第三講充滿智慧的數(shù)學思想方法

第三講充滿智慧的數(shù)學思想方法第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一

古希臘的畢達哥拉斯把數(shù)學分為四大學科：算術、音樂、幾何和天文。這種分類對西方數(shù)學教育和研究產(chǎn)生了深遠的影響，直到文藝復興時期，西方數(shù)學仍然主要分為這四科。

《九章算術》把數(shù)學分為九部分：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

一、數(shù)學的學科結構第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一這首歌沒有什么音？“宮、商、角、徵、羽”：我國五聲音階中五個不同音的名稱，2600前，春秋時期）“三分損益法

”.1、2、3、5、6宮商角徵羽金木水火土肺肝腎心脾鼻目耳舌口（音、行、臟、官）（美麗其格詞曲胡松華吳雁澤演唱1952年）第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學與音樂數(shù)學是理性的音樂，音樂是感性的數(shù)學，兩者的靈魂完全一致的！……當人類的智慧升華到完美境界時，音樂和數(shù)學就互相滲透而融為一體了。西爾威斯特Sylvester,1814-1897英國數(shù)學家。他創(chuàng)造了許多數(shù)學名詞，當代數(shù)學中常用到的術語，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。也許我可以并非不適當?shù)匾螳@得數(shù)學上亞當這一稱號，因為我相信數(shù)學理性創(chuàng)造物由我

命名比起同時代其他數(shù)學家加在一起還要多。數(shù)學家西爾威斯特第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一音律與數(shù)學：音律按照和諧要求由數(shù)來確定。古希臘“萬物皆數(shù)”：宇宙是按照和諧形成的，形成和諧需要秩序，構成秩序體系的根本是數(shù)，數(shù)就是構成宇宙的根本。聲音的本質(zhì)是空氣的振動，并以聲波的形式傳播的，波都有三個本質(zhì)的特性：頻率/波長、振幅、相位。對于聲音來說，聲波的頻率（聲學中一般不考慮波長）決定“音高”，振幅決定“音響”，而人耳對于聲波的相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮聲波的相位問題。律學不考慮聲音有多“響”，所以律學研究的重點就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率范圍是20HZ（每秒振動20次）到20000HZ（每秒振動20000次）之間。聲波的頻率越大（每秒振動的次數(shù)越多），聽起來就越“高”。頻率低于20HZ的叫“次聲波”，高于20000HZ的叫“超聲波”。第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一人耳對于聲波的頻率是指數(shù)敏感的。比如，100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……這些聲音，人聽起來并不覺得是“等距離”的，而是覺得越到后面，各個音之間的“距離”越近。如果它們的頻率是嚴格地按照×1、×2、×4、×8……，即按的等比規(guī)律排列的話，它們聽起來才是一個“等差音高序列”。由于人耳對于頻率的指數(shù)敏感，“×2就意味著等距離”的關系是音樂中最基本的關系。用音樂術語來說，×2就是一個“八度音程”。中的1和就是八度音程的關系。也就是說，高音的頻率是1的兩倍。用寫的歌，如果換用高音來寫，只會覺得音變高了，旋律本身不會有變化。第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一如果在一根弦振動的時候，用手指按住弦的中點，即讓原來全部振動的弦，變成兩根以1/2長度振動的弦，我們會聽到一個比較高的音。這個音和原來的音之間就是八度音程的關系。在物理上，弦的振動頻率和其長度是成反比的。弦樂器是世界各地發(fā)展得最早的樂器種類之一，所以這種現(xiàn)象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的2:1的關系在弦樂器上用這么簡單一按中點的方式就能實現(xiàn)，那么試試按數(shù)學上比2:1是簡單性僅次于它的就是3:1，那么，我們?nèi)绻醋∠业?/3點,其結果是弦發(fā)出了兩個高一些的音。一個音的頻率是原來的3倍，另一個音是原來的3/2倍（因為弦長變成了原來的2/3）。這樣，在我們要尋找的F～2F的范圍內(nèi)，出現(xiàn)了第一個重要的頻率，即3/2F。接著再試，我們又得到了一個重要的頻率，4/3F。在聽覺上，與主音F最和諧的就是3/2F和4/3F（除了主音的各個八度之外）。第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一這個現(xiàn)象也被很多民族分別發(fā)現(xiàn)了。最早從數(shù)學上研究弦的振動畢達哥拉斯，我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》所謂“三分損益律”。得到這兩個頻率之后，再繼續(xù)找1/5點、1/6點等等繼續(xù)試下去，聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及3/2F、4/3F。實際上4/3F已經(jīng)比3/2F的和諧程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經(jīng)找到了，他們轉而找3/2F的3/2F，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了（3/2）2F即9/4F?？墒沁@已經(jīng)超出了2F的范圍，進入了下一個八度。由“等差音高序列”，在下一個八度中的音，有與它等價的一個音，于是把9/4F的頻率減半，便得到了9/8F。接著把這個過程循環(huán)一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，這也在下一個八度中，再次頻率減半，得到了27/16F。第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一這樣一直循環(huán)找下去會沒完沒了的，因為我們最理想的情況是某一次循環(huán)之后，會得到主音的某一個八度，這樣就算是“回到”了主音上，不用繼續(xù)找下去了?？墒?，不會是整數(shù)，更不會是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。

