高斯迭代法報(bào)告

高斯迭代法

實(shí)驗(yàn)報(bào)告專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求用jacobi迭代法解線性方程組Ax=b,其中A是非奇異矩陣。用編織出來的程序，求解線性方程組Ax=b方程如下：10-2-1XT3-210-1X2=15-1-25.X2..10.Jacobi迭代格式的引出是依據(jù)迭代法的基本思想：構(gòu)造一個(gè)向量系列{x"},使其收斂至某個(gè)極限X',則x,就是要求的方程組的準(zhǔn)確解。Jacobi迭代將方程組：anx^anx2+-+alnxn=b,

a21Xl+a22X2+"+a2nXn=b2叫疽】+%土+??+%U〃=如（1）在假設(shè)改寫成%=，土+/工3+…+如飛+幻

x2=h2^+b2.xz+-+b2nxn+g2■■?=如X]+bn2x2+…+如(TS+gn(2)如果引用系數(shù)矩陣B=\如…og]?b=?g=?b〃g〃X=及向量方程組（1）和（2）分別可寫為：=b&X=BX*g,這樣就得到了jacobi迭代格式X-=BX*+g°用jacobi迭代解方程組AX=人時(shí)，就可任意取初值xzo1cinnax°帶入迭代可知式X-BX+g,然后求。但是，〃比較大的時(shí)候,寫方程組（1）和Q）是很麻煩的，如果直接由A,b能直接得到B,8就是矩陣與向量的運(yùn)算了，那么如何得到B,8呢實(shí)際上，如果引進(jìn)非奇異對(duì)角矩陣將A分解成：A=A—O+O,要求AX=b的解，實(shí)質(zhì)上就有AX=（A-D）X+DX,而。是非奇異的，所以B存在，DX=AX+（D-A）X,從而有x=D~lAX+D~lb,我們?cè)谶@里不妨令B=「BA,g=Bb就得到加汕迭代格式：X*=BX*+g現(xiàn)在考慮人仞迭代法的計(jì)算程序float43]P]=（{10-2-1）,{-2,10-1）,{-1-2,5}）;切3]={3,15,1（*分別代表X的系數(shù)和等號(hào)右邊的常數(shù)項(xiàng)fl0.vu-2xn-x13=3，一+1Or,—上=15即31-2.'壬+5*33=1。②由Jacobi迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用當(dāng)前最新的迭代值，即在計(jì)算第i個(gè)分量#奸“時(shí)，用最新分量"奸。x^+l）-xt/+l）代替舊分量擊⑴，赴⑴…為：幻，就得到所謂解方程組的Gauss-Seidel迭代法。其迭代格式為丫（。）-（丫（。）r（0）丫（°八7?工一（邑，土，…，毛）（初始向量），對(duì)+"=—(々一￡%*尸)一￡以菸?))(k=0,1,2,???；i=0,1,2,???n)aii;=1gl或者寫為x"+d=xjk)+Av(k=k=0,1,2,…；i=0,1,2,???〃)

此)=_l(3一蕓"件_蕓"號(hào)))

aii；=1；=/+!三、源程序#include<malloc.h>#include<stdio.h>#include<conio.h>#include<math.h>#defineEPSle-6#defineMAX100float*Jacobi(floata[3][4]Jntn);float*Jacobi(floata[3][4]Jntn)(float*x,*y;floatepsilon’s;intij,k=0;x=(float*)malloc(n*sizeof(float));y=(float*)malloc(n*sizeof(float));for(i=0;i<n;i++)x[i]=0;while(l){epsilon=0;k++;for(i=0;i<n;i++)(s=0;for(j=0;j<n;j++){if(j==i)(continue;}s+=a[i][j]*xO]；)y[i]=(a[i][n]-s)/a[i][i];epsilon+=(float)fabs(y[i]-x[i]);}if(epsilon<EPS)(printf("\n迭代次數(shù)為：％d\n“,k);returnx;}if(k>=MAX)printf（u方程不收斂\n“）;returny;}for(i=0;i<n;i++)(x[i]=y[i]；}}}main()(int\,k,I;floata[3][4];float*x;printf("請(qǐng)輸入增廣矩陣：\n“);for(k=0;k<3;k++)for(I=0;I<4;I++)scanf&a[k][l]);x=(float*)malloc(3*sizeof(float));x=Jacobi(a,3)；for(i=0;i<3;i++){printf(,,x[%d]=%f\t,,Jzx[i]);}printf("\n")；getch();}高斯迭代部分：float*Gauss-Seidel(floata[3][4]Jntn);float*Gauss-Seidel(floata[3][4]Jntn)(float*x,*y;floatepsilon,s’t;intij,k=O;x=(float*)malloc(n*sizeof(float));y=(float*)malloc(n*sizeof(float));for(i=0;i<n;i++)x[i]=0;y[i]=o；

)while(l){epsilon=0;k++;for(i=0;i<n;i++)(t=0;for(j=0;j<i;j++){t+=a[i][j]*y[j];)s=0;for(j=i+l;j<n;j++){s+=a[i][j]*x[j];)y[i]=(a[i][n]-s-t)/a[i][i];/*計(jì)算X(k+1)“*/epsilon+=(float)fabs(y[i]-x[i]);}if(epsilon<EPS)(printf("\n迭代次數(shù)為：％d\n“,k);returnx;}if(k>=MAX)(printf("方程不收斂\n");returny;}for(i=0;i<n;i++)(x[i]=y[i]；!1!實(shí)驗(yàn)結(jié)果!1!實(shí)驗(yàn)結(jié)果Jacobi迭代:■g\JJser§\!nr。小所適文件獎(jiǎng)《00頃中。＞「1.omT請(qǐng)輸入增廣矩陣；10-2-13-210-115-1-2510迭代次數(shù)為：1?x[0J=l.000000x[U=2.000000x[2J=3.000000迭代次數(shù)：17Xq—1.000000Xi=2.000000%2=3.000000Gauss-Seidel迭代:?|"3Use哆運(yùn)文件陽(yáng)Debuq'Cppl08'請(qǐng)輸入增廣矩陣，10-2-13-210-115-1-2510迭代次數(shù)丸10x[0]=l.000000x[U=2.000000xE2J=3.000000迭代次數(shù):10Xq—1.000000Xi=2.000000%2=3.000000五、說明與分析雅克比迭代法的優(yōu)點(diǎn)明顯，計(jì)算公式簡(jiǎn)單，每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法，