2023年高考數學第 12講直線與圓、圓與圓的位置關系的求解方法

第12講直線與圓、圓與圓的位置關系的求解方法

一、知識概要

1.直線與圓的位置關系

設直線/：Ax+8y+C=0,圓C:(x-4)2+(y-b)2=/,判別直線/與圓C的位置關系有以下兩

種方法.

(1)幾何法：圓心C(a,6)到直線I的距離d=*+B"C|,貝1J

直線/與圓C相交；

d=ro直線/與圓C相切；

d>ro直線/與圓C相離.

⑵代數法：［，［:：：二：；2=,消之得關于乂(或舊的一元二次方程，其判別式為

A,則A>00直線/與圓C相交；A=0o直線/與圓C相切；A<00直線/與圓C相離.

2弦長公式

設直線八丁=丘+〃與圓f+y2+6+診+尸=()交于兩個不同點P(x,y)

。(馬,巴)，則所截得弦長為I尸。1=。區(qū)一x2|=Jl+^ly,-而且，半徑

“圓心到直線距離d與弦長之半,滿足勾股定理：r2=d2+-?I2Vr-d2.

24

3兩圓位置關系及公切線

設兩圓圓心分別為。I，。2，半徑分別為r2,|OyO21=d,貝lj

d>{+弓<=>相離=兩圓有4條公切線；

d=4+外切Q兩圓有3條公切線；

|4-r2［cd<rt+r2o相交=兩圓有2條公切線；

d=\rt-41=內切=兩圓有1條公切線；

4|=內含=兩圓無公切線.

二、題型精析

【例1】已知直線y=/nr+2與圓f+y?=1,判斷直線y=2與圓/+y?=1的位置關系

【策略點擊】

直線與圓的位置關系的判斷除了常用的代數法、幾何法之外，還可以運用直觀圖法，因為

畢竟解的是幾何問題，抓住參數在變化過程中觀察直線與圓位置關系的變化，有時很容易使問

題迅速解決，不失是一個最佳“方案”.

【解法一】（兒何法）

-2

圓心0（0,0）到直線的距離d=.

1

d=——<1>即內或“時，直線與圓相交；

V/M2+1

<1-—=1,即/w=G或機=-/時，直線與圓相切；

y]m2+1

d=——>1.即-〃?〈石時,直線與圓相離.

Vw2+1

【解法二】（代數法）

,1y=mx+2g））_,、

由「，，得（江+1）廠+4〃a+3=0,其中△二4〃—12.

fx+y=1

當D>0,即伍>后或"7<-后時，直線與圓相交；

當D=0,即相=G或"7=-百時，直線與圓相切；

當D<0,即-后<，〃<有時，直線與圓相離.

【解法三】（直觀圖法）

直線y=蛆+2過定點P（0,2）.如圖2-21所示，過點P作圓的兩條切線分別與圓切于A,B兩

點，則。4八"，OBAPB,-=—^1.

OPOP2

由此求得直線y=mx+2的斜率根=?&.

結合圖像得〃?>G或m<-時，直線與圓相交；或機=-有時，直線與圓相切;

-6<皿<6時，直線與圓相離.

【例2】(1)(2019年高考數學天津卷理科第12題)設浦R,直線or-y+2=0和圓

:cos?(。為參數)相切，則0的值為__________.

\y=1+2sin(9

(2)已知直線y+3G=0與圓f+丁=口交于A,3兩點，過點A,3分別作/的

垂線與X軸交于C,￡>兩點，若|A8|=2G，則|CD|=；

(3)已知直線x+y-后=0(*>0)與圓d+y2=4交于不同的兩點A,從O是坐標原點，且有

|OA+Oq?,那么人的取值范圍是()

A.(瘋+?)B.[V2,+?)C.[V2,2>/2)D.[73,272)

(4)求過兩圓f+V+6x-4=0與x?++6y-28=0的交點的直線方程和圓心在直線

x-y-4=0上的圓的方程.