數(shù)學上不可能的事，只能從數(shù)學上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注意到（3/2）5≈7.59，和23=8很接近，于是決定這個音就是他們要找的最后一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音F開始，我們只需把“按3/2比例尋找最和諧音”這個過程循環(huán)5次，得到了5個音，加上主音和4/3F，一共是7個音。這就是為什么音律上要取7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。這7個音符的頻率，從小到大分別是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F，這7個頻率組成了7聲音階。第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一“五度相生律”產(chǎn)生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太復雜了。于是有人開始對這7個音的頻率做點調(diào)整，于是就出現(xiàn)了“純律，重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的頻率比盡量簡單?！凹兟伞钡陌l(fā)明人是古希臘學者（今意大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯，是亞理士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他說要靠耳朵，而不是靠數(shù)學來主導音樂。他的書籍留下來的只有殘篇，不過可以證實的是他提出了所謂“自然音階”。自然音階也有7個音，頻率分別是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。確實簡單多了吧？也確實好聽多了。雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽，數(shù)學上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關系變復雜了第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一對于“五度相生律”的另一種修正：取7個音符，是因為（3/2）5≈7.59，和23=8很接近?？蛇@畢竟是近似值，在一個八度之內(nèi)，問題不大，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，差異就大了。于是人們開始尋找更好的近似值。通過計算，古人發(fā)現(xiàn)（3/2）12≈129.7，和27=128很接近，于是他們把“五度相生律”中“按3/2比例尋找最和諧音”的循環(huán)過程重復12次，便認為已經(jīng)到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，就有了12個音符。注意，“規(guī)范”音階是12個音符了。這種經(jīng)過修改的12聲音階，其頻率分別是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F?？梢园l(fā)現(xiàn)原來的7個音都還在，多出的了5個，分別插在它們之間，應該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的頻率的比例只有兩種：256:243（原來的“半音”）2187:2048（稱為“變化半音”）。第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一這種12聲音階在音樂界的地位，舉一個例子就能說明了：鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發(fā)展呢？12聲音階的依據(jù)就是（3/2）12≈129.7，和27=128很接近，按照這個思路，可以繼續(xù)找接近的值。我國西漢的著名學者京房發(fā)現(xiàn)（3/2）^53≈2.151×109，和231≈2.147×109也很接近，于是提出了一個53音階的新音律。京房的新律并沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了！“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有自然半音和變化半音兩種，而且兩種半音彼此差距還不小。如果12聲音階是真正的“等差音高序列”的話，每個半音就應該是相等的，真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一一直到文藝復興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調(diào)律”,就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把（3/2）12和27之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷只是一種無可奈何的妥協(xié)，大家其實都在等待新的音律出現(xiàn)。終于還是有人想到了徹底的解決辦法:為了在一個八度內(nèi)均分12份直接就把2:1這個比例關系開12次方，真正的半音比例應該是。如果12音階中第一個音的頻率是F，那么第二個音的頻率2^(1/12)F，……，第十二個是2^(11/12)F，第十就是2^12/12F，就是2F，正好是F的八度。這是“轉調(diào)”問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以復制到任何一個其它的音高上，而對旋律不產(chǎn)生影響,這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發(fā)明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）（1536-1611）。朱載堉（1536年—1611年）明朝皇子。第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一朱載堉用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正確半音比例，其成就見于所著的《律學新書》一書。西方人提出“十二平均律”，大約比朱載堉晚50年左右，不過很快就傳播、流行開來了。理論上來說，所有樂器的音準只需要儀器來校準。但是實踐證明，十二平均律僅僅在中低頻率適用于人對音階感覺，當頻率較高時（往往大于1500Hz），人感覺上的音階較實際計算的十二平均律偏高，所以樂器的調(diào)音師是不可被儀器替代的。為了聲音的協(xié)和，實際上鋼琴各個鍵的音高也并不是嚴格按照十二平均律來調(diào)音的，在中音區(qū)，嚴格按照十二平均律來調(diào)音；在高音區(qū)，傾向于五度相生律，即半音變??；在低音區(qū)，傾向于純律，半音變寬。正式的交響樂校音的基本頻率往往不是440Hz，一般會提高至442Hz左右。第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一18世紀法國數(shù)學家達朗貝爾和哲學家狄特羅主編《百科全書》的分類結構（光學、天文學、力學視為數(shù)學的一部分）：純數(shù)學幾何算數(shù)初等幾何超越幾何數(shù)值算術代數(shù)無窮小代數(shù)初等代數(shù)微分積分混合數(shù)學光學普通光學、透視學、反射光學猜測的藝術，聲學天文學天體演化（地理、水文地里、天像圖說），年代學，計時學。力學靜力學：普通靜力學、流體靜力學動力學：普通動力學、彈道學、流體動力學第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一《中國大百科全書——數(shù)學卷》：

