高三數(shù)學(xué)數(shù)列放縮法

^=—=-5^=—=-5數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題能有效地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力.本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮,二是先放縮再求和.一?先求和后放縮例1.正數(shù)數(shù)列仏」的前總項(xiàng)的和筑,滿足2賦叫+\,試求：（1）數(shù)列仏」的通項(xiàng)公式；虬=a1衛(wèi)-（2）設(shè)氣線+i，數(shù)列的前總項(xiàng)的和為，求證：2解：（1）由已知得，用時(shí)，，作差得：4嗎！二%+2礙!-aH_i一2珀一1，所以（仏+&—）（%-口皆1一2）二0，又因?yàn)闉檎龜?shù)數(shù)列，所以叭-7=2，即3」是公差為2的等差數(shù)列，由2低二?+1，得眄=1,所以理二曲-1(2)麗需而冷呂-占），所以(2)麗需而冷呂-占），所以111\2^+r2-2(2?+1)2注：一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式.如果此數(shù)列的前總項(xiàng)和能直接求和或者通過(guò)變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來(lái)證明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列依』滿足條件弧+1-比二了4））求和或者利用分組、裂項(xiàng)、倒序相加等方法來(lái)求和.二?先放縮再求和1?放縮后成等差數(shù)列，再求和例2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列儀』的前"項(xiàng)和為凡，且⑴求證：.2丄.2b①十“林1;（2）求證：

2解：（1）在條件中，令用=1,得，丁眄?二1，又由條件有，上述兩式相減，注意到厲+1二汕+i-也得H沁「-比+1+口卅＞0?嗎+L■比二1二心+1)所以,嗎二1+lx@-1)二旳H_所以,占+1髭，所以占+1髭，所以（2）因?yàn)?3円+1<——+——q——+J272忑2.放縮后成等比數(shù)列,2.放縮后成等比數(shù)列,再求和例3.（1）設(shè)a,n￡N*,a±2,證明：八一（—町5（小「護(hù)1=~~1證明：B<2.n（2）等比數(shù)列｛aN｝中，前n項(xiàng)的和為A”，且A7，A1證明：B<2.n一做，數(shù)列｛Bn｝前n項(xiàng)的和為Bn，解:（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an三a，于是，~當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a—121,且an^a2，于是Q*=（茂十1）仏一1）?必"二（僅十1）Q*=（茂十1）仏一1）?必"二（僅十1）?◎(2)：..兒_舛=片+務(wù)斗一凡=_務(wù)嗎+坷(2)：..兒_舛=片+務(wù)斗一凡=_務(wù)嗎+坷7,???公比1…廠芒T…

A111<+Hp3-23-223-2a3.瓦二垃+?+…婦丄（1-—）丄（1-—）顯（1一丄）崇[—丄32?3例4?已知數(shù)列S滿足：廿1,叫十】二（1+和譏二心…）.求證:±3—莎亍>0，即玉+1所以數(shù)列血｝為遞增數(shù)列，所以%"二'>2L_2H累加得：2兀―1—a,2—+—-+…+—1222>0，即玉+1所以數(shù)列血｝為遞增數(shù)列，所以%"二'>2L_2H累加得：2兀―1—a,2—+—-+…+—12222B_112=——H-―—+■??T222肖-1，所以釵12肖—1=十+■■■+22252H，兩式相減得:111~2+2^+?+"，+1挖-1尹-亍,所以=2-^±1，所以44.放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5.在m（m±2）個(gè)不同數(shù)的排列PfyP中,12n故得若iWiVjWm時(shí)P>P（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)）則稱P.與P.構(gòu)成一個(gè)逆序一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)ij記排列S+1加也-1）…艾1的逆序數(shù)為a,如排列21的逆序數(shù)1",排列321的逆序數(shù)(1)求a4、a5,(1)求a4、a5,并寫(xiě)出a的表達(dá)式;45n(2)，證明山詛+6+?噸<劃+\〃=1,2，….(2)因?yàn)闀A+2宀——+>2aK程+2?札二旦+空二2+J丄'=1*又因?yàn)樗藻病?所以宀…"222^+3——<2^+3皿十1k-\-2綜上2總uh\+b?+…虬<2?+3,?^=A,2,■■■肌去一1）配注：常用放縮的結(jié)論：（1肌去一1）配注：常用放縮的結(jié)論：（1）匸幣—肌￡+1）審“在解題時(shí)朝著什么方向進(jìn)行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式.如例2要證明的結(jié)論屈、2忑為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論為差比數(shù)列求和結(jié)果的類型,則把通項(xiàng)放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論總十1世十？為裂項(xiàng)相消求和結(jié)果的類型，則把通項(xiàng)放縮為相鄰兩項(xiàng)或相隔一項(xiàng)的差，再求和即可.雖然證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中比較困難的問(wèn)題，但是我們通過(guò)仔細(xì)分析它的條