【策略點擊】

對于第(1)問，由圓的參數方程求得圓心坐標與半徑，由直線與圓相切，圓心到直線距離等

于半徑，求出。的值.對于第(2)問，利用數形結合法求解.對于第(3)問，可用代數法，即聯立直線

與圓的方程，由方程有兩解求得，也可用幾何法，轉化為圓心與直線的距離小于半徑求得，后

者解法更顯簡捷.對于第(4)問，利用圓系方程解.

【解】

⑴由圓的參數方程可知，圓心C(2,l),半徑/-2,由于直線與圓相切，則圓心C到直線

以-y+2=0的距離d=烏=上以=r=2,解得a=±

(2)：Z\AO3巳知圓半徑為2括，弦43長也是26，

△A08是邊長為的正三角形，其一邊上的高為匕=2后sin60"=3,也就是原點到直線/

的距離為3.

八y

DC

X

O(A)BA

圖2-22

如圖2-22所示，作OM八AB于點M,由點到直線的距離公式知:

IOM|=13：”由1=3,化簡得：9"??-66機+3=9(機2+1),m=.必

y/m2+13

直線方程為y=^x+26，此直線的傾斜角為30。，故|。|=二^一=4.

3cos30°

(3)如圖2-23所示，當|QA+O8|=時，O,A,8三點為等腰三角形的3個頂點，

3

其中04=03,?AOB120?.

從而圓心。到直線x+y-k=()(A>0)的距離為1.此時人友,當k>血時，

\OA+OB^>y|AB|,又因為直線與圓￡+y?=4存在兩個交點，故k<2e.

綜上可知％i［點,2顯)，故選C.

(4)過兩圓交點的圓系方程為V+6x-4+A(x2+y2+6y-28)=0,①

令4=-1即可得：->+4=0,此即為公共弦所在直線的方程.

把①整理得：(1+2)x2+(1+A)y2+6x+6Ay-4-282=0.

：.圓心的坐標為勤工37十

51+21+4。

而圓心在直線X-y-4=0上，.?....—-4=0,解得2=-7,

1+41+4

代入圓系方程得y2_x+7y-32=0.

【例3】在平面直角坐標系中，己知圓G:(x+3f+(y-I)2=4和圓C?:(x-4)2+(y-5)2=4,

如圖2-24所示.

(1)若直線/過點4(4,0),且被圓G截得的弦長為2萬，求直線/的方程；

(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點尸的無窮多對互相垂直的直線4,它們分別與圓G

和G相交，且直線4被圓C1截得的弦長與直線4被圓C?截得的弦長相等，試求所有滿足條件的

點P的坐標.

【策略點擊】

對于(1),可設直線1的點斜式方程，由弦長為2后求解，也可結合圖形特征來解.對于(2),

可著眼于“無窮多對”轉化為“恒成立”問題來解，若能進一步研究圖形的幾何特征，還可以

獲得-一種簡捷的解法.

【解】

(1)設直線/的方程為y=Z(x-4),即My-4r=0,

由垂徑定理得：圓心G到直線/的距離1==1-

結合點到直線的距離公式得上當=匕的=i.

7

化簡得24公+7%=0,解得2=0或左二

24

7

故所求直線/的方程為y=0或y=-五(x?4),

即產0或7x+24y-28=0.

⑵【解法一】

設點P的坐標為(W),直線4,〃的方程分別為廣〃=k(x-ni),y-n--y(x-ni).

即Ax-y+〃一初2=0,——x-y+n+—m=0.

kk

???直線4被圓C1截得的弦長與直線4被圓C?截得的弦長相等，又兩圓半徑相等.由垂徑定理

得圓心G到直線4的距離與圓心c2到直線12的距離相等，故有

4.m

-------5+及H—

\-3k-i+n-km\_kk

去掉絕對值，化簡得(2-6一〃)左=/口一〃一3或(加一〃+8)Z=憶+〃一5,關于2的方程有無

窮多解.