數(shù)學史、數(shù)學基礎、數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)學、數(shù)論、幾何學、拓撲學、分析學、微分方程、計算數(shù)學、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、運籌學，共14個二級學科。300多位數(shù)學家撰寫。1995—2009年第二版。第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一專業(yè)：信息與計算科學、數(shù)學與應用數(shù)學；學科：基礎數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學、運籌與控制、概率與數(shù)理統(tǒng)計。分析學：微積分，無窮級數(shù)，微分方程，復變函數(shù)論，實變函數(shù)論，泛函分析等。代數(shù)學：高等代數(shù)，數(shù)論，抽象代數(shù)，同調(diào)代數(shù)，代數(shù)幾何等。幾何學：解析幾何，微分幾何，拓撲學，分形幾何，射影幾何，非歐幾何等。計算數(shù)學：數(shù)值分析基礎，微分方程數(shù)值解，最優(yōu)化理論，小波變換，神經(jīng)網(wǎng)絡計算等。隨機數(shù)學：概率論，數(shù)理統(tǒng)計，隨機過程理論，時間序列分析。作為大學數(shù)學教育的課程結構第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一中國數(shù)學文摘2000數(shù)學主題分類表(一級類目)00總論01歷史與傳記03數(shù)理邏輯與基礎05組合論06序,格,有序的代數(shù)結構08一般代數(shù)系統(tǒng)11數(shù)論12域論和多項式13交換環(huán)和交換代數(shù)14代數(shù)幾何15線性代數(shù)和多重線性代數(shù);矩陣論16結合環(huán)與結合代數(shù)17非結合環(huán)與非結合代數(shù)18范疇論;同調(diào)代數(shù)19K-理論20群論及推廣22拓撲群,Lie群26實函數(shù)28測度與積分30單復變函數(shù)31位勢論32多復變量與解析空間33特殊函數(shù)34常微分方程35偏微分方程37動力系統(tǒng)和遍歷理論39差分方程與泛函方程1987年創(chuàng)刊，報導中國數(shù)學領域最新研究成果和進展。第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一40序列、級數(shù)、可求和性41逼近與展開42Fourier分析43抽象調(diào)和分析44積分變換,算子演算45積分方程46泛函分析47算子理論49變分法與最優(yōu)控制;最優(yōu)化51幾何52凸幾何與離散幾何53微分幾何54一般拓撲學55代數(shù)拓撲學57流形和胞腔復形58大范圍分析,流形上的分析60概率論與隨機過程62統(tǒng)計學65數(shù)值分析68計算機科學70質(zhì)點和系統(tǒng)力學74變形固體力學76流體力學78光學,電磁理論80經(jīng)典熱力學,熱傳導81量子理論82統(tǒng)計力學,物質(zhì)結構83相對論和引力理論85天文學和天體物理學86地球物理學

