新津中學(xué)2019-2020學(xué)年高一4月月考（入學(xué)）數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精四川省新津中學(xué)2019-2020學(xué)年高一4月月考（入學(xué)）數(shù)學(xué)（理）試題含解析2019～2020學(xué)年度（下期）高2019級(jí)4月月考試卷理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共有12小題，每小題5分,共60分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1。設(shè)、、且，則（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法可判斷B、D選項(xiàng)的正誤，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用作差法可判斷C選項(xiàng)的正誤,進(jìn)而可得出正確選項(xiàng)?！驹斀狻繉?duì)于A選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，，,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取，,則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，則、中至少有一個(gè)不為零,所以，,則,所以，，即，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的大小比較,一般利用不等式的基本性質(zhì)、作差（商）法、特殊值法來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題。2.已知，則（)A。 B。 C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和倍角公式，，即可求解.【詳解】由，得，得答案選A【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和倍角公式，記準(zhǔn)公式，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.3.在等比數(shù)列中，已知，那么的前4項(xiàng)和為（).A。81 B。120 C。121 D。192【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出。【詳解】,。故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題。4?；?jiǎn)=（)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，由此求得正確結(jié)論.【詳解】依題意，原式，故選B。【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.5.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、,,且不等式的解集為，則等于()A。 B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，可得出、，再利用余弦定理可計(jì)算出的值。【詳解】解不等式，得，，,由余弦定理得.故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng),同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。6。已知、為銳角，，，則（)A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】求出，然后利用兩角和正切公式可求得的值?！驹斀狻繛殇J角，則，所以，,。故選:C?！军c(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的正切公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。7。在中,角的對(duì)邊分別為a,b,c，若，則()A。 B。 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由求出再求出，由正弦定理求出。【詳解】∵A，C是三角形內(nèi)角，∴。又∵∴，∴又∵，∴.故選A【點(diǎn)睛】本題考查同角間正余弦值互化、兩角和正弦公式、正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.8。函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D。2【答案】A【解析】由題意，得；故選A.9。在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，若、、成等比數(shù)列,,則＝()A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得出，利用正弦定理邊角互化思想得出，再結(jié)合正弦定理邊角互化思想可求得，進(jìn)而得解?！驹斀狻坑捎凇ⅰ⒊傻缺葦?shù)列，則，由正弦定理得，所以,.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求值，同時(shí)也考查了等比中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。10.已知中，，、分別是、的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng),則的面積等于（）A。 B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出和，利用余弦定理求出，然后利用三角形面積公式可求得的面積.【詳解】由于、分別是、的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng),則，得，,得.由余弦定理得，整理得，，解得或.當(dāng)時(shí)，的面積為;當(dāng)時(shí)，的面積為。綜上所述，的面積為或.故選:D?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力,屬于中等題。11。在遞減等差數(shù)列中,．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（)A. B。 C。 D?！敬鸢浮緿【解析】設(shè)公差為，所以由，，得(正舍）,即,因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)和等于，選D。點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如（其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列,c為常數(shù)）的數(shù)列。裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例），還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和,如或.12。設(shè)等差數(shù)列滿足，公差,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，求該數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍()A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】，，,，則，公差，，,則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則,把代入后解不等式，選A.【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)式恒等變形與等差數(shù)列綜合題，利用兩角和差的三角函數(shù)公式簡(jiǎn)化已知條件，轉(zhuǎn)化為三角方程，利用題目所提供的范圍求出等差數(shù)列的公差，由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，則首項(xiàng)為正，公差為負(fù)，根據(jù)是關(guān)于n的二次函數(shù)，圖象為開口向下的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，說(shuō)明對(duì)稱軸介于（8.5，9.5），解不等式后得出答案.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題,每小題5分13。不等式的解集為____________________。（用區(qū)間表示)【答案】【解析】【分析】將不等式變形為，解該不等式即可.【詳解】由得，解得或，因此,不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題。14。若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列,且則＝__________．【答案】【解析】試題分析:令，得，當(dāng)時(shí),，與已知式相減，得，時(shí),適合，，．考點(diǎn):數(shù)列的求和15。船在島A的正南方向的B處,以的速度向正北方向航行，,同時(shí)乙船自島A出發(fā)以的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲?乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為________。