「[2-m-n=0加一〃+8=0解得點P的坐標為(―或(g'—J)

有《或〈

m-n-3=0加+〃-5=0

解法二這樣的點若存在，應是連心線GC2的中垂線與以Ge2為直徑的圓的交點，故有

14x+8y-31=0

、23,只[或"2-].再驗證即可.

1765.解得尸I一

X——22)(22)

27

方法提煉

1.圓的切線

(1)以圓/=/上一點？(拓,%)為切點的切線方程為XoX+%y=r2.

(2)若圓的方程為1+>2+6+小，+尸=0,則以其上一點「(與,%)為切點的切線

方程為XoX+yoy+o-W1+EA^+RnO.

(3)若P(%,%)在圓/+：/=/外，則可引兩條切線外,PB,切點弦AB所在直線方程

為XoX+%y=/；同理，若P(%,%)在圓/+>2+6+反+尸=()外，則可引兩條切

線B4,PB,切點弦A3所在的直線方程為毛尤+為)，+。?三包+E?芍為+/=().

(4)若點尸(如為)在圓/+V+瓜+￡y+F=0外，則所引切線PA的長度為

IPA.|=舊+y；+Dx0+取+F.

2.圓系方程

(1)過圓。：V+V+以+4+~=0與直線/：小；+gy+C=0交點的圓系方程為

+y~+Dx+Ey+F+4(Ax+By+C)-0

22

(2)過圓。:x+y+Dtx+Ety+=0與圓Q:/+y?+2X++g=0交點的圓系

方程為％2+丁+。儼+￡^+耳+；1(f+曠2+0/+￡^+外)=()(不包括圓a).

當;1=一1時，為一條直線/,稱為根軸；即過兩圓交點的直線.

3.與圓有關的最值問題

若P(x,y)是定圓C:(x-a):+(y-b)2=r2上的一動點，則〃ix+ny和—這兩種形式的

x

最值一般有如下兩種求法.

(1)代數法.

①儂的最值:設〃氏+到=￡,與圓的方程聯立，化為一元二次方程，由判別式等于

0,求得，的兩個值，一個為最大值，一個為最小值.

②上的最值:設y=與圓的方程聯立，化為一元二次方程，由判別式等于()，求得，的兩

X

個值，一個為最大值，一個為最小值.

(2)幾何法.

①的最值:設,圓心C(a,Z?)到直線如+盯'=1的距離為d

\ma+nh-t\

,由4=〃即可解得兩個/值，一個為最大值，一個為最小值.

I72

\lm~+n~

②上的最值:上即點P與原點連線的斜率，數形結合可求得斜率的最大值和最小值.

XX

三、易錯警示

【例】設X,丁滿足/+丁一8工一6)+16=0,問：上士2是否有最大值和最小值？如果

x-2

有，求出其最大值或最小值；如果沒有，說明理由.

錯解:由己知點(x,y)是圓意-4)2+(丫-3)2=9上的點，匕^表示點(x,y)與點(2,—2)連線

x-2

的斜率，如圖2—25所示，

圖2-25

畫出圓(x—4尸+(y—3)2=9,過點(2,-2)作圓的切線.設切線方程為y+2=A(x-2),則圓

心(4,3)到該直線的距離為3,即

|4%-3-2Z-2112k-5|6R

=3,解得左=—2±3二.

\J\+k2yj\+k2

二上上2的最大值為&=一2+處，最小值為％=-2-處.

x-255

【評析及正解】上述解法中，沒有注意直線的斜率是傾斜角的正切值，而正切函數在區(qū)間

(0,上單調遞增，在(方,兀)上也單調遞增，是兩個不同的單調遞增區(qū)間，在6=^時沒有

言的范圍不是-2一第,一2+空，而是

意義.如圖2—26所示，因此,

也沒有最小值.

