信號與系統(tǒng)習(xí)題解

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1.當(dāng)取k(x,t)?JM(xt)時，其中JM(?)是M階的第一類Bessel函數(shù)，相

應(yīng)的采樣定理如何表述？解：假設(shè)M?R且M??1,L?0，t1,t2,t3,t4?是方程JM?Lx??0的正根，則

JM?t1x?,JM?t2x??在區(qū)間?0,L?上構(gòu)成一個完備正交系。

即當(dāng)ti?tj時，

?L0xJM?tix?JM?tjx?dx?0

設(shè)x?t?是?上的一個信號，且存在區(qū)間?0,L?的一個函數(shù)??x?，使得

x?t???L0xJM?tx???x?dx

則x?t?可以按如下方式重構(gòu):

?x?t???x?t?S?t?

nnn?1Sn?t???L0xJM?tx?JM?tnx?dx?L0xJ2M?tnx?dx

2.當(dāng)取k(x,t)?Pt(x)時，其中Pt(x)是Legendre函數(shù)，相應(yīng)的采樣定理又如何表述？解：

P0(x),P1(x),P2(x)?在區(qū)間[?1,1]上構(gòu)成一個完備正交當(dāng)t?0,1,2,3?時，

系。即當(dāng)m?n時，

?1?1Pm?x?Pn?x?dx?0。

設(shè)x(t)是?上的一個信號，且存在區(qū)間[?1,1]上的一個函數(shù)?(x)，使得

x?t???1?1Pt?x???x?dx

則x(t)可以按如下方式重構(gòu)：

??x?t???x?n?S?t?nn?0Sn?t???1?1Pt?x?Pn?x?dx

?1?1Pn2?x?dx第四章

1.用一條主線將本章介紹的所有變換的物理背景和數(shù)學(xué)生長點串在一起。

2.利用復(fù)變函數(shù)的知識給出幾種求反Z-變換的方法。

??解：設(shè)X(z)??n???x(n)z?n收斂域為r?z?R

(1)留數(shù)法

??把X(z)在r?其中cn?12?z?R內(nèi)展為洛朗級數(shù)X(z)??n???cnzn

?jX(z)?zn?1dzn?0,?1...?:z??(r???R)

對照兩式有x(n)?c?n?12??j?X(z)zn?1dz??Res(X(z)zkz?akn?1)

其中ak為X(z)zn?1在區(qū)域：z(2)長除法設(shè)X(z)?P(z)Q(z)??(r???R)內(nèi)的孤立奇點

為有理分式，收斂域為r??N(z)?M(z)Q(z)z?R

a.將X(z)?P(z)Q(z)化為帶分式

b.將Q(z)化為

A(z)M(z)M(z)Q(z)?A(z)B(z)?C(z)D(z)，則X(z)?N(z)?的收斂域為zA(z)A(z)B(z)?C(z)D(z)

其中B(z)的收斂域為

z>r，

C(z)D(z)?R

將A(z),B(z)降冪排列，用B(z)去除A(z)，將B(z)以z的降冪排列

A(z)B(z)???(n)z?xn?0?n?(0)z0?x?(1)z?1?x?(2)z?2???x

C(z)D(z)將C(z),D(z)升冪排列，用D(z)去除C(z)，將

C(z)D(z)?1以z的升冪排列

??n????(n)z?n?x?(?1)z1?x?(?2)z2?x?(?3)z3??x

?(n)c.從而得x(n)?Z?1(N(z))?x(3)部分分式展開法設(shè)X(z)?P(z)Q(z)為有理分式

?N(z)?M(z)Q(z)a.將X(z)?P(z)Q(z)化為帶分式

b.將Q(z)有理分解：

若Q(z)?(z?z1)(z?z2)?(z?zn)無重根，將

M(z)Q(z)?A1z?z1?A2z?z2???Anz?zn

中的系數(shù)A1,A2,?,An按如下公式求出

Ak?(M(z)Q(z)(z?zk))|z?zkn，

nk?1,2?,n,nl若Q(z)?(z?z將

1)1(z?z2)2?(z?zl)n1?n2???nl?n

M(z)Q(z)?A11z?z1???A1n1(z?z1)n1???Al1z?zl???Alnl(z?zl)nl

中的系數(shù)按如下公式求出

Ajk?1d(nj?k)(nj?k)(nj?k)!dz(M(z)Q(z)Ajk(z?zj)j)|z?zkn，k1?1,2,?,nj,j?1,2,?,l.