【答案】【解析】【分析】如圖，當(dāng)兩船航行后,甲船到D處,乙船到C處，由余弦定理得,即得解?！驹斀狻咳鐖D,當(dāng)兩船航行后，甲船到D處，乙船到C處,則,，,所以∴當(dāng)時(shí),最小，即兩船最近.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16。在中,內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,若的面積為，且，則等于__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷糜嘞叶ɡ砗腿切蔚拿娣e公式得出關(guān)于和的等式，結(jié)合建立方程組解出和的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】，由三角形的面積公式和余弦定理得，得，,，由題意可得,解得,因此，。故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形面積公式和余弦定理求角，解答的關(guān)鍵就是建立有關(guān)和的方程組,利用方程思想求解，考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.三、解答題:（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17.已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和。【答案】(1）;（2).【解析】試題分析:設(shè)等差數(shù)列的公差,利用首項(xiàng)和公差表示數(shù)列的項(xiàng)，利已知三項(xiàng)成等比列方程求出公差，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù),求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由于適合使用分組求和,所以利用分組求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)的和,注意利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的使用。試題解析：(1）設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列（舍）或。（2）令.【點(diǎn)睛】本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列及數(shù)列求和綜合題，設(shè)等差數(shù)列的公差，利用首項(xiàng)和公差表示數(shù)列的項(xiàng)，利已知三項(xiàng)成等比列方程求出公差，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,由于適合使用分組求和，所以利用分組求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)的和,注意利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的使用。18。在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知面積為，，.（1）求的值；(2)求的值?！敬鸢浮浚?）；（2）.【解析】試題分析：(1）通過(guò)三角形的面積以及已知條件求出b,c，利用余弦定理求a的值；(2）利用兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后直接求解即可．.試題解析：（1)在中，由，可得，,又因?yàn)?，所以，即。又，解得，。由，得?2)因?yàn)?，所以。19.已知在中，角的對(duì)邊分別為,且.（1）求的值;(2)若,求的取值范圍。【答案】（1）（2）【解析】試題分析:（1）本問(wèn)考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將轉(zhuǎn)化為，于是可以求出的值；（2）首先根據(jù)求出角的值，根據(jù)第（1）問(wèn)得到的值,可以運(yùn)用正弦定理求出外接圓半徑,于是可以將轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)榻堑闹狄呀?jīng)得到，所以將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外本問(wèn)也可以在求出角的值后,應(yīng)用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.試題解析：(1）由，應(yīng)用余弦定理，可得化簡(jiǎn)得則（2）即所以法一。，則===又法二因?yàn)橛捎嘞叶ɡ淼?，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立。所以又由三邊關(guān)系定理可知綜上20.已知數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，且（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),，求；（3）若對(duì)任意，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2)求得,然后利用裂項(xiàng)相消法可求得；（3)求出數(shù)列的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出該不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1)數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，,故.所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2），，,因此，;（3）因,所以數(shù)列單調(diào)遞增，即的最小值為，由于對(duì)任意，有恒成立，則，整理得,解得。因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法以及數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題的求解,考查計(jì)算能力，屬于中等題.21。在中,內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.（1）求的取值范圍;（2）當(dāng)取最大值，且的周長(zhǎng)為時(shí)，求面積的最大值，并指出面積取最大值時(shí)的形狀．（參考知識(shí)：已知、，；、，）【答案】（1）;(2）面積的最大值為，此時(shí)為等邊三角形.【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，在時(shí)檢驗(yàn)即可,在時(shí)，可得出，由此可求得的取值范圍；（2）由（1）知，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，利用等號(hào)成立的條件判斷的形狀，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值。【詳解】（1），則。當(dāng)時(shí),，原不等式即為對(duì)一切實(shí)數(shù)不恒成立；當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，解得或(舍去）。,則，所以,，因此,的取值范圍是；（2），，的最大值為。由余弦定理得，由基本不等式可得，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)。的面積為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立).此時(shí)，面積的最大值為，為等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題考查利用變系數(shù)的二次不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,同時(shí)也考查了三角形面積最值的計(jì)算，涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，,且，數(shù)列滿足，，對(duì)任意,都有。（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）令.若對(duì)任意的，不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1)，；（2）.【解析】【分析】（1)利用，結(jié)合累乘法,求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得，利用差比較法證得是遞增數(shù)列，由此求得的取值范圍.化簡(jiǎn)不等式，得恒成立。構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍?！驹斀狻浚?）∵∴,當(dāng)時(shí)，∴,即∴又，也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式由，知數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為、公比為,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)∵①∴②由①②，得∴∵，∴又恒正。故是遞增數(shù)列，∴又。不等式,即，即恒成