（注:此處就不再另附正確解法的具體步敢）

圖2—26

四、難題攻略

網

（2019年高考數學江蘇卷文科第18題）如圖2-27所示，一個湖的邊界是圓心為。的圓.湖的

一側有一條直線型公路/,湖上有橋是圓。的直徑），規(guī)劃在公路/上選兩個點

P，Q,并修建兩段直線型道路QA.規(guī)劃要求：線段尸8QA上所有點到點。的距離均

不小于圓。的半徑.

已知點48到直線/的距離分別為AC和80（C,。為垂足），則得

AB=10,AC=6,BD=12（單位：百米）.

⑴若道路與橋AB垂直，求道路PB的長.

（2）在規(guī)劃要求下，尸和。中能否有一個點選在。處?并說明理由.

（3）在規(guī)劃要求下，若道路總和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P,。兩

點間的距離.

DC

圖2-27

【破難析疑】

在實際問題中，遇到直線與圓的問題，利用坐標法比用平面幾何及純三角的方法解決有時要簡

捷些，其關鍵在于建立適當的直角坐標系，建立適當的直角坐標系應遵循3點：①若曲線是軸

對稱圖形，則可選它的對稱軸為生標軸；②常選特殊點作為直角坐標系的原點；③盡量使已

知，點位于坐標軸上.

第⑴問，可作垂線，利用余弦函數的定義求解，或建立平面直角坐標系以。為原點，過。且

平行于/的直線為x軸俾立平面直角坐標系）利用兩直線垂直的條件得直線BP的方程，并與直

線/的方程聯立求解點尸的坐標.再由兩點間距離公式求解PB的長.第⑵問，分點尸在。處

和，點。在。處進行討論，進而可作出判找.第⑶問，先討論，點尸的位置，再討論點。的

位置，利用兩點間距離公式，直線與圓的位置關系建立目標函數，再求解最值.

【解法一】

（1）如圖2-28所示，過A作垂足為E,

由已知條件得，四邊形ACDE為矩形.DE=BE^AC=6,AE=CD^8.

PB±AB,

84

cos/PBD=sinzfABE=——

105

12

:.PB=——=15

cos/PBD4

5

因此道路PB的長為15（百米）.

⑵①若P在。處，由（1）可得E在圓上，則線段座上的點（除BE）到點。的距離均小于圓

。的半徑.

選在。處不滿足規(guī)劃要求.

⑵若0在。處，連接A。，由⑴知.

,,,AD2+AB2-BD-7、,、

從而cos/BAD-----------------------=—>0.

2ADAB25

.?./B4D為銳角，

線段AO上存在點到點O的距離小于O的半徑.

因此Q選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

(3)先討論點P的位置.

當/。時，線段尸3上存在點到點。的距離小于圓。的半徑，點p不符合規(guī)劃要

求；當/O8P..90時，對線段P8上任意一點ROE.03,即線段P5上所有點到點。的

距離均不小于圓。的半徑，點P符合規(guī)劃要求.

設<為/上一點，且［3,A3,由⑴知

刖=15,

3

此時6D=68sin/65￡>=6Bcos/E5A=15xg=9

當/QBP>90時，在中，

PB>RB=15.

由上可知,d.A5.

再討論點0的位置.由⑵知，要使2A.i5,點。只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要

求.

當QA=15時，CQ=yjQA2-AC2=V152-62=3A/21.

此時，線段24上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當P3LAB,點0位于點C右側，且CQ=3&1時，4最小.

此時，P，。兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=I7+3揚’.

因此，d最小時，P，。兩點間的距離為17+3際(百米).

【解法二】

(1)如圖2-29所示，過。作O4_L/,垂足為H,以。為坐標原點，直線OH為y軸，建立

圖2-29

BD=\2,AC=6,

OH=9

直線/的方程為y=9,點A8的縱坐標分別為3,—3,

A8為圓。的直徑，AB=10,

???圓。的方程為/+尸=25

3

從而A（4,3）,8（Y,—3）,直線AB的斜率為i.

