱錐為正三棱錐,那么題中還有條件：E,尸分別是

PA,AB的中點(diǎn),NCEF=90會(huì)給解題帶來怎樣的信息呢?這是解本題的關(guān)鍵，甚至可以優(yōu)化解

題過程.如果我們把思路從立體幾何這個(gè)知識(shí)體系中跳出來，采用空間向量法，就能得到一種更為

新穎的解法.

【解】

【解法一】

設(shè)24=P8=PC=2。，則由點(diǎn)E,b分別是尸AA3的中點(diǎn)得b=,EF=■!■P3=。.由

2

NCEF=9。得CE=、3—/,則在?ACE中，

AE2+AC2-CE2/+4-（3-叫2?2+1

2AE-AC2xqx24a

"2+一。2一。產(chǎn)4/+"4/_1

在?ACP中，cos/PAC

2APAC2X2QX22a

則生土！=_L,解得。=變，則PA=PB=PC=也.

4。2a2

PA,PB,PC兩兩垂直，則三棱錐P-ABC的外接球即為棱長為V2的正方體的外接球，則外

接球的半徑R=43X&=X5.

22

則外接球的體積V=（萬尺3=n萬，故選D.

【解法二】

E,f分別是PA,AB的中點(diǎn),EF是.PAB的中位線,/.EF//PB.

又CE±EF,:.CE±PB.

在三棱錐P-ABC中，

又ACnCE=C,:.PB±平面ACP.PB±PA,PB±PC.

：.在正三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩互相垂直.

以下同解法一.

【解法三】

設(shè)P4=a,PB=8,PC=c,依題易知,卜憐|=歸卜（），且a與。，以與Ca與c；的夾角相等.

CE=CP+PE=-c+-,EF=-,^CEF=90,

22

：.CE-EFJ-C+-\-=O

I2j2

—cos<a,h>-cos<Z?,c>=0./.cos<a,h>=0.艮［3。_Lb.

2

同理c,即PA,P3,PC兩兩互相垂直，且PA=P8=PC=&.易知，三棱錐

P-ABC的外接球是以PA為棱的正方體的外接球.

.?.2/?=指,即7?=如,二球。的體積為^=±乃/?3=6,故選口.

23

【例3】

(1)設(shè)AB,C,D是半徑為4的球的球面上4點(diǎn),cBCD為等邊三角形且其面積為9G，則三棱

錐4一88體積的最大值為().

412百

818百

C.24V3

D.54A/3

(2)設(shè)一球的半徑為/?，求外切于這球的一切圓錐中全面積最小的圓錐的全面積.

【策略點(diǎn)擊】

第(1)問,三棱維A-BCD的底面積確定，要求其體積的最大值,即求點(diǎn)A到底面BCD高的最大

值.當(dāng)球面上點(diǎn)A與球心。、底面圓圓心。'一直線且A在。'。上方時(shí)可求得.幾何體的切、接問

題,抓住圖形分析是解題的核心.第(2)問，是球內(nèi)切于圓錐這一情景，研住圓錐的軸截面，球的大圓

正好內(nèi)切于軸截面三角形，各基本量的關(guān)系己經(jīng)明朗，在獲得S全的表達(dá)式后，可運(yùn)用基本不等式

求最小值.

解:(1)如圖3-100所示，設(shè)球心為。一的外接圓圓心為O',.BCD為等邊三角形且其面積

為9瓜：.8C=6,0'。=26,00'=后石麗=2;當(dāng)點(diǎn)A在直線。。上時(shí)，三棱錐

D-ABC的體積最大，此時(shí)AO'=次-(2后+4=6；.?.三棱錐4一BCD體積的最大值為

，x9Gx6=18G,故選B.

3

圖3-100圖3-101

⑵如圖3—101所示，圓錐的軸截面為三角形ABC,圓。為三角形ABC的內(nèi)切圓，其半徑為r，設(shè)

圓錐底面半徑為R,母線長為I，則

1

=4/?2+=4/?21+7J=4R211

s全=s矢+s鉀H------

cosC

又三角形OZ)C中有R=〃?cotc2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)tan2—=l-tan2-，即tan—=—：時(shí)等號(hào)成立.

2222

.??當(dāng)圓錐母線長/與底面夾角的一半的正切值等于它時(shí)，圓錐的全面積最小，最小值為8〃，.

2

方法提煉

1多面體的內(nèi)切球與外接球

(1)多面體的內(nèi)切球:若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外

切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.

(2)多面體的外接球:在空間內(nèi)，如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等,那么這

個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體的外接球的球心.

(3)多面體的內(nèi)切球與外接球的重要性質(zhì).

1)內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.

2)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.

3)正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.

4)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.