c.求出所有的Z?1((z?zj)k)?AjkZnj?1((z?zj)?1k)，進而得出

lx(n)?Z?1(N(z))???j?1k?1AjkZ(1(z?zj)k)

3.寫出拉普拉斯變換的正反變換公式，并用Laplace變換替代Fourier變換，改寫其次章中圖解法求頻譜的方法。

解：設(shè)x(t)為(??,??)上的有限分段函數(shù)，每一段上是一個多項式。1）.找出x(t)的所有不連續(xù)的分段點tt1j(j?1,2,?,s1)11,t12,?,t1s1，在休止點

處，根據(jù)x(t1j?0)?x(t1j?0)的取值畫箭頭:

當(dāng)當(dāng)

x(t1j?0)?x(t1j?0)?0時，箭頭沖上;時，箭頭沖下。

x(t1j?0)?x(t1j?0)?0

2）.對x(t)逐段求導(dǎo)(忽略分段點)得x'(t)，求出x'(t)的新的不連續(xù)的分段點t21,t22,?,t2s2，在休止點t2j(j?1,2,?,s2)處，根據(jù)x'(t2j?0)?x'(t2j?0)的取值畫箭頭:

當(dāng)當(dāng)……

n）.假使首次在各個分支上出現(xiàn)x(n)(t)?0，中止求導(dǎo)，x(t)的n階廣義導(dǎo)數(shù)依照如下公式給出:

x'(t2j?0)?x'(t2j?0)?0時，箭頭沖上;時，箭頭沖下。

x'(t2j?0)?x'(t2j?0)?0

dx(t)dtnns1???j?1s2(n?1)(t?t1j)[x(t?t2j)[x(0)(t1j?0)?x(t2j?0)?x(0)(t1j?0)](t2j?0)]???j?1sn(n?2)(1)(1)

?????j?1(0)(t?tnj)[x(n?1)(tnj?0)?x(n?1)(tnj?0)]仿照Fourier變換的證明，易證得

?dnx(t)?nnL???sL?x(t)??sX?s?n?dt?又

L??(t?a)????????(t?a)e?stdt?e?sa

m?sa所以L??所以

(m)(t?a)??sL??(t?a)??sem

?dnx(t)?X?s??nL??nsdt??1s1??sj?1?1e?st1j[x(0)(t1j?0)?x(1)(0)(t1j?0)](1)s2??j?1snse?2?st2j[x(t2j?0)?x(t2j?0)]

????j?1se?n?stnj[x(n?1)(tnj?0)?x(n?1)(tnj?0)])4.從講義中找出Hilbert變換的定義，并對瞬時頻率與頻率進行區(qū)分。5.給出含參變量積分?0Tsin(?(v?t))e2?j2?fvdv的數(shù)值解的程序。

6.在窗口Fourier變換和小波變換中，對基底進行局部修正起到了關(guān)鍵作用，分別對兩種變換中的修正方法進行描述。7.證明Walsh函數(shù)列{Wal(k,t),k證明：

?0,1,2,...}是L2([0,1])的完備正交基。

正交性易證，見講義，略。

下面證完備性。將區(qū)間[0,1]等分為2n份：??i上取常值的所有函數(shù)所組成的空間為Mn0,?1,?,?2n?1，記在每一小段

，顯然Mn是一個2n維的線

性空間且{Wal(k,t),k?0,1,2,?,2?1}?Mnnn。由Walsh函數(shù)列的正交性知，

{Wal(k,t),k?0,1,2,?,2?1}是Mn空間中的線性無關(guān)函數(shù)，又恰好數(shù)目為

nn2n個，所以{Wal(k,t),k?0,1,2,?,2?1}是M上的完備正交基。又區(qū)間[0,1]?上的所有階梯函數(shù)組成的線性空間D稠于L2([0,1])，而?Mn稠于D，

n?1所以由{Wal(k,t),k?0,1,2,...}張成的線性子空間稠于L2([0,1])，所以

{Wal(k,t),k?0,1,2,...}是L2([0,1])的完備正交基。

第五章

1．編譯一種FFT程序，并與Matlab中附帶的FFT比較速度，調(diào)

整你的程序，使之達到與Matlab中的程序一致的速度。假使在GPU環(huán)境中，你能提高多少?