第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一90運籌學,數(shù)學規(guī)劃91對策論,經(jīng)濟,社會科學和行為科學92生物學和其它自然科學93系統(tǒng)論;控制94信息和通訊,電路97數(shù)學教育美國《數(shù)學評論》(Mathematicalreviews)于1940年創(chuàng)刊,該刊創(chuàng)始編輯有數(shù)學史家O.諾伊格鮑爾(Neugebauer，1899-1990)、數(shù)學家J.D.塔馬金(Tamarkin，1888-1945)和O.維布倫(veblen，1880-1960)，

,現(xiàn)在每期約有45000條評論，分為61個類別，依靠世界各地近12000位評論員撰寫，是世界上重要的數(shù)學檢索刊物之一。.第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一二、充滿智慧的數(shù)學思想方法點滴1.代數(shù)

研究數(shù)的性質(zhì)；代數(shù)方程求解；代數(shù)結構。（1）算數(shù)基本定理(公元前350年，歐幾里德)：對任何一個正整數(shù)，都有唯一的分解。其中的是質(zhì)數(shù)，是正整數(shù)。定理顯示出質(zhì)數(shù)的重要性！第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一代數(shù)學的符號化第一階段是文字代數(shù)學，其主要標志是，代數(shù)書全部由文字表述。(公元前1世紀，《九章算術》）第二階段是簡寫代數(shù)學，其主要標志是，采用以速記為目的的簡寫形式表示數(shù)量、關系與運算。（公元3世紀，《算術》，丟番都，代數(shù)學鼻祖，李冶天元術。）第三階段是符號代數(shù)學。法國數(shù)學家韋達（Viete,Francois.1540—1603）對代數(shù)學符號化的發(fā)展作出了重要貢獻。（公元16世紀，《分析方法入門》，韋達，代數(shù)學之父）第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)系的擴展：正整數(shù)：遠古，計數(shù)、記數(shù)。文明古國。有理數(shù)：正有理數(shù)，中國《九章算術》，古希臘數(shù)學。負整數(shù)、零：中國《九章算術》。無理數(shù)：不可通約量的發(fā)現(xiàn)，開不盡方的數(shù)的開方，畢達哥拉斯、劉徽。實數(shù)：極限封閉，完備的有序域。復數(shù)：為了任意的代數(shù)方程有解。第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一有理數(shù)域Q:1、是一個數(shù)的集合：2、關于代數(shù)運算成為一個最小的數(shù)域；3、關于大小關系是一個有序域；4、關于距離是一個度量空間；5、有理點在數(shù)軸上處處稠密，但是在實數(shù)軸上占據(jù)的長度為0；6、有理數(shù)的個數(shù)是可數(shù)的，即與自然數(shù)個數(shù)一樣多。第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一實數(shù)域R:1、R是一個數(shù)的集合：2、關于代數(shù)運算成為一個完備的數(shù)域；3、關于大小關系是一個有序域；4、關于距離是一個度量空間；5、實數(shù)點填滿實數(shù)軸，區(qū)間[0,1]中無理數(shù)在實數(shù)軸上的長度為1；6、實數(shù)是不可數(shù)的，且與無理數(shù)、超越數(shù)的個數(shù)一樣多。復數(shù)域（二元）、四元數(shù)域、八元數(shù)域、…第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（2）代數(shù)方程的求根公式（9世紀的花拉子米，16世紀的卡爾丹諾、塔爾塔利亞、費拉里）：塔爾塔利亞(Tartaglia)（意大利，1499—1557）卡爾丹諾（Cardano）（意大利，1501—1576）花拉子米（Khwārizmi）（阿拉伯，約783—850）費拉里（Ferrari）（意大利，1522—1565）第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一阿拉伯的花拉子密阿拉伯人在6世紀摧毀了古希臘數(shù)學，但是，穩(wěn)定后，阿拉伯數(shù)學家廣泛吸收古希臘、古印度、中國傳統(tǒng)數(shù)學，8世紀阿拉伯數(shù)學進入興盛時期。中心在巴格達。830年設“智慧宮”，云集大批學者，卓越代表是花拉子密（Algoritmi）。代表作：《代數(shù)學》、《印度的計算術》。