PB1AB,

4425

???直線尸8的斜率為一§,直線PB的方程為.

P（-13,9）,PB=7（-13+4）2+（9+3）2=l5,

因此道路的長為15（百米）.

⑵①若P在。處，取線段8。上一點E（TQ）,則EO=4<5,

選在。處不滿足規(guī)劃要求.

②若。在。處，聯結4。.由⑴知力（-4,9）,又A（4,3）.

線段AD：尸一;x+6（T領k4）.在線段AD上取點加（3,春

■1?線段AZ>上存在點到點。的距離小于圓。的半徑.

因此。選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

（3）先討論點P的位置.當/。8尸<90時，線段EB上存在點到點。的距離小于圓。的半

徑，點P不符合規(guī)劃要求；

當NO8P..90時，對線段PB上任意一點EOF..OB,即線段PB上所有點到點O的距離

均不小于圓。的半徑，點戶符合規(guī)劃要求.

設［為/上一點，且［BLAB,由（1）知，片8=15,此時片（一13,9）；

當/。8尸〉90時，在中，PB>PtB=\5.

由上可知，。-15.

再討論點。的位置.

由（2））知，要使得QA>15,點0只有位于點C的右側，才能符合規(guī)劃要求.

當。4=15時，設。（。,9）,由<0=｛（。_4）2+（9_3）2=15（。>4）,

得a=4+3同0（4+3伍9）,

此時，線段QA上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當尸（一13,9）,Q（4+3721,9）d最小.

此時P，。兩點間的距離|PQ|=4+3?-（-13）=17+3。

因此，d最小時，P，。兩點間的距離為17+3亞（百米）.

五、舉一反三

1.（1）已知圓G：/+V=9與圓。2：f+y2-4x+4y-l=0關于直線/對稱，則直線/的方程

為（）.

A.4x-4y+l=0

B.x-y=O

C.jH-y=O

D.x-y-2=0

【解】

⑴由題意可知/為儲G的中垂線，因為圓G的圓心為G（o,o）,圓G的圓心為G（2，-2）,則

直線Ge?的斜率為b?=-1，

故直線/的斜率是&=1.

又因為CG中點為（1，-1），

故/的方程為y+l=x—l.

即為x-y-2=0,故選D.

⑵圓M：一+（）-。）2=42的圓心為M（o,a）,半徑為a,如圖所示，作M4L直線Hy=0

于點A,則AOM是等腰直角三角形.

第1（2）題圖

又半弦長|。4|=四,二0=|。徵=2.圓N的圓心為N（l,l）,且半徑為1.

故連心線=J（0-1）?+QT）2=6.

兩圓半徑和為3,而半徑差為1.

1<V2<3,

二兩圓相交，故選B.

(2)已知圓M：f+y2—2a)，=0(a>0)截直線x+y=O所得線段的長度是2血，則圓M與

圓N：(x—l)2+(y-l)2=l的位置關系是().

A.內切

B.相交

C.外切

D,相離

2.已知點(x,y)在圓(x—2>+(y+3)2=l上.

⑴求x+y的最大值和最小值；

⑵求上的最大值和最小值；

X

(3)求7^2+/+2%-4>'+5的最大值和最小值.

闡⑴

【解法一】

設/=升n，則丁=一尸匕，，可視為直線丁=一葉，的縱截距.

???葉y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓

相切時的縱截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑.

即付M二4=1,解之得片企―1或片一血一1.

???葉y的最大值為近一1,最小值為一夜一1.

【解法二】

設「L2+COS夕外0,2)),貝IJjr\-y=2+cos0-3+sin0=\/2sin[^+―|-1,由

y=-3+sin<9LI

一啜瓦n(e+?)1,易得Hy的最大值為五一1,最小值為一