2．編譯隨機產(chǎn)生素數(shù)的程序，并求出對應(yīng)素數(shù)p的倒序重排q。是

否存在正整數(shù)N，使得所有不超過N的素數(shù)的倒序重排也不超過N?假使不唯一，給出這樣的N的集合。3．寫出快速相關(guān)的程序。

4．將圓周卷積替代線性卷積的來龍去脈以及實現(xiàn)的技巧寫出來。5．從網(wǎng)上獲取知識，寫出矩陣的Kronecker乘積的綜述，特別指

出已知的應(yīng)用和潛在的應(yīng)用。

6．將本章中“求上(下)確界的問題轉(zhuǎn)化為求矩陣的最大特征根問

題〞的技巧整理出來，并探尋當(dāng)前研究論文中使用該技巧的其他例子(越多越好)。

第六章

1.因果線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

dy(t)dt22?6dy(t)dt?8y(t)?2x(t)，

試用傅里葉分析法求系統(tǒng)對x(t)?te?2tu(t)的響應(yīng)。解：

對方程兩邊做拉普拉斯變換s2Y(s)?6sY(s)?8Y(s)?2X(s)又X(s)?于是

Y(s)?2(s?2)(s?6s?8)221(s?2)2

?2(s?2)(s?4)3??1/4s?2??1/2(s?2)2?1(s?2)3??1/4s?4

上式兩邊做拉普拉斯逆變換得

y(t)?????????1414e?2tu(t)?12te2?2t12?2t1?4tu(t)??teu(t)?eu(t)24?e?4t[(1?2t??2t)e?2t

]u(t)2.試計算AR、MA、ARMA模型的傳遞函數(shù)，并寫出高斯白噪聲信號通過AR、MA、ARMA模型的功率譜。解：

設(shè)高斯白噪聲?(t)的均值為零，方差為?21)

AR(p)-過程：

X(t)???akX(t?k)??(t)

k?1p運用第十二講Z-變換提到的后移算子的方法，可知其傳遞函數(shù)為

H(z)?11?a?11z?...?apz?p

進而可求得X(t)的功率譜密度為

S(?)?H(ej?)2?2,??????

2)MA(q)-過程：

qX(t)??bkX(t?k)??(t)

k?1運用第十二講Z-變換提到的后移算子的方法，可知其傳遞函數(shù)為H(z)?1?b?1?q1z?...?bqz

進而可求得X(t)的功率譜密度為

S(?)?H(ej?)2?2

3)ARMA(p,q)-過程：

pqX(t)???akX(t?k)??bl?(t?l)??(t)

k?1l?1運用第十二講Z-變換提到的后移算子的方法，可知其傳遞函數(shù)為?1?qH(z)?1?b1z?...?bqz1?a1z?1?...?apz?p

進而可求得X(t)的功率譜密度為

S(?)?H(ej?)2?2

第七章

1.用代價函數(shù)統(tǒng)一認識各種判決準則。見講義第三十講其次部分

2.匹配濾波器從數(shù)學(xué)角度看就是一個滿足如下積分方程

?T0h0(z)R(t?z)dz??2s(T?t),0?t?T

的函數(shù)h0(t)，所以匹配濾波器的設(shè)計就是給出該積分方程求解的一種算法。請設(shè)計一種好的算法。(讀者可以僅就功率譜Sn(t)(?)?情形給出解)

提醒:上述積分方程求解問題雖然是數(shù)學(xué)中的問題，但數(shù)學(xué)系一般不專門開設(shè)積分方程求解的課程，而只有微分方程數(shù)值解的相關(guān)課程，原因是積分方程往往可以轉(zhuǎn)化為微分方程來求解。本章的積分方程也不例外。在匹配濾波器一講我們遇到的積分方程為

2?????22的

?或?qū)憺?/p>

T0Rn(t)(t?z)h(z)dz?s(T?t),0?t?T

?T0Rn(t)(t?z)h(z)dz?s(t),0?t?T(1)

稱為第一類Fredhlom積分方程。今后我們還會遇到積分核為

Rn(t)(t?z)?N02?(t?z)?Rc(t)(t?z)

的情形(白噪聲與非白噪聲兩部分的自相關(guān)函數(shù)的疊加)，此時對應(yīng)的積分方程稱為其次類Fredhlom積分方程。還有一類特別的積分方程

?T0fj(s)Rn(t)(t?s)ds??jfj(t),0?t?T(2)

稱為齊次積分方程。

對于第一類Fredhlom積分方程(1)，它的解可以用具有同一核的齊次積分方程(2)的待征函數(shù)和特征值來表示，稱為形式解或解析解。

假設(shè)積分核是正定的，此假設(shè)保證所有規(guī)范化的特征函數(shù)構(gòu)成L2(0,T)中的規(guī)范完備正交基底。假使h(t)和s(t)能量有限即平方可積，那么就有Karhunen-Loeve