成果：1、系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進制記數(shù)法，以及相應的算術運算，對十進位制記數(shù)法在歐洲傳播起關鍵作用；2、一元二次方程系統(tǒng)解法；3、引入數(shù)學名詞：方程求根、代數(shù)(algebra)、算法(Algorithm)。1898年，李善蘭和偉烈亞力譯為“代數(shù)”，簡潔、傳神。第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一一次方程：二次方程：三次方程：第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三次方程解法：考察：設只要求得a,b,即可得y。于是問題轉化為：給定原方程，求出滿足的a,b。等價于由韋達定理：卡爾丹公式：解三次方程轉換為解二次方程，分13種情形。第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一韋達三次代數(shù)方程解法：韋達（Vieta）法國，1603-1540律師。16世紀最偉大的數(shù)學家，符號代數(shù)學之父。令代表作：《分析術引論》成就：1、改進了三次、四次代數(shù)方程求解方法；2、發(fā)現(xiàn)了二次方程根與系數(shù)關系的韋達定理；3、繼承丟番圖思想進一步代數(shù)變量、常數(shù)符號化，研究一般三次方程,用元音字母表示未知數(shù)，輔音字母表示常數(shù)。1637年，笛卡爾用字母表中前面字母表示已知數(shù)，后面字母表示未知數(shù)。趣事：解決比利時羅曼尼斯提出的一個45次代數(shù)方程求解；破譯西法戰(zhàn)爭中西班牙的密碼。第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一費拉里四次方程解法：精湛的藝術關于的三次方程可解解得代入上式兩端成完全平方費拉里方法：解四次方程轉換為解三次方程。分20種情形。第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一任何復系數(shù)一元

次多項式方程在復數(shù)域上至少有一根(

)，從而達朗貝爾、歐拉、拉格朗日都有過不完全證明，高斯在博士論文中給出了第一個嚴格證明(1799年）。據(jù)統(tǒng)計，關于代數(shù)學基本定理的證明，現(xiàn)有200多種證法。但是都不是純代數(shù)證明。

高斯（Gauss）（德國,1777—1855）數(shù)學王子高斯：“任何一個花過一點功夫研習數(shù)論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱?！保?）代數(shù)基本定理（1629年，吉拉爾，荷蘭

）第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一阿貝爾（Abel）（挪威，1802—1829）阿貝爾：《論代數(shù)方程，關于一般五次方程的不可解性的證明》（1824年），提出置換群理論。（4）代數(shù)方程公式可解性問題：五次及五次以上代數(shù)方程有沒有求根公式？

伽羅瓦（Galois）

（法國，1811—1832）伽羅瓦：方程全部根的域——這個域?qū)诜匠谈囊粋€伽羅瓦群。當且僅當方程的伽羅瓦群是可解群時，這方程是根式可解的。第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（5）抽象代數(shù)結構（群）阿貝爾、伽羅華的工作使得代數(shù)的研究從方程求根轉變?yōu)檠芯看鷶?shù)結構。設是一個非空集合，在上有一個運算，如果滿足條件：當時，稱為交換群。稱

關于運算構成一個群，記為第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一一種重要的群：模p剩余類加群。模的剩余類集合規(guī)定加法“+”：