5)截面法是解決球的切接問題的常用方法.

2多面體外接球球心位置的確定

(1)正方體或長方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).

(2)正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).

(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).

(4)正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過計(jì)算找到.

(5)若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.

3構(gòu)造法在研究多面體外接球中的運(yùn)用

根據(jù)長方體或正方體的外接球的球心在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處這一結(jié)論，可運(yùn)用補(bǔ)體法把一些內(nèi)

接于球的常見的基本的幾何體補(bǔ)成內(nèi)接于球的長方體或正方體，以便迅速找到球心位置.

(1)正四面體、3條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、4個(gè)面都是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方

體.

(2)同一個(gè)頂點(diǎn)上的3條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和

正方體.

(3)若己知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.

(4)若三棱錐的3個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.

三、易錯(cuò)警示

【例】

如圖3-102所示,圓柱的軸截面ABC。是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上,AF_LDE,尸是垂足.

(1)求證:

(2)如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于3萬，求直線DE與平面ABC。所成的角.

圖3-102

【錯(cuò)解】

(1)ADE,又加工人尸工/尸,平面硝^汗是得^^，。①

(2)-DA±EA,:.NADE為與平面A8CO所成的角.

設(shè)A5=2A,則AD=2R,%柱=2R-TTR2=2TTR\

設(shè)AE=x,BE=y,則f+y2=4^,

I17?

又SABE~2孫，：,VD-ABE~§?AO,SABE~~孫.

由」^==3萬，得孫=2R2.(2)

^D-ABE

由(1)(2)解得冗=y=夜/?,即AE=yplR.

tanZADE=—=—與平面ABC。所成的角是arctan—.

AD22

【評(píng)析及正解】

由于空間線面關(guān)系不清，把AF誤認(rèn)為在底面圓上，于是得出錯(cuò)誤結(jié)論ZMLAF,又把AO誤以

為在平面E5Q上，于是得出錯(cuò)誤結(jié)論AF，平面E3O.&由于直線與平面所成角的概念不清,錯(cuò)

把NADE誤以為是直線與平面所成角導(dǎo)致錯(cuò)解.

正確的解法如下：

【解】

(1)證明：E是底面圓周上一點(diǎn)，且AB是直徑,.?.3E_LAE.又A￡>_L底面圓,.?.ZM_L3E.

于是得BE_L平面DAE,進(jìn)而得平面DAE±平面DEB.

AEu平面DAE,AF±DE.

A/7J_平面DEB,于是得AF.LDB.

(2)過E作AB的垂線EH,如圖3—103所示，

圖3-103

7平面ABCD,底面圓，而A6是平面43CD與底面圓的交線,平面ABCD聯(lián)結(jié)

DH，則NEDH為DE與平面4BCD所成的角.

設(shè)AB=2A,則易得4E=35=應(yīng)/?,;.￡為43的中點(diǎn).

由垂徑分弦定理得H是底面圓的圓心,

EH=-AB=R,碓DAH?中有DH=不二4獲上『R

2

.-.tanZEDH=—==好.故。后與平面ABC。所成的角為arctan—

DH45R55

四、難題攻略

【例】

已知正三棱錐P-ABC的高為2,AB=476，其內(nèi)部有一個(gè)球與它的4個(gè)面都相切，求:

(1)三棱錐P—ABC的表面積；

(2)正三棱錐P-ABC內(nèi)切球的表面積與體積.

【破難析疑】

按照數(shù)學(xué)教育家G.波利亞的解題理論：一個(gè)問題的解答應(yīng)當(dāng)是這樣開始的：①熟悉問題；②

深入理解問題；③探索有益的念頭；④實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；⑤回顧。針對(duì)本題，過程如下：①這是一道

正三棱錐和它的內(nèi)切球的計(jì)算題，通過內(nèi)切把兩個(gè)幾何體連通起來了.②要求正三棱錐的表面

以及它的內(nèi)切球的表面積和體積:5棱金=5惻+5底，5球=4萬/?2,%=—.為達(dá)到目的.我們

需要求哪些量呢?③求正三棱錐的側(cè)面積,求斜高是關(guān)鍵.求球的表面積與體積,求出球的半徑R

是關(guān)鍵.則問題歸結(jié)到半徑R與三棱錐的各個(gè)面有什么聯(lián)系.這些互相聯(lián)系的數(shù)量如何求出來?④

按照解題步驟逐一落實(shí)。⑤若用一種方法使問題解決后，思考一下解題過程是否簡捷，還能用

其他方法解嗎？若把正三棱錐改為正四面體和它的一個(gè)內(nèi)切球，則問題又如何解決？

【解】

(1)如圖3—104所示.則正三棱錐側(cè)面斜高為PD=4*+(2無丫=26.