+[0][1][2][3][0][0][1][2][3][1][1][2][3][0][2][2][3][0][1][3][3][0][1][2]第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一伽羅瓦的遺書我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。我是作為一個不名譽的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結束我的生命。噢！為什么要為這么微不足道的，這么可鄙的事去死呢？我懇求蒼天為我作證，只有武力和強迫才使我在我曾想方設法避開的挑釁中倒下。我親愛的朋友，我已經(jīng)得到分析學方面的一些新發(fā)現(xiàn)……。在我一生中，我常常敢于預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我在這里寫下的這一切已經(jīng)清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不愿意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。請公開請求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發(fā)表他們的看法。然后，我希望有人會發(fā)現(xiàn)將這些整理清楚會是很有益處的一件事。熱烈地擁抱你。第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一三元線性方程組三元線性方程組的解為:（6）解線性代數(shù)方程組的克萊姆法則(1750年)

第39頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一克萊姆（Cramer)

(瑞士，1704—1752)第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一畢氏定理與第一次數(shù)學危機不可公度量的發(fā)現(xiàn)：正方形的邊長與其對角線長沒有公度。2.幾何幾何圖形的幾何量計算；幾何圖形的構造、關系；幾何圖形的微觀性質(zhì)與宏觀性質(zhì)。（1）畢達哥拉斯定理第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一幾何學的公理化1899年希爾伯特《幾何基礎》選擇和組織公理系統(tǒng)的原則希爾伯特(德,1862-1943)“建立幾何的公理和探究它們之間的關系，是一個歷史悠久的問題；關于這個問題的討論，從歐幾里得以來的數(shù)學文獻中，有過難以計數(shù)的專著，這問題實際就是要把我們的空間直觀加以邏輯的分析?！北緯械难芯?，是重新嘗試著來替幾何建立一個完備的，而又盡可能簡單的公理系統(tǒng)；要根據(jù)這個系統(tǒng)推證最重要的幾何定理，同時還要使我們的推證能明顯地表出各類公理的含義和個別公理的推論的含義?！钡?2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一問題：第五公設可否從其他公理推出來？羅巴切夫斯基幾何：從直線外一點，至少可以做兩條直線和已知直線平行。推論：三角形內(nèi)角和小于180°。黎曼幾何：過直線外一點，不存在直線和已知直線平行。推論：三角形內(nèi)角和大于180°。歐氏幾何平行公設：過直線外一點，能且只能作一條直線與已知直線平行。推論：三角形內(nèi)角和等于180°。（2）非歐幾何第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一

高斯(Gauss)(德國,1777—1855）

鮑耶(Bolyai)（匈牙利,1802—1860)羅巴切夫斯基（Lobachevsky）(俄國,1792—1856)黎曼(Riemann)(德國,1826—1866）第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一波爾約父子之墓波爾約(羅馬尼亞,1960)π(α)α第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一從曲線C上某一動點P的切線與某一定直線l的交點Q到點P的線段長恒為定值,則稱曲線C為曳物線(tractrix)。直線l為其漸近線。第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一克萊因-龐加萊圓1871年克萊因(德,1849-1925)1882年龐加萊(法,1854-1912)第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一內(nèi)蘊幾何，流形曲率1854年黎曼(德,1826-1866)《關于幾何基礎的假設》黎曼幾何：三角形內(nèi)角之和小于兩直角；過已知直線外一點不能作任何平行于該給定直線的直線。第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（3）解析幾何笛卡爾（法國，1596—1650）點的概念函數(shù)概念幾何代數(shù)一體化1）二元二次方程的圖形曲線通過坐標軸的平移、旋轉可歸結為第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一2）三元二次方程的圖形曲面通過坐標軸的平移、旋轉可歸結為柱面和如圖的曲面：第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一(3)二元三次方程：橢圓曲線任何二元二次曲線都可以通過坐標系的平移和旋轉，劃歸為三種圓錐曲線，或者直線。但是，橢圓曲線極其復雜。第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（4）分形幾何“英國的海岸線有多長？”（1973年）曼德波羅特（Mandelbrot）（法、美，1924—2010）第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一據(jù)計算：中國大陸海岸線從鴨綠江到北侖河口的長，用1千米長的尺子，量得段數(shù)海岸線長約1.8萬千米。用1厘米長的尺子，量得段數(shù)海岸線長約381萬千米。212倍。第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一柯赫(瑞典,1870-1924)柯赫曲線維數(shù)D＝log4/log31.26第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一西爾賓斯基(墊片D=1.58,海綿D=2.72)康托爾塵埃(D=0.63)第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一復平面上二次函數(shù)迭代的圖形。第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（5）格尼斯堡七橋問題一個步行者能不能不重復、不遺漏地一次走完7座橋，最后回到出發(fā)點?

1736年，29歲的歐拉提交了《哥尼斯堡七橋》的論文，圓滿解決了這一問題：不能！連通圖是一筆畫，當且僅當奇次數(shù)頂點的個數(shù)是0,2。

拓撲學圖論普雷蓋爾河高橋店主橋鐵匠橋綠橋饞鬼橋密橋內(nèi)福夫島木橋第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一3.分析學基本研究對象：函數(shù)

基本工具：極限

包括微積分、無窮級數(shù)、微分方程論、函數(shù)論、泛函分析等。分析學的基礎是微積分。微積分起源于：求變速直線運動的瞬時速度；求函數(shù)的極大值與極小值；確定一般曲線的切線；計算弧長、面積、體積的計算。第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一1614年《奇妙對數(shù)規(guī)則的說明》；1620年岡特（英，1581－1626）制成第一把對數(shù)尺。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年）費爾馬（法，1601－1665年）數(shù)論對數(shù)費爾馬大定理；費爾馬數(shù)。第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一

1637年《方法論》；《折光》：折射定律；《氣象》：虹的形成原理；《幾何學》：解析幾何思想。笛卡兒（法，1596－1650年）

笛卡兒的《幾何學》1637年第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一雅格布?貝努利(瑞，1654-1705)

1691年引入極坐標；深入研究對數(shù)螺線。解析幾何的發(fā)展約翰?貝努利(瑞，1667-1748)1715年引入空間坐標系第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一牛頓(英，1643-1727年)"NatureandNature'slawslayhidinnight;Godsaid,LetNewtonbe!andallwaslight."牛頓《自然哲學的數(shù)學原理》1687年第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一牛頓的萬有引力（摩納哥，1987）蘋果和《自然哲學的數(shù)學原理》（英國，1987）二項式定理（朝鮮，1993）第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一萊布尼茨(德，1646-1716年)法學博士，外交官第一篇發(fā)表的微分學論文:《一種求極大與極小值和求切線的新方法》(1684)第一篇發(fā)表的積分學論文:《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》(1686)一些重要貢獻：計算機、物理學、力學、光學、地質(zhì)學、化學、生物學、心理學、哲學優(yōu)先權爭論.第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一泰勒(英,1685-1731)達朗貝爾(法,1717-1783)拉格朗日(法,1736-1813)柯西(法,1789-1851)李普希茨(德,1832-1903)第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一牛頓無窮小分析法與數(shù)學第二次危機：貝克萊大主教：《分析學家，或一篇致一位不信神數(shù)學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》（1734年）

貝克萊（英國,1685—1753）（1）微積分

假設≠0！假設=0！問題：=0？≠0？第67頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一牛頓—萊布尼茨公式：數(shù)學史上最給力的計算公式和式極限變化率第68頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（2）微分方程達朗貝爾（1747年）：弦振動方程歐拉（1752年）：位勢方程傅里葉（1822年）：熱傳導方程歐拉（Euler)(瑞士，1707—1783）傅里葉(Fourier)(法國，1772—1837）達朗貝爾(D′Alember)（法國，1717—1783）第69頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一（3）泛函分析巴拿赫（Banach）（波蘭，1892—1945）Banach壓縮映像原理：設是完備的度量空間，是到的壓縮映射，即滿足則存在唯一的不動點，有任取作迭代序列第70頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一

康托爾（德國，1845—1918）4.集合論數(shù)學基礎概念，核心是關于無窮集合的理論。集合的基數(shù)記為。命題1

設分別是正整數(shù)集，有理數(shù)集，無理數(shù)集和實數(shù)集。則有命題2平面上點的集合和實數(shù)軸上點的集合對等。劉維爾超越數(shù)（1851）：

命題3實代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的，超越數(shù)的集合不可數(shù)。第71頁，共77頁，2023年，2月20日，